悖論的定義及其形式化

郭向陽, 付雪平

(懷化學(xué)院1.政法系; 2.圖書館,湖南懷化418008)

一、什么是悖論

“悖論” 是英文 “paradox” 的漢譯,也可叫 “逆論”,或“反論”,其字面意思為 “荒謬的理論或自相矛盾的話”,它包括一切與人的直覺和日常經(jīng)驗相矛盾的結(jié)論,那些結(jié)論會使我們驚異無比。Cantini和Andrea認(rèn)為 “悖論是超出或違背人們通常相信或堅持的共識。”[1]Rescher從詞源學(xué)的角度認(rèn)為“`paradox'一詞是由 `para'(超出)和`doxa'(信念)復(fù)合得到的”。[2](P3)“悖論”也是現(xiàn)代使用頻率很高的一個詞匯,意義非常繁雜。2012年11月1日,用百度搜索“悖論”,搜到約12，900，000相關(guān)的網(wǎng)頁,用谷歌搜索,搜索到約881，000相關(guān)網(wǎng)頁;在中國知網(wǎng)中,篇名中出現(xiàn)悖論的文章達(dá)5，596篇,在全文中出現(xiàn)“悖論”一詞的達(dá)6 560篇。相信以上數(shù)據(jù)隨著時間還會增長。

“悖論”一詞在使用時的含義不盡相同,諸如,“財富的悖論”、“道德悖論”、“幸福悖論”、“悖論敘事”、“悖論社會”、“現(xiàn)代化悖論”、“公共悖論”、“芝諾悖論”、“語言悖論”、“說謊者悖論”等等。“悖論”一詞在實際使用時的含義,概括起來,主要有以下三種含義:

(1)一種論斷看起來好像肯定錯了,但實際上卻是對的(佯謬)。

(2)一種論斷看起來好像肯定是對的,但實際上卻錯了(似是而非的理論)。

(3)一系列推理看起來好像無懈可擊,可是卻導(dǎo)致邏輯上自相矛盾。

“悖論”一詞之所以出現(xiàn)多種含義,是由于它的廣泛使用造成其含義的泛化。本文所探討的“悖論”是指上述第三種含義上使用的“悖論”,即邏輯悖論。

作為對悖論有興趣、想了解的一般讀者,上邊的說明可以使他對悖論有個大概的了解;但如果是想對悖論作進(jìn)一步的了解讀者來說,前邊的說明就不夠了,他還需要了解一些具體的悖論。而對于悖論研究者來說,還需要深入考察“什么是悖論”這個悖論的定義問題,因為它始終是悖論研究的一個重大問題,對它的回答在某種程度上決定了研究的方向和深度。悖論定義問題也是中國近三十年悖論研究的一個主要內(nèi)容。[3]接下來,我們來看看近些年邏輯學(xué)界對悖論定義的相關(guān)研究。

二、悖論定義的相關(guān)研究

悖論研究專家、南京大學(xué)的張建軍教授悉心研究多年,出版多部研究悖論的專著,他的觀點是國內(nèi)學(xué)界對悖論看法的典型代表。張建軍教授對邏輯悖論給出了這樣一個定義:

邏輯悖論指謂這樣一種理論事實或狀況,在某些公認(rèn)正確的背景知識之下,可以合乎邏輯地建立兩個矛盾語句相互推出的矛盾等價式。[4](P8)

他認(rèn)為:“悖論作為一種理論事實或理論狀況,是由三要素共同決定。”[4](P8)并將 “公認(rèn)正確的背景知識”、“嚴(yán)密無誤的邏輯推導(dǎo)”、“可以建立矛盾等價式”看成是構(gòu)成嚴(yán)格意義邏輯悖論必不可少的三要素。

