抵押資產組合對信用利差期限結構的影響分析

王雪標，周生寶，胡繼真

(東北財經大學 數學與數量經濟學院，遼寧 大連 116025)

一、引 言

目前，全球金融體系正經受著較大的信用風險和信用損失，而逐步開放的中國金融行業正面臨金融風險與信用風險的重大考驗。研究構建信用風險模型，正確估計與評價信用風險，對中國來說顯得尤為重要。信用風險由兩部分組成:一是違約風險，指交易一方不愿或無力支付約定款項致使交易另一方遭受損失的可能性;二是信用價差風險，指信用價差的變化而導致的損失。因此，信用風險模型主要研究信用風險違約問題和信用利差期限結構。信用風險的模型主要分為結構式模型和簡化式模型。結構式模型在完全信息假設下，對公司資產價值演化過程建模。Merton［1］在Black－Scholes期權定價方法的基礎上，在完全信息假設下，建立了以公司資產價值演化為基礎的信用風險模型;公司是否發生違約由公司的資產價值來決定，當資產值低于某個門限值時視為違約，違約支付僅僅在合約終止時刻。Jarrow和Turnbull［2］以及Duffie和Singleton［3］給出了簡化式模型。簡化式模型是在不完全信息 (市場信息)假設下，對債務人違約強度和狀態變量之間的函數關系建模，這使得簡化式模型更現實一些，但是違約過程缺乏清晰的經濟學解釋。Jarrow和Protter［4］研究表明，結構式模型與簡化式模型的內在聯系在于所考慮的信息集不同。簡化式模型有很強的樣本內擬合性質、很弱的樣本外預測能力。結構式模型的完全信息假設其實是一種近似假設，它是描述不同公司的運營差別的最簡單辦法。

Leland和Toft［5］以及Chen和Kou［6］研究表明，信用價差具有以下典型特征:信用價差可以不收斂到零;信用價差可以是上升型、下降型和駝峰型;信用價差與無風險率負相關。Merton在利率是常數的情形下，研究了信用利差期限結構，結果表明信用利差期限結構是駝峰型的。后來，Longstaff和Schwartz［7］將其進行了擴展，利率為隨機利率情形，同時還考慮了破產成本、絕對優先規則因素，結果表明信用價差期限結構似乎沒有改進。Sarig和Warga［8］以42家公司發行的137只零息債券作為樣本，從實證角度考察了駝峰型的信用利差期限結構，研究表明即使在Merton模型中引入隨機利率或進行其它改進，結構模型的信用利差期限結構仍是駝峰形狀的。Wei和Guo［9］認為信用利差隨期限延伸大致呈現N型。抵押是BaselⅡ標準法規定的信用風險緩釋工具之一，但是隨著金融全球化進程的加速，現實金融環境的不確定性在增多，抵押交易本身隱含較高風險。因此，含有抵押資產組合的信用風險問題也成為了重要的研究課題。Cossin和Hricko［10］曾利用結構模型方法，分析了抵押資產扣減率和風險抵押對信用風險的影響，考察了風險遠期價值等問題。Cossin和Hricko［11］研究了有回購協議時的抵押風險控制問題，最后得到了含有單一抵押資產的模型及抵押損失。

國內學者王志誠［12］應用期權定價理論，考察了基于抵押品的有抵償貸款信用風險的抵押率及其與貸款利率之間的關系，采用迭代法給出了選定信用利差水平下的平價抵押率。王蕾［13］探討了抵押、擔保對銀行信用風險的影響，建立了相應模型并考察了如何能充分發揮抵押、擔保對信用風險緩釋的作用問題。于晨曦和孫俊波［14］借助一個計量模型和LGD(Loss Given Default)的概念，對抵押品的風險緩釋功能進行了理論分析，進而又結合中國商業銀行抵押貸款現狀的統計結果，分析了當前銀行抵押業務中存在的問題。

目前，大多數信用利差模型沒有考慮存在抵押時的情況，即使有也只是考察以債券或國債等無風險權益為抵押的單一抵押品問題，并沒有建立存在抵押資產組合時的相應模型。而在實際交易中，交易對手往往會提供多種資產的組合作為抵押。抵押資產會影響違約概率的大小，也會影響信用利差期限結構，從而會影響對利率衍生產品的定價。本文基于Merton結構式模型的思想，對公司多種資產抵押信用風險問題建立結構式模型，利用差價歐式期權定價方法，分析在抵押資產組合下零息債券的價格、違約概率及信用利差期限結構的相關特征。

二、抵押資產組合

1.抵押資產組合的設定

抵押可以降低信用風險，在金融市場中被廣泛采用。作為抵押的資產可以是單一的抵押品，也可以是抵押資產組合。抵押品本身也存在一定的風險，不同抵押資產組合對信用風險有不同的影響。因此，本文做如下假設:

