反傾巖質邊坡懸臂梁極限平衡模型的改進

盧海峰，劉泉聲,，陳從新

（1.武漢大學 土木建筑工程學院，武漢 430072；2.中國科學院武漢巖土力學研究所 巖土力學與工程國家重點實驗室，武漢 430071）

1 引 言

反傾巖質邊坡的研究已有近 30多年的歷史，20世紀70年代，Goodman等[1]最早提出了基于極限平衡原理的分析方法，此方法將傾倒體離散為若干傾斜的矩形條塊，根據靜力平衡條件分析邊坡傾倒的危險性。90年代，陳祖煜等[2]對Goodman-Bray方法進行了改進和簡化。韓貝傳等[3]從邊坡傾倒的變形特點出發，通過有限元計算分析了傾倒變形的力學機制。程東幸等[4]借助廣西龍灘水電站左岸邊坡工程地質剖面模型以及巖體參數，通過離散元程序3DEC對反傾巖質邊坡的影響因素進行了多工況分析，提出了邊坡反傾優勢角的范圍。Aydan等[5]采用懸臂梁彎曲模型，應用極限平衡理論，通過迭代求解得到反傾邊坡坡腳剩余下滑力，建立了通過剩余下滑力判斷邊坡穩定性評價方法，并通過室內底摩擦模型試驗進行了驗證。Adhikary和 Dyshin等[6－7]分別在 1997年和 2007年通過試驗對 Aydan和Kawamoto的研究理論進行了完善和推廣。在反傾層狀巖體彎曲-拉裂破壞模式的分析和研究方面，許多學者也進行了相關的研究并取得了相應的成果，如文獻[8－10]。

反傾巖質邊坡穩定性及破壞機制研究一直以來是邊坡穩定性分析中的難點，有很多懸而未決的問題。極限平衡分析方法仍然是目前最為常用的一種方法，也是相對比較成熟的一種方法。本文借助懸臂梁彎曲模型的極限平衡分析方法，在對其進行合理改進的基礎上，提出了采用剩余不平衡力對反傾邊坡穩定性影響因素進行探討分析，得出相應結論，對該類邊坡的設計施工具有指導意義。

2 理論背景介紹

層狀巖石邊坡彎曲傾倒本質上是由于彎曲引起的拉應力在巖柱最大彎矩點產生拉裂縫造成的。全面系統地計算邊坡巖體的彎矩是非常復雜的，因此，Aydan等[5]提出運用極限平衡方法分析此類問題，Adhikary等[6]在此基礎上進行了改進（模型如圖1(a)所示）。

圖1 懸臂梁極限平衡受力圖（Adhikary等[6]）Fig.1 Free-body diagram of cantilever beam limit equilibrium model (Adhikary, et al[6])

理論模型建立的基礎基于以下幾點假定：每層巖層或巖柱可以看做是在自重力和邊界力作用下的懸臂梁（如圖1所示）。為了簡化計算，將邊界上的力簡化成集中力，作用點位于χhj處，其中hj為所研究巖柱段的長度，j為研究巖層的編號，χ ∈(0,1)是表征層間作用力作用點與所考慮巖柱位置關系的系數。邊坡巖體中存在一個基準面，所有基準面以上巖層同時處于極限平衡狀態。在極限平衡狀態下，作用在基準面上的最大拉應力（=b /2）等于巖層材料的抗拉強度（σt），基準面為沿與層面法線方向呈θ角斜向上的平面（如圖1(a)）。在上述假定條件的基礎上，巖層可以看作是在重力、側力以及彎矩作用下的梁或柱。在上述力和彎矩作用下，梁或柱在平面應變狀態下距中軸線距離為y處的軸向應力σx滿足以下關系式：

