基于非線性統一強度理論的節理巖體地基承載力研究

師 林，朱大勇，沈銀斌

(1.合肥工業大學 土木與水利工程學院，合肥 230009；2.合肥工業大學 安徽土木工程結構與材料省級實驗室，合肥 230009)

1 引 言

由于水電開發和公路、鐵路等工程建設的需要，巖體工程得到迅速發展，常常遇到節理巖體地基承載力問題。針對節理巖體剪應力和正應力之間的非線性關系特征，Hoek等[1－3]提出了節理巖體的Hoek-Brown強度經驗準則，能較好地反映節理巖體強度的非線性特征，已在節理巖體地基承載力計算中得到廣泛應用。但是，Hoek-Brown強度準則沒有考慮中間主應力的作用，只適用于三軸等圍壓應力狀態，不能完全反映巖石地基的實際應力情況，不利于充分發揮巖體的強度潛能。

針對中主應力2σ在不同應力條件下對材料屈服或破壞的影響，國內學者也進行了大量的理論研究[4－11]，如1985年俞茂宏提出雙剪強度理論[6]；1991年俞茂宏提出統一強度理論，適用于拉壓強度不等的巖石材料，并能充分反映中間主應力的效應[7]；昝月穩等[11]提出巖石的非線形統一強度準則，認為Hoek-Brown強度準則是其特例，并將該強度準則推廣到節理化巖體。此外，周小平等[12－15]將統一強度理論引入傳統地基承載力計算方法，得到了一些合理的結論。

臨界滑動場理論是近年來發展的一種新的巖土穩定性分析方法，能夠快速、準確地解決節理巖體地基承載力問題[16－17]。然而，師林等[17]提出的臨界滑動場方法尚不能考慮中主應力對地基承載力的影響。本文將統一強度理論引入Hoek-Brown強度準則中，在文獻[17]的基礎上將基于統一強度理論的Hoek-Brown準則與臨界滑動場理論相結合，推導地震荷載作用下的承載力計算公式，進一步拓展臨界滑動場理論的應用范圍。

2 基于統一強度理論的 Hoek-Brown強度準則

普遍應用于巖體工程的Hoek-Brown強度準則和Mohr-Coulomb強度準則等均無法反映中主應力對巖體實際應力情況的影響，為了尋找適用范圍更廣的強度準則，俞茂宏等[6－7]根據雙剪多滑移單元體力學模型建立了雙剪理論體系和統一強度理論，充分考慮了中主應力σ2對材料屈服破壞的影響。統一強度理論可以靈活地適用于各種材料，其主應力形式的表達式[7]為

式中：σ1、σ3分別為最大主應力和最小主應力（MPa）；σt為材料拉伸強度極限；α為材料拉壓強度比；b為統一強度理論中引進的反映中間主應力及相應面上的正應力對材料破壞的影響程度系數。

根據統一強度理論處理σ2效應區間性的方法，昝月穩將中間主應力效應的區間性通過雙剪力學模型和雙剪函數表示，推導得到了巖石的非線性統一強度準則，其表達形式[11]為

式中：m為巖體經驗參數；s為與巖體特征有關的參數；σc為巖體單軸抗壓強度（MPa）。

當b=0時，式（2）蛻化為Hoek-Brown強度準則，中間主應力作用為 0，是屈服或破壞極限線的下限；當b=1時，式（2）蛻化為巖石的非線性雙剪強度準則，中間主應力作用達到最大，對應于屈服或破壞極限線的上限。昝月穩[11]的研究表明，不同巖性的巖石中主應力效應是不同的，硬巖的中主應力效應要大于軟巖，其中砂巖b取0.3～0.5，灰巖b取0.5，白云巖b取0.5～1.0，花崗巖、火山巖b取1.0。

平面應變應力場問題屬于超靜定問題，為求解這一超靜定問題，可以利用的限制條件是平面應變條件和剛塑性假設。現階段最常采用的是 Prandtl-Reuss假設和Levy-Mises假設，通過限制條件得到中主應力的大小[9－10]為

Prandtl-Reuss假設由相關流動法則和Mises屈服條件推導得到，但是，不加證明的將這一假設引入Mohr-Coulomb材料和Hoek-Brown材料是不合適的。為了解決這一問題，俞茂宏等[8]引入新的參數k，得到