有兩種資產A和B。資產A是交易合同的標的資產，其價值A(t)服從幾何布朗運動:

其中，μA是資產A的預期瞬時收益率，σA是資產A的收益率的波動率，是概率空間 (Ω，F，P)上的標準布朗運動，即有

假設公司債券有n個抵押資產，其價值為Mi(t)(i=1，2，...，n)，分別服從幾何布朗運動:

其中，μi是抵押資產i的預期瞬時收益率，σi是抵押資產i的收益率的波動率，是在概率空間 (Ω，F，P)上的標準布朗運動。假設各(i=1，2，...，n)和之間的相關系數均為ρ。這些抵押資產的組合為資產B，其價值為B(t)。

其中，Wt表示系統風險，是經濟環境中影響所有資產的共同因素;(i=1，2，...，n)和表示非系統風險，表示影響各個資產的不同因素，布朗運動(i=1，2，...，n)、Wt和之間是相互獨立的。

關于抵押資產組合的零息債券定價問題。抵押資產組合可有兩種方式:幾何加權平均和算數加權平均。由于每種抵押資產的價值均服從幾何布朗運動，其幾何加權平均仍服從對數正態分布，即服從幾何布朗運動。這時，關于抵押總資產B的定價可直接采用BS模型方法。如果采用算數加權平均的方式，由于對數正態分布的和已經不再服從對數正態分布，抵押總資產B的定價問題不能直接采用BS模型方法，而且此資產的期權定價得不到解析解。這種情況下，可采用蒙特卡羅數值模擬求解，這會以驚人的時間消耗為代價;如果采用漸近逼近的方法會減少大量時間消耗，因此，對于算術平均組合方式本文采用Gentle［15］的逼近方法。通過變換替代，用幾何平均來近似算數平均，從而把兩種資產組合方式的期權定價問題統一為都可以采用BS模型方法定價的問題。

2.抵押資產以算數加權平均形式組合

考察這種逼近誤差時，分別考慮由2種、4種、10種和20種資產構成的抵押組合進行誤差模擬(最長期限為10，初始資產值為50—100)，對每種組合，模擬10 000次。例如，10個抵押資產時最大絕對誤差為0.46，最大平均誤差為0.16，相對誤差全部接近零;20個抵押資產最大絕對誤差為6.73，最大平均誤差為0.64，相對誤差全部接近零。結果表明，隨著資產個數的增加，隨機因素的增多和確定的指數漂移項都會使絕對誤差增大，不過相對于抵押資產組合值的增加來說，相對誤差始終接近于零，因此用上述(T)近似B(T)的誤差影響可以忽略，而且其時間越短近似程度越好，抵押資產越少近似越精確。為了能更精確地求解期權的價格，相應的敲定價格K可同時變換為K*=K－(E(B(T))－ E((T)))。

3.抵押資產以幾何平均形式組合

通過上述分析，對于多個抵押資產的組合如果采用算數平均方式組合，則組合后的抵押總資產價格可很好地近似用幾何布朗運動刻畫;如果采用幾何平均的組合方式，則組合抵押資產價格本身便服從幾何布朗運動。因此，抵押組合資產的價格運動軌跡都可以用幾何布朗運動刻畫。

三、存在抵押時的結構式模型

1.有抵押資產組合時Merton模型的擴展

Cossin和Hricko采用結構式模型方法分析了風險抵押對信用風險的影響，本文采用類似方法分析單邊違約與隨機抵押組合的信用價差特征，在含有抵押的債券定價問題上擴展Merton模型，并進行相關模擬分析。設標的資產與抵押資產組合的價值分別為A(t)和B(t)，面值為F，到期日為T的零息風險債券的價值如(6)式，其中，r是瞬時無風險利率。

在風險中性假設下，利用價差期權定價的方法可以求解(6)式。一個價差為S1(T)－S2(T)、敲定價格為K≥0、期限為T的歐式看漲期權支付為c(t)=e－r(T－t)Et［(S1(T)－S2(T)－K)+］。max(FB(T)－A(T)，0)可視為S1(T)=A(T)、S2(T)=－B(T)、K=F的看跌差價期權的支付。

2.違約概率

違約概率是度量信用風險的重要指標，直接影響信用利差。在現實概率測度下，當資不抵債時，也就是當A(T)+B(T)＜F時，就說信用違約事件發生。這時F可看做是門限值。按照Merton模型的設定，違約只發生在T時點上，違約概率為P(A(T)+B(T)＜F)。B(t)是各抵押資產的組合，無論是采用幾何平均方式還是算術平均方式組合，其運動軌跡都可以近似看做服從幾何布朗運動。我們將采用蒙特卡羅法模擬違約概率的分布特征。