式中：N為軸力；M為彎矩；A為巖柱的截面積；I為極慣性矩。

以式（1）為基礎，代入圖1(b)所示的力，Aydan等[5]推導出了以下表達式：

在式（2）的基礎上，從邊坡上部在自重力作用下不穩定的巖層開始到坡腳巖層，采用迭代計算方法對邊坡巖層進行計算分析。每一步迭代得到的Pj-1的值作為下一步迭代計算式中Pj，直到最終計算得到坡腳處的剩余不平衡力 P0。然而實際的邊坡坡腳沒有力來維持這點平衡，所以 P0的值可以作為判斷邊坡穩定性的一項指標：P0＞0時，邊坡不穩定；P0=0時，處于極限平衡狀態；P0＜0時，邊坡穩定。

3 模型討論

在Goodman和Bray提出的極限平衡分析方法基礎上，由Aydan和 Kawamoto以及Adhikary和Dyskin建立的懸臂梁極限平衡迭代模型能夠簡潔直觀地對反傾巖質邊坡穩定性作出分析評價，尤其是對巖性較軟，以彎曲-傾倒破壞為主的邊坡，該模型更為合理。通過對模型建立過程及假設條件的詳細解讀，結合邊坡實際破壞過程，筆者認為，該模型建立和簡化過程中有些問題與該類邊坡的實際破壞模式有一定出入，有待進一步探討和商榷，主要問題可以概括為以下幾點：

①模型假定邊坡中存在從坡腳延伸至坡頂的基準面，該面與層面法線方向呈θ角斜向上，面上所有塊體達到極限平衡狀態。最初，在 Aydan和Kawamoto模型中θ=0，后來 Adhikary和 Dyskin通過試驗得出θ的合理范圍在12°～20°。然而，實際的反傾邊坡破壞斷裂面并不是理想的直線型，斷裂面以上塊體也并不是同時達到極限平衡狀態。

②模型迭代計算起始巖層為邊坡上部在自重力作用下不穩定的巖層。然而模型中對于該起始巖層如何確定沒有給出判斷標準，而是以直線破裂面延伸至坡頂最遠處的巖層。筆者認為，這個假定的合理性有待商榷，既然模型中定義起始不穩定巖層是在自重作用下不穩定的塊體，那么就應該以只有自重力作用下的巖層穩定分析來判斷該起始層，而且實際邊坡中顯示該起始不穩定位置的張裂縫往往也不會延伸到坡頂后面很遠的位置，有的甚至在坡面上出現。

③無論是 Aydan和 Kawamoto的模型，還是Adhikary和Dyskin模型，層間剪切力都只考慮了層間內摩擦角φ的影響，而沒有考慮層間凝聚力 c。Adhikary和Dyskin在2007年的研究中指出，層間凝聚力c只要滿足允許層間滑動的前提條件即可，對邊坡失穩機制的影響沒有層間內摩擦角φ的影響大。上述模型迭代中均沒有考慮凝聚力c的作用，可能是由于模型建立時認為各部分巖層層間已經發生錯動，層間作用以摩擦為主。筆者認為，破裂面上并不是所有的巖層都同時發生層間錯動，而且Adhikary和 Dyskin也在研究中提到凝聚力對層間錯動的影響，尤其是軟巖和黏土巖類層面，本身凝聚力在層間剪切力中所占的比例較大，其對層間錯動和整個邊坡破壞模式的影響就更不能忽視。

④模型迭代式中對于巖層厚度、內摩擦角等因素均按不同層位分別考慮，對于巖層重度γ卻沒有區別對待。雖然這部分對邊坡破壞模式及穩定性影響可能不是很大，但對于巖層重度差異較大，尤其是軟硬巖互層的邊坡，該部分影響還是應該考慮，所以模型中的巖層重度還是應該分別考慮各層重度γj。

4 模型改進

以上針對Adhikary和Dyskin模型中存在的問題進行了討論，認為破裂面的形式、起始不穩定層的確定、層間凝聚力的影響以及重度分層等方面問題需要進一步探討，因此，在 Adhikary和 Dyskin模型的基礎上，采用合理的分析處理方法，對上述幾方面問題進行了修正和改進，提出了新的懸臂梁極限平衡迭代分析模型。