北京大學(xué)的陳波教授基本上同意張建軍教授關(guān)于悖論三要素的說明,認(rèn)為這種見解是深刻的,但他也有所保留。陳波教授的保留意見是:(1)不太贊同把 “悖論”僅限制于“兩個互相矛盾命題的等價式”,因為有不少悖論并不表現(xiàn)為這樣的等價式。(2)悖論意味著思維在某個地方出了毛病,但張建軍的定義中很少這方面的涵義,“公認(rèn)正確的背景知識”、“嚴(yán)密無誤的邏輯推導(dǎo)”這些字眼容易給人造成誤導(dǎo),似乎在導(dǎo)出悖論的過程中一切正確且正常。”[5](P96)這兩個保留意見,一個是關(guān)于悖論的表現(xiàn)形態(tài),悖論被發(fā)現(xiàn)時,發(fā)現(xiàn)者并非都做這樣的整理,并不一定用 “兩個矛盾語句相互推出的矛盾等價式”,當(dāng)然可以化歸于兩個矛盾語句相互推出的矛盾等價式,但不夠自然;一個是悖論出現(xiàn)的原因以及對待悖論的態(tài)度,但張建軍后來說法可以看做是針對陳波教授第二個保留意見所作的辯護(hù),他說 “至于`公認(rèn)正確的背景知識'之`公認(rèn)'概念?首先,它明確地表明了悖論的 `相對性'、`根本性'和 `可解性'這些重要性質(zhì)。其次,它說明悖論實際上是一種與認(rèn)知共同體本質(zhì)相關(guān)的語用現(xiàn)象……再次, `公認(rèn)'的模糊性不但在分析具體悖論時可以克服(落實到每個具體悖論的構(gòu)造,其由以導(dǎo)出的背景知識,是能夠以與特定認(rèn)知領(lǐng)域相適應(yīng)的嚴(yán)格性,明確而非含混地予以揭示的)……”[6]

陳波教授說他更贊同如下的悖論定義:

邏輯學(xué)的老前輩馬佩老師認(rèn)為悖論的定義應(yīng)當(dāng)表述為:

如果某一理論的公理和推理規(guī)則看上去是合理的,但在這個理論中卻推出了兩個相互矛盾的命題,或者證明了這樣一個命題,它表現(xiàn)為兩個互相矛盾的命題的等價式,那么我們說這個理論包含了一個悖論。[7](P1)

對企業(yè)i來說，在積分交易價格pφ一定時，βi越大意味著研發(fā)效率越低，企業(yè)續(xù)航技術(shù)研發(fā)的積極性越低。然而，當(dāng)積分交易價格提高時，企業(yè)續(xù)航技術(shù)研發(fā)的積極性提高，通過續(xù)航能力提升獲取積分進(jìn)而出售獲利。當(dāng)企業(yè)間進(jìn)行研發(fā)合作時，目標(biāo)函數(shù)是總體利潤最大化，因而會考慮本企業(yè)對另一企業(yè)的技術(shù)溢出，溢出率越高，花費(fèi)相同的成本可以更大程度地提高汽車產(chǎn)品的續(xù)航能力；而在進(jìn)行研發(fā)競爭時，企業(yè)只考慮自身的利潤最大化，不考慮本企業(yè)對另一企業(yè)的技術(shù)溢出。

悖論就是從人們認(rèn)為正確的前提或背景知識(實際上其中包含有人們尚未發(fā)現(xiàn)的謬誤)出發(fā),通過有效的邏輯推導(dǎo),得出兩個相互矛盾的命題或兩個相互矛盾命題的等值式。[8]馬佩老師的這種看法和張建軍教授的看法基本一致的,但馬佩老師的這種看法沒有陳波教授保留意見里所提的兩個問題。馬老師還認(rèn)為:定義表述中嚴(yán)密無誤的邏輯推導(dǎo)也許是有問題,只是我們誤以為沒問題。

中國邏輯學(xué)會的會長張家龍先生在簡要地考察了悖論簡史之后給出了一個悖論定義:“悖論是某些知識領(lǐng)域中的一種論證,從對某概念的定義或一個基本語句(或命題)出發(fā)按照有效的邏輯推理規(guī)則,推出一對自相矛盾的語句或兩個互相矛盾的語句的等價式。”[9](P194)他認(rèn)為這個定義揭示了悖論的本質(zhì),這個定義包含了以下四個要素:“(1)悖論是一個論證,也就是說是一個完整的邏輯推導(dǎo)過程。悖論同作為出發(fā)點的基本語句不同,后者可稱為“悖論語句”,兩者不可混為一談。(2)悖論的出發(fā)點包括對某一概念的定義或給定的基本語句,以及有關(guān)的假定。(3)有效的邏輯推理規(guī)則。 (4)得到邏輯矛盾,或兩個相互矛盾語句的等價式。”[9](P194)這個定義的突出特點是明確把悖論界定為論證,但張建軍教授不同意悖論是論證,他說:“國內(nèi)外都有學(xué)者認(rèn)為悖論的屬概念是 `論證',但我們可以為同一悖論 `發(fā)明'不同的論證,如羅素悖論就有許多論證方式,卻仍然是同一個悖論”。[6]