本文中各參數選取如下:n=2，ρ=0.20，r=0.06，A(0)=100，M1(0)=40，M2(0)=60，σA=σ1=σ2=0.25，α1=α2=0.50，F=135，T=0.50。利用(5)式生成B(T)，隨機生成B(T)和A(T)100 000個，并且模擬10 000次生成B(T)的分布。

模擬結果表明，資產終值分布偏離正態性，其中，偏度為1.99，峰度為5.89。對給定的參數值，其資產終值集中于180左右，較大資產終值和較小資產終值出現的概率都較小，如門限值F=135，模擬的違約概率是0.002，而如果F=180，違約概率接近0.50，不同的違約門限值對違約概率有很大影響。圖1給出了對于不同的門限值，違約概率與抵押資產值的關系。其中，F分別取值90、100、110、120，使B(0)值在［0，50］間變化，其余參數選取前面同樣數據。當F=90時，在B(0)取值范圍內，違約概率幾乎接近零(與x軸重合)。當門限值變大時，對于同一個抵押值，違約概率也較大。對于同一個門限值，抵押資產值越大違約概率越小。當抵押值為零時(即無抵押時)，不同門限值決定了違約概率的大小，特別是針對本例半年期的債券，當門限值為100等于資產A(0)時，違約概率達到0.25;而門限值為120時違約概率接近1。實際上，由于要在半年這樣短的期限內，市場平均收益0.09和利率0.06時，資產價值達到120幾乎是不可能的。

本文模擬分析違約概率與期限的關系時，分別設定門限值為100、110、120，其余參數設定同上，結果如圖2所示，門限值越大違約概率越大，隨期限的變化違約概率分布呈倒U型;較大門限值對應的分布較凸，且隨門限值變小分布變的扁平。值的注意的是，當期限較大時，違約概率不是急速減小為零，而是處于一個穩定值上。

圖1 相應于不同門限值的違約概率

圖2 違約概率與期限的關系

本文考察抵押初值和相關系數對違約概率的影響時，選取ρ∈［0，1］和B(0)∈［54，70］，其余相關參數同上，模擬結果如圖3所示，違約概率隨抵押初值的增加而減少;違約概率隨相關系數的增加而增大，但增加的幅度較小;如果相關性和初值同時增大，違約概率有顯著增大的趨勢。因此，只有適當地選擇抵押初值和相關抵押資產，才會使違約概率盡可能小。

抵押資產的波動和標的資產的波動會直接影響違約概率?？疾熨Y產的波動率對違約的影響，為了簡單起見，抵押資產波動率和標的資產波動率分別在(0，1)之間。違約概率與標的資產和抵押資產波動率的動態關系如圖4所示。

圖3 違約概率與相關系數和抵押值關系

圖4 違約概率和標的資產與抵押資產波動率的關系

當抵押資產波動率和標的資產波動率都較低時，違約概率較小(保持常量)。但隨著波動率的不斷增加，違約概率也相應迅速增大。抵押資產波動率的增加，使違約概率增加得較緩慢;標的資產波動率的增加使違約概率增加得較迅速。因此，標的資產波動率的變化比抵押資產波動率的變化更能引起違約的增加?？傊瑢τ谙嗤钠谙蓿嬖诘盅嘿Y產組合的違約概率要低于無抵押時的違約概率，恰當的抵押資產值會有效降低違約概率，資產相關性的變大增加違約概率。說明了抵押資產組合確實可以緩釋信用風險，抵押確實是降低信用風險的一種很好的技術，而且選擇抵押品時注意多樣性，以降低抵押品的相關性及波動性。

3.存在抵押資產組合時的信用利差

Elton和Collin等給出了信用價差的一種分解，認為價差是由風險溢價、稅收和預期損失等因素決定。Driessen認為價差是由風險溢價、稅收和流動性溢價等因素決定。為了簡化信用價差的分析，本文只考慮風險溢價因素如何決定價差，即信用利差是風險利率與無風險利率的差。

在連續時間情形下，yt(T)為到期日為T、面值為F的債券收益率，其現值為Dt=Fe－y(T－t)。抵押資產價值為B(t)，由(7)式可得信用利差為:

在Merton模型中，如果準債務比大于或等于1，則信用利差隨期限遞減;如果準債務比小于1，則利差先隨期限遞增，后又隨期限下降，即它的信用利差期限結構是駝峰型的。下面通過數值模擬分析引入抵押資產組合后信用利差期限結構特征。

(1)利差期限結構與相關系數的關系

分別考慮相關系數為正、負兩種情形下的利差期限結構。當相關系數為ρ=0.20與ρ=－0.20時，取 n=2， r=0.06，A(0)=100，M1(0)=40，M2(0)=60，σA=σ1=σ2=0.25，α1=α2=0.50，模擬結果如圖5所示，實線為負相關系數時的利差，虛線為正相關系數時的利差。