4.1 破裂面和起始不穩定層位修正

第3節分析中已經指出，起始不穩定層是在自身重力作用下不穩定的巖層。對于某一獨立巖層，在其自重作用下的彎曲折裂面應該位于巖層內拉應力等于巖層材料抗拉強度的位置，基于這一思想，可以求出巖層在自重作用下失穩的臨界長度。

圖2 臨界失穩長度分析圖Fig.2 Analysis chart of critical instability length

如圖2所示，巖層厚度為b，傾角為α的單層巖層在自重作用下的臨界失穩長度為 h，則在臨界彎折點(0,b/2)處滿足最大拉應力等于巖層抗拉強度值，即

而根據力的平衡關系得出該點處：

聯立式（3）、（4），代入各表達式得到臨界失穩長度h的求解方程為

由于h＞0，根據式（5），解方程得到單一巖層臨界失穩長度h的求解表達式為

以b=10 m，α=60°，γ=25 kN/m3，σt=1 MPa的等厚巖層模型為例，結合上述臨界失穩長度分別對Aydan模型基準面和Adhikary模型基準面進行分析，在此基礎上提出了改進的基準面確定方法（如圖3所示）。

根據式6計算得出巖層自重作用下臨界失穩長度h=19.5 m，在圖中分別標出各層臨界斷裂面的位置（如圖3所示）。從圖中可以看出，大部分巖層（編號 5～14）在自重條件下的臨界斷裂面位于 Aydan基準面之上，可見在這種邊坡模型下，很多巖層斷裂面位置并未到達預定斷裂面；Adhikary基準面情況下，許多巖層自重條件下的臨界斷裂面都位于Adhikary基準面之下，說明該基準面模式下巖層在自重條件下是比較穩定的，破壞主要是由于巖層之間相互作用引起的。

圖3 折裂面改進分析圖Fig.3 Analysis chart of improved fracture plane

綜合兩種基準面與自重條件下的臨界斷裂面之間的關系，筆者認為，邊坡彎曲傾倒破壞模式基準面可以分為兩部分來考慮，一部分是邊坡上部傾倒區；另一部分是邊坡下部滑移區。這點在Goodman 和 Bray塊體極限平衡分析計算中也能體現出來。上部傾倒區主要以自重作用下臨界斷裂面為判斷依據，而下部滑移區主要以Adhikary基準面為依據。基于上述思想，對懸臂梁極限平衡模型分析中斷裂面進行改進，具體方法如下：

（1）根據邊坡模型尺寸及參數，運用式（6）計算得到各層自重作用下的臨界斷裂長度，并在圖上畫出各層臨界斷裂面位置；

（2）在圖中畫出Adhikary基準面，從坡腳巖層往上找到該基準面與臨界斷裂面相交的巖層，并以此為基準面折斷點；

（3）從上述折斷點開始，向坡頂方向依次連接各層臨界斷裂面中點，并延伸至坡頂，該部分斷裂面和下部原 Adhikary斷裂面共同組成改進的基準面（如圖3所示）。

4.2 層間凝聚力c和重度γ 修正

前面在 Adhikary模型的基礎上對基準面的形式進行了改進，下面將在原迭代公式的基礎上對層間凝聚力c和分層重度γ進行修正。原模型中力學平衡關系沒有變化，只是層間剪切力的計算中應該加入凝聚力c值，即：

在Aydan 和Kawamoto推導理論的基礎上，代入式（7），同時將模型中的重度γ分別用各層重度jγ，可以得到修正的懸臂梁極限平衡模型迭代表達式為

5 基于改進模型的反傾巖質邊坡穩定性影響因素分析

潘家錚[11]“最大值原理”指出：滑坡體的滑面確定時，則滑面上的反力（以及滑坡體內的內力）能自行調整，以發揮最大的抗滑能力。無論是Adhikary模型，還是改進的模型，迭代計算過程都是遵循這一原理，所得到的各層剩余不平衡力Pj反映了各層相互作用維持極限平衡狀態所需的反力的大小，然而實際巖層之間并不存在這一反力，因此，該力Pj的大小實際反映了巖層的穩定情況：Pj＞0說明該處巖層要維持平衡還需要施加外力作用，因此，在實際沒有外力作用的情況下，該處巖層是不穩定的；Pj＜0說明不僅不需要外力維持平衡，而且還有一定的儲備來抵抗外力作用，因此，該段是穩定的；Pj=0則正好處于極限平衡狀態。基于上述思想，考慮利用改進的懸臂梁極限平衡模型，通過迭代計算得到的Pj值的大小來評價分析反傾邊坡穩定性的影響因素。

