雙軸旋轉慣導系統誤差傳播特性分析*

周紹磊，吳修振，李瑞濤

(海軍航空工程學院控制工程系，山東煙臺 264