由圖5可看出，對不同的資產相關系數，兩組期限結構的形狀基本相同，但對利差影響較大。相同條件下，一般是正相關系數的利差小于負相關對應的利差，但無論正負，整體上利差會隨期限增加趨向于0。本文只在相關系數為正(ρ=0.20)時，模擬出期限和相關系數對利差的影響如圖6所示。隨著相關系數的增大，利差有增大的趨勢，近似為線性趨勢;隨著期限的增加，利差在減小，并且期限越長利差減小越緩慢。期限對利差的影響要大于相關系數對利差的影響。這表明當存在抵押資產組合時，抵押資產之間的相關性及資產存續期對信用利差期限結構有影響。抵押資產之間相關性越大，利差就越大;隨著資產存續期的增大，利差在減少。

圖5 相關系數為正和負時不同面值F對應的期限結構

圖6 相關系數與期限對利差的影響

(2)多個抵押資產組合與單個抵押資產的比較

含有抵押資產組合時，由于抵押品可以分散風險，其違約概率變小。這里考察單個抵押資產和多個抵押資產對利差結構的影響，為了便于比較，設兩種情況下的抵押資產價值相同。對多個抵押資產，采用參數同前文，單個資產中只取M1(0)=50，M2(0)=0，其余相同。單個資產模擬結果如圖7所示，多個資產模擬結果如圖5虛線部分。

比較圖7和圖5可以看出，整體上單個抵押資產下的信用利差明顯小于抵押資產組合時的信用利差;同時隨著期限的不斷增加，單個抵押資產對應的利差下降快，趨向零的速度顯著變快。但是兩種情形下其利差值要比相同條件下無抵押的Merton模型的利差值要小。

當單一抵押品的初始資產價值大于抵押資產組合的初始資產價值時，其信用利差小于抵押組合下的信用利差;當單一抵押初始資產價值小于抵押資產組合的初始資產價值時，其信用利差大于抵押組合下的信用利差。這是由于抵押資產組合的抵押風險可能會大于也可能會小于單一抵押時的抵押風險，為使信用風險變小，就要選擇合適的抵押資產組合，使得在抵押資產組合下的信用風險要比單一抵押品時的信用風險和無抵押時的信用風險都要小。

(3)抵押資產為無風險債券時的利差

考慮抵押資產為無風險債券時，令σ1=σ2=0，其余參數同上，模擬結果如圖8所示，實線為無風險抵押資產組合的利差，虛線為風險資產組合的利差。

圖7 單個抵押資產時利差期限結構

圖8 抵押為無風險和風險債券時的信用利差期限結構

(4)標的資產波動和抵押資產波動對信用利差的影響

圖9 標的資產波動率和抵押資產波動率對利差的影響

資產價格的波動率反映了資產價格的不確定性。下面分析標的資產波動率和抵押資產波動率如何影響信用利差。為了分析簡單，設資產價值波動率在［0，1］之間，抵押資產波動率在［0.2，1］之間，其余參數同上，模擬結果如圖9所示。與抵押資產的波動和標的資產的波動對違約概率的影響類似，隨抵押資產波動、標的資產波動的增大，信用利差也增大。標的資產波動率的增加使信用利差增大較快，而抵押資產波動率增加使信用利差增大較慢。因此，為了分散風險，在選擇抵押資產組合時要注意選取波動率較低的資產組合搭配，以降低信用風險。

四、結束語

抵押是將信用風險轉化為市場風險，從而分散并降低信用風險。本文利用結構式模型思想，構建了含有抵押組合的信用風險模型。研究表明，它能準確地刻畫風險零息債券的價格變化，描述違約概率、風險利差的動態行為，這將有助于我們理解信用風險、利率產品定價風險。本文得出以下主要結論:第一，違約概率分布是非正態的。違約概率與門限值有很強的非線性遞增關系，而違約概率和資產組合值呈現遞減關系，門限值、標的資產價值、抵押資產價值及其波動可以明顯地影響違約概率的大小。相關系數的正負性不影響信用利差曲線形狀，但影響利差大小。各種資產間的相關性越大，會導致利差越大，從而帶來較大風險。因此，選擇抵押資產時，應關注各資產間的相關程度及違約門限值的設定。第二，當存在抵押資產組合時，零息債券的信用利差要小于無風險時的信用利差，并且有抵押時違約概率要小于無抵押時的違約概率，這說明抵押確實可以緩解信用風險。抵押資產組合的信用利差大于單一抵押資產下的利差，這要求精確選擇資產組合，使得降低信用風險的同時可以降低利差風險。第三，當不存在抵押時，結構式模型的信用風險利差期限結構是駝峰型的，在加入抵押資產組合后，信用風險利差期限結構變為L型曲線。

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