5.1 邊坡坡角影響分析

前面分析中已經提到，改進模型的基準面在坡腳起始段位于巖層層面法平面上部，并與法平面呈θ角（如圖6所示），位于基準面以上的巖層才有可能發生失穩破壞。因此，邊坡坡角與巖層傾角滿足一定關系才有可能發生破壞。

根據圖6所示關系可以得出，反傾巖質邊坡滿足式（9）所示的關系才有可能發生失穩破壞，即：

式中：β為邊坡開挖坡角；α為巖層傾角；θ為Adhikary基準面與層面法平面夾角，一般取12°～20°。

在上述關系式的基礎上，以巖層傾角α=60°的邊坡為例來研究坡角變化對反傾巖質邊坡穩定性的影響。依據式（9），取θ=12°，則α=60°，則邊坡發生失穩破壞的坡角下限值為42°，設計邊坡坡角分別為 50°、60°和 70°的3種模型，按照改進的懸臂梁極限平衡模型方法，先確定不同坡角下的邊坡穩定性分析基準面，然后再根據改進的迭代式進行計算分析。計算模型及各坡角情況下的基準面如圖7所示，在上述模型基礎上，選取適當參數，運用式（8）迭代計算，分別得到3種坡角情況下的剩余不平衡力分布，如圖8所示。從圖中可以看出，坡角β=50°時，邊坡巖層全部處于穩定狀態（ Pj＜0）；當坡角增大到 60°時，邊坡 3～7號巖層處于不穩定狀態（ Pj＞ 0），同時坡腳 1～2號巖層處于穩定抗滑段（ Pj＜0），而且Pj很小，具有比較高的安全儲備；當坡角增大到70°時，邊坡2～5號巖層都處于不穩定狀態（ Pj＞ 0），只有坡腳處1號巖體處于穩定抗滑段，但其值已經接近極限狀態，抗滑作用也大大減弱。

圖6 坡角與巖層傾角關系圖Fig.6 Relationship between dip angle and slope angle

圖7 不同坡角邊坡計算模型圖Fig.7 Computational model chart of different slope angles

圖8 不同坡角剩余不平衡力分布圖Fig.8 Distribution chart of residual unbalanced force under different slope angles

可見，在滿足反傾巖質邊坡失穩下限坡角條件下，隨著邊坡坡角的增大，其不穩定區所涉及到的巖層數量逐漸減少，但不穩定區域范圍逐漸向坡腳發展，且坡腳抗滑段的抗滑能力逐漸減弱。

5.2 巖層傾角影響分析

為了研究巖層傾角變化對反傾巖質邊坡穩定性的影響，以坡角β=60°的邊坡為例，按照上節同樣的方法對邊坡進行計算分析。根據式（6）、（9）所示關系，巖層傾角必須大于42°邊坡才有可能發生破壞，因此，分別取巖層傾角為 50°、60°和70°。

計算模型及各巖層傾角情況下的基準面如圖 9所示，根據計算模型，運用式（8）迭代計算，分別得到3種巖層傾角情況下的剩余不平衡力分布，如圖10所示。從圖中可以看出，巖層傾角變化對巖層剩余不平衡力的影響與坡角變化的影響類似，隨著巖層傾角的增大，不穩定巖層區域逐漸向坡腳巖層移動，且坡腳巖體的抗滑儲備逐漸減小。

圖9 不同巖層傾角計算模型圖Fig.9 Computational model chart of different dip angles

圖10 不同巖層傾角剩余不平衡力分布圖Fig.10 Distribution chart of residual unbalanced force under different dip angles