對張建軍教授的悖論定義,張家龍先生肯定了它的價值,認(rèn)為值得研究,但也提出了一些不同看法:(1)“理論事實或狀況”。從張建軍教授的悖論定義描述來看,所謂的“理論事實或狀況”指得是一個推理過程,但他卻把悖論界定為一種理論事實或理論狀況。從邏輯的角度來說,悖論顯然是一種論證或一個推理過程,用非邏輯的術(shù)語“理論事實或狀況”來界說悖論,未免含混,令人費(fèi)解。(2)三要素的說法不夠完美,對第三個要素所作的批評和陳波先生的意見基本一致的。(3)沒有提到作為出發(fā)點的給定的某些概念定義或某些基本語句 (如 “悖論語句”)這個最重要的因素。[9](P195-196)

還有其他一些學(xué)者也發(fā)表了一些關(guān)于悖論定義的看法,但大家的看法是基本一致的,雖然對于其中的細(xì)節(jié)和表述都有自己不同的意見。張建軍教授的悖論定義在很大程度上得到了大家的認(rèn)同。下一節(jié)我們將對張建軍教授的悖論定義進(jìn)一步改進(jìn)并予以形式化。

三、悖論的定義及其形式化

從現(xiàn)有的研究成果來看,對悖論定義的研究大都是用非形式的方法來闡述的,很少采用形式的方法來刻畫。我們知道邏輯是研究研究有效推理的,而且是用形式的方法來研究推理。數(shù)理邏輯是符號邏輯,它使用符號語言、公理化的方法,對數(shù)理邏輯邏輯是典型的形式的方法。其實傳統(tǒng)邏輯雖然使用的是自然語言,但它的主要研究方法也是形式的,用符號代替了三段論中具體的詞項 (用S代替小項、M代替中項,P代替大項),是傳統(tǒng)邏輯取得重要成果的技術(shù)保障。從研究方法的角度來說,形式的方法是邏輯的靈魂。用形式的方法考察悖論的定義有助我們認(rèn)清悖論的實質(zhì)。

對悖論的探討中,陳波教授將前述他贊同的悖論定義修改為:“如果從看起來合理的前提出發(fā),通過看起來的邏輯推導(dǎo),得出了兩個自相矛盾的命題或這樣兩個命題的等價式,則稱得出了悖論。”[5](P97)

則p是一悖論語句,這個推導(dǎo)過程構(gòu)成一個悖論。”[5](P97)

陳波教授用公式描述悖論定義的做法在悖論定義研究中并不多見。仔細(xì)考察這個定義,我們可以發(fā)現(xiàn)更多的細(xì)節(jié)。說“得出了兩個自相矛盾的命題或這樣兩個命題的等價式,則稱得出了悖論。”這顯然是說“悖論”就是 “兩個自相矛盾的命題或這樣兩個命題的等價式”。陳波教授認(rèn)為:“悖論是一種特殊的邏輯矛盾,它的特殊性表現(xiàn)在(1)推理過程看起來是合乎邏輯的。悖論不是邏輯上錯誤推導(dǎo)的結(jié)果,包含邏輯錯誤的推導(dǎo)過程不構(gòu)成或不產(chǎn)生悖論。(2)推理前提是直觀合理的或可接受的。[5](P128)這實際上是說邏輯矛盾產(chǎn)生的特殊性。20世紀(jì)80年代初至90年代末,學(xué)界曾圍繞著邏輯悖論的矛盾歸屬問題產(chǎn)生了激烈的爭論,主要有三種觀點:悖論是辯證矛盾,悖論是邏輯矛盾,悖論是第三種矛盾。[3]現(xiàn)在看來,把悖論歸結(jié)為邏輯矛盾也是不妥的,悖論應(yīng)該指的是一個推理過程。