式中：k為中間主應力系數，通過理論和實驗來確定。根據經驗，在彈性區可取k=2υ（υ為材料的泊松比）。在塑性區可取k→1，最簡單的方法是假定k=1，此時對應于塑性不可壓縮假設，即

由式（5）可知，在塑性區進行極限承載力計算時F＜F′，滿足巖石非線性統一強度準則第2式的條件，即巖石的非線性統一強度準則為

將式（5）代入式（6）即可得到基于統一強度理論的Hoek-Brown強度準則：

式中：mb為巖體經驗參數 m的值，其他符號意義同前。

3 基于統一強度理論的 Hoek-Brown強度準則強度參數的確定

1983年，Bray根據Hoek-Brown強度包絡線的形狀，將Hoek-Brown強度準則改寫為剪切強度形式[3]：

圖1 N1、N3對應的摩爾應力圓Fig.1 Mohr's stress circle corresponds to the N1, N3

由摩爾圓可得

以上兩式結合起來，N、T可將表示為瞬時內摩擦角φ的表達式：

求解式（12）可得

求得瞬時內摩擦角φ后，即可根據抗剪強度公式求解瞬時黏聚力：

4 地震荷載下的地基承載力計算

地震時，由于地基破壞引起的危害被歷次地震所證明，眾多學者的研究也表明在地震及其他動力作用下地基承載力會有顯著的下降。在工程應用中，習慣不考慮地震引起的液化作用，將地震荷載作為慣性力轉化為靜荷載來計算地基承載力，若地震時的水平地震系數為kh，豎直地震系數為kv，則所產生的水平向震動加速度為 khg，豎直向震動加速度為 kvg。如圖 2所示，在地震荷載作用下的剛性條形基礎位于節理巖體之上，基礎上受集中力Q作用，首先將巖體分成兩個區：朗肯區和過渡區。對于朗肯區，計算時單獨作為一個條塊，根據塑性力學理論，朗肯區由2條共軛滑移線組成，直接從塑性應力分析得出朗肯區的幾何參數[16]：

圖2 地基破壞示意圖Fig.2 Sketch of foundation damage

地基破壞模式取由眾多共頂點的剛性三角條塊組成的單向滑動機制。為了簡要說明，圖2中只給出了5個示意條塊，其中包括中間3個過渡條塊，左邊一個主動楔塊，最右邊一個被動朗肯區。在實際計算中，過渡條塊的個數要遠遠大于3個。ψ1與ψ2為主動楔塊中基礎底面與巖體形成的夾角，通過ψ1與ψ2來限定主動楔塊的幾何形狀，可以通過搜索來確定ψ1和ψ2值[16]。

主動楔塊上的受力情況如圖3所示。作用在主動楔塊上的力包括：OA邊上的被動土壓力pa（pa的迭代求解過程見文獻[17]），主動楔塊重力Wa；水平向地震力khWa，豎直向地震力kvWa，兩底邊上的黏聚力合力Ca、C1a。

圖3 主動楔塊受力情況示意圖Fig.3 Force condition of cuneiform slide block

通過受力平衡可以求得極限荷載 Q和反力 Ra的大小：

如圖4所示，數值計算時首先把巖體離散，為保證計算精度，每條射線上的相鄰離散點間距不能過大，本文取為0.25。此外，過渡條塊亦不能過少，本文取過渡條塊數為 100，根據文獻[17]的方法求得各離散點的被動土壓力pa。其次，角ψ1的初始試算值等于射線OAi與基礎底面OD的夾角，角ψ2的值為射線 OAi上離散點和點 D的連線與基礎底面OD形成的夾角。然后再到射線OAi-1，也就是改變ψ1值，不斷選取射線 OAi-1上的所有離散點，得到不同的ψ1值。不同ψ1、ψ2值限定不同的主動楔塊幾何形狀，根據式（20）可計算得到不同的Q值，（Q的具體計算迭代過程見文獻[17]）。依次選取射線，可以計算得到眾多的Q值，最后從中找出最小的Q值，即地基承載力的極限荷載，此時的滑動面即為最危險滑面。

圖4 巖體的離散Fig.4 Discretizaton of joined rock masses

5 算例分析與比較

一寬度為6 m的條形基礎，置于節理巖體上，節理巖體的材料參數見表 1。根據文獻[17]的方法可得相關計算參數：mb= 0.603，s=4.54× 10-5，a =0.585，等效 Mohr-Coulomb強度準則的強度參數cm= 23 kPa，φm= 31.03°。