5.3 邊坡高度影響分析

為了研究邊坡高度對反傾邊坡穩定性的影響，以坡角β=60°，巖層傾角α=60°的邊坡為例，對不同高度邊坡模型進行迭代計算分析，得到各巖層剩余不平衡力分布圖（如圖12所示）。從圖中計算結果可以看出，隨著H的增大，邊坡不穩定區域的范圍逐漸增大，且不穩定區不平衡力也逐漸增大，說明隨著邊坡高度的增加，邊坡不穩定性逐漸增加，但坡腳處抗滑段區域的大小和抗滑區安全儲備幾乎不受坡高的影響，可見僅邊坡高度增加會影響邊坡不穩定巖層的范圍，但對抗滑區的范圍及安全儲備影響不太明顯。

圖11 不同坡高計算模型圖圖Fig.11 Computational model chart of different slope heights

圖12 不同坡高剩余不平衡力分布圖Fig.12 Distribution chart of residual unbalanced force under different slope heights

從計算結果圖中可以看出，當模型未退化到Adhikary基準面以前，隨著抗拉強度的增加，不穩定區的范圍有所增大，且不穩定區巖層的不平衡力也有所增大，但坡腳抗滑段的安全儲備也隨之增大，這是因為在退化到Adhikary基準面以前，抗拉強度不僅影響計算迭代值的大小，同時還影響基準面的形態。當模型退化到Adhikary基準面以后，隨著抗拉強度的增加，巖層不穩定區的范圍減小，當σt=0.4 MPa，所有巖層均進入穩定階段。總體來看，無論是退化前還是退化后，坡腳抗滑段安全儲備都隨抗拉強度的增加而增大。

5.4 巖層抗拉強度的影響分析

在改進的懸臂梁極限平衡模型計算中，巖層抗拉強度一方面影響單一巖層臨界失穩長度 h（如式6），從而影響計算基準面的形態；另一方面作為迭代計算參數也將影響計算結果。以坡角β=60°，巖層傾角α=60°的邊坡為例，分別取巖層抗拉強度為0.1、0.2、0.3、0.4 MPa進行計算分析，計算模型及各抗拉強度下的計算基準面如圖13所示。從模型圖中可以看出，當抗拉強度增大到0.3 MPa時，由于單一巖層臨界失穩長度h已經超過原Adhikary基準面上所有巖層的長度，本文對于這種情況下的基準面采取退化到Adhikary基準面的處理方式，這樣計算得到結果是偏于安全的。因此，圖中σt=0.3 MPa和σt=0.4 MPa時的基準面均采用Adhikary基準面進行計算分析。通過改進模型迭代式計算，得到不同抗拉強度下剩余不平衡力分布圖（如圖14所示）。

圖13 不同抗拉強度計算模型圖Fig.13 Computational model chart of different tensile strengths

圖14 不同抗拉強度剩余不平衡力分布圖Fig.14 Distribution chart of residual unbalanced force under different tensile strengths

5.5 層間內摩擦角和凝聚力的影響分析

反傾巖質邊坡巖層在自重作用下首先達到自平衡，當自重條件不能滿足平衡時，就會發生層間作用，各巖層之間相互作用，以發揮邊坡的最大抗滑作用。在這個過程中，層間內摩擦角和凝聚力起到十分重要的作用。層間內摩擦角和凝聚力對模型計算基準面沒有影響，所以選取坡角β=60°，巖層傾角α=60°的邊坡為例（如圖15所示），分別對內摩擦角φ=10°、20°、30°和40°以及凝聚力c=0、100、500、1000 kPa的邊坡模型進行計算，研究其對邊坡穩定性的影響，具體計算結果分別如圖16、17所示。

圖15 層間內摩擦角及凝聚力影響計算模型Fig.15 Computational model chart of internal friction angle and cohesion

圖16 不同層間凝聚力剩余不平衡力分布圖Fig.16 Distribution chart of residual unbalanced force under different cohesions