再來看陳波教授的公式,推導(dǎo)過程的出發(fā)點是一悖論語句,顯然不符合悖論的現(xiàn)實,雖然有一些悖論確實是以一悖論語句為前提的,但也有很多悖論不是以一悖論語句為前提的。即便是以一悖論語句為前提的悖論也是建立在一定背景知識之下的。用蘊(yùn)含聯(lián)結(jié)詞來描述推導(dǎo)過程也是不合理的,因為許多悖論的推導(dǎo)并不是可以直接推出,而是有一個復(fù)雜的推導(dǎo)過程。

基于以上認(rèn)識及形式化的考慮,我們把定義界定為:

邏輯悖論指這樣一種后承關(guān)系,在某些公認(rèn)正確的背景知識之下,兩個矛盾語句是一些前提的后承。

這個定義吸收前述定義的優(yōu)點,改進(jìn)了不足,而且可以準(zhǔn)確地予以形式化。如果說不足的話,就是表達(dá)不是那么通俗易懂,這對于學(xué)術(shù)研究是次于精確表達(dá)的。

我們在悖論的定義中使用了 “后承”的概念。后承是形式演算中的邏輯概念,包括語法后承和語義后承兩個概念。一個公式A是一前提集Γ在形式演算P中的語法后承,記作Γ├PA,當(dāng)且僅當(dāng)存在一個從Γ到A的推導(dǎo),├P表示形式演算P中的語法后承關(guān)系。我們一個公式A是一前提集在形式演算P中的語義后承,記作ΓA,當(dāng)且僅當(dāng)對任意賦值V,如果V使得前提集Γ中的每一個公式為真,則A為真,表示語義后承關(guān)系。

現(xiàn)在我們把上述的悖論定義予以形式化,我們用Γ表示包含所有前提的前提集,用A∧A表示兩個矛盾的語句構(gòu)成的一個矛盾,├ZS表示在某一知識系統(tǒng)中的語法后承關(guān)系。一個悖論就是這樣一個后承關(guān)系,形式化為:

這是悖論定義形式化的語法版本,我們也可以用同樣的方法提供一個語義版本,即用ZS取代├ZS,

將悖論的定義予以形式化,使用精確的形式的方法去刻畫悖論,有助于我們認(rèn)識悖論及悖論的產(chǎn)生。若把這種方法應(yīng)用到具體悖論的研究中,就能保證從技術(shù)的角度解決悖論。對悖論的背景知識予以合理的形式化,我們就能夠找到避免悖論才產(chǎn)生的方法。

從技術(shù)的角度對悖論進(jìn)行充分研究有助于對它作哲學(xué)的說明。從技術(shù)和哲學(xué)兩個層面來研究悖論,相互促進(jìn),并推動對包含悖論的背景知識的研究,發(fā)現(xiàn)其中的謬誤,改進(jìn)相應(yīng)的知識系統(tǒng),這正是我們悖論研究的目的和意義所在。

[1]Cantini,Andrea.Paradoxesand Contemporary Logic[G].The Stanford Encyclopedia of Philosophy(Summer 2012 Edition),EdwardN.Zalta(ed.), http: plato.stanford.edu archives sum2012 entries paradoxes-contemporary-logic .

[2]Rescher.Paradoxes:TheirRoots,Range,and Resolution[M].Carus Publishing Company,2001.

[3]王建芳.中國近三十年邏輯悖論研究的主要特點與趨勢 [J].哲學(xué)動態(tài),2012,(6):05-111.

[4]張建軍.邏輯悖論研究引論[M].南京:南京大學(xué)出版社,2002.

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[6]張建軍.廣義邏輯悖論研究及其社會文化論綱 [J].哲學(xué)動態(tài),2005,(11):47-51.

[7]Fraenkel,A.A.And Bar-Hillel,Y.Foundation of Set Theory[M].Amsterdam,1958.

[8]馬 佩.再論悖論的幾個問題 [J].中州學(xué)刊,2001,(1).

[9]張家龍.悖論[A].張清宇.邏輯哲學(xué)九章[C].蘇州:江蘇人民出版社,2004.