斜坡地基總是在斜坡一側發生滑動，地基另一側土體則不出現滑動面，受力情況尚不明確，于是引入發揮系數 n，發揮系數的概念是以整體平衡觀點來研究斜坡土體另一側未達到破壞的受力情況的。本文研究的是水平面上的巖質基礎的極限承載力，在確定各點的應力狀態時，假定各點的發揮系數均相等，取n=1.0。

表1 巖體材料參數Table 1 Material parameters of rock mass

此外，取b值分別為0、0.2、0.4、0.6、0.8、1.0六種情況和地震力系數分別為kv= 0，kh= 0；kv= 0.2，kh= 0.2；kv= 0.4，kh= 0.2；kv= 0.2，kh=0.4四種情況來計算該條形基礎的承載力情況，計算結果見表2。

表2 無超載和地基開挖擾動時不同b值和地震力系數下的地基承載力Table 2 The foundation bearing capacity without overload and excavation disturbance upon the different values of b and various earthquake coefficients

首先分析結合統一強度理論（b≠0）后計算所得地基承載力與未結合統一強度理論（b=0）時計算所得地基承載力之間的關系，不同b值情況下的地基承載力變化情況如圖5所示。當kv= 0.2，kh=0.2時，不同b值對應的基礎破壞滑面如圖6所示。

圖5 不同b值下承載力變化情況Fig.5 Changes of bearing capacity under various values of b

圖6 kv=0.2, kh=0.2時，不同b值下地基破壞滑面示意圖Fig.6 Sketch of ground failure mode under various values of b when kv= 0.2, kh= 0.2

比較圖 5發現，引入了統一強度理論的地基靜、動承載力均有明顯增加，隨著b值的增加，地基承載力近乎呈線性增加，增幅最大達77%（b=1，kv= 0.2，kh= 0.4時）。分析圖6可知，在地震力系數一定的情況下，隨著系數b的增加，基礎最危險破壞滑面不斷向深部發展，抗破壞能力不斷提高。引入統一強度理論后，地基靜、動承載力均有較大程度的增加，這也表明現有的地基承載力計算方法未考慮中主應力的影響，其計算結果偏于保守，可以通過乘以相應的修正系數來修正現有的地基承載力計算方法。通過圖5分析可以得到近似的修正系數：

對比不同地震荷載下的地基承載力大小可以發現，巖質地基承載力隨著地震荷載的增加而減小，當kv= 0.2，kh= 0.2時，地基承載力比無地震荷載時減少約15%。同時，由圖7可知，隨著地震荷載的增加，基礎最危險破壞滑面逐漸向淺部發展，抗破壞能力下降。分析表2可見，不同b值下地震荷載對地基承載力大小的影響較為接近，因此可通過地震荷載修正系數來反映地震荷載的影響。地震荷載修正系數可近似取為

對比發現，豎直向地震力和水平向地震力對地基承載力的影響是不一樣的。以b=0.2時為例進行分析，當kv= 0.4，kh= 0.2時，地基承載力比kv=0.2，kh= 0.2時減小了8.7%；與kv= 0.2，kh= 0.4時與 kv= 0.2，kh= 0.2時相比，地基承載力減小了6.4%，從圖5中也可以看出，當kv= 0.2，kh= 0.4時，地基最危險破壞滑面更接近于kv= 0.2，kh= 0.2時的破壞滑面，這均說明豎直向地震力對地基承載力的影響大于水平向地震力。

圖7 b=0.2時不同地震力系數下地基破壞滑面示意圖Fig.7 Sketch of ground failure mode under various earthquake coefficients when b=0.2

6 結 論

（1）引入統一強度理論后，靜或動荷載下，隨著反映中主應力作用的系數b的增加巖質地基承載力均有明顯增加。現有的地基承載力計算理論沒有考慮中主應力的影響，使計算結果偏于保守，不能充分發揮巖體的強度潛能。

（2）在地震荷載作用下，巖質地基的動承載力與靜承載力相比有 5%～10%的降低，且巖質地基的承載力隨著地震荷載的增加而降低。

（3）豎直向地震力和水平向地震力對地基承載力的影響是不同的，豎直向地震力對巖質地基承載力的影響大于水平向地震力。

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