圖17 不同層間內摩擦角剩余不平衡力分布圖Fig.17 Distribution chart of residual unbalanced force under different internal friction angles

從圖中可以看出，層間凝聚力c值對巖層不平衡力的大小和分布的影響比較明顯，當c值從1 MPa降低到 0時，各層巖層也從全部處于穩定狀態（Pj＜0）逐漸出現不穩定區，隨著c值的降低，不穩定區的范圍和剩余不平衡力的大小都逐漸增加。隨著層間內摩擦角的增大，邊坡不穩定區的范圍逐漸減小，這點與前面層間凝聚力的影響規律是一致的。兩者對邊坡坡腳抗滑段的影響有所區別：隨著層間內摩擦角的增大，坡腳抗滑段的安全儲備逐漸降低；而層間凝聚力的影響正好相反，即隨著層間凝聚力的增加，坡腳抗滑段的安全儲備逐漸增加。筆者認為，這種差異反映了兩者對邊坡破壞過程的影響機制不同，層間凝聚力對巖層的影響與作用在層間的力的大小無關，一旦邊坡幾何形態確定，它對邊坡的影響程度也就確定了，對各部分巖層的影響規律是一致的；而層間內摩擦角對邊坡穩定性的影響與層間作用力有關，層間內摩擦角越小，巖層之間相互作用越弱，各巖層自身不平衡力通過層間錯動消耗，隨著內摩擦角的增加，層間相互協調作用能力增大，處于不平衡區的巖層可以調動更多的巖層相互作用來分擔自身的不平衡力，所以內摩擦角越大，不穩定區的范圍減小，且坡腳抗滑區的安全儲備也隨之減小，這正是各巖層之間相互協調作用的結果。

6 結 論

（1）邊坡坡角β和巖層傾角α必須滿足β＞(90°-α+)θ這一基本關系式才有可能發生失穩破壞，其中θ為Adhikary模型中基準面與巖層法平面夾角，一般在12°～20°之間。

（2）巖層傾角變化對巖層剩余不平衡力的影響與坡角變化的影響類似，隨著兩者角度值的增大，不穩定巖層區域逐漸向坡腳巖層移動，且坡腳巖體的抗滑儲備逐漸減小。

（3）邊坡高度對邊坡穩定性的影響主要體現在對不穩定區域的范圍和不穩定區不平衡力的影響：高度越大，不穩定區范圍和不平衡力也越大。對坡腳處抗滑段區域大小和抗滑區安全儲備影響不大。

（4）巖層抗拉強度對邊坡的影響一方面是對計算基準面形態的影響，另一方面也將影響不平衡力計算結果。當模型未退化到Adhikary基準面以前，隨著抗拉強度的增加，不穩定區的范圍有所增大，且不穩定區巖層的不平衡力也有所增大，但坡腳抗滑段的安全儲備也隨之增大；當模型退化到Adhikary基準面以后，隨著抗拉強度的增加，巖層不穩定區的范圍減小，最終所有巖層均進入穩定階段。無論是退化前還是退化后，坡腳抗滑段安全儲備都隨抗拉強度的增加而增大。

（5）隨著層間內摩擦角和凝聚力的增大，邊坡不穩定區的范圍均減小。但對坡腳抗滑段的影響，層間內摩擦角和凝聚力影響規律正好相反：隨著層間內摩擦角的增大，坡腳抗滑段的安全儲備逐漸降低；隨著層間凝聚力的增加，坡腳抗滑段的安全儲備逐漸增加。

通過綜合分析可以看出，反傾巖質邊坡中部一般最先出現不穩定區，而坡腳為整個邊坡的抗滑段，坡角、巖層傾角等各因素主要影響不穩定區的分布和坡腳抗滑段的安全儲備，層間內摩擦角和層厚對于各巖層之間相互協調、共同作用有一定影響。基于改進的懸臂梁極限平衡模型對邊坡穩定性及影響因素的分析，比較合理地反應了現場邊坡破壞的實際機制，對設計和施工具有一定的指導意義，尤其是提出的模型改進折裂面確定方法值得進一步深入推廣研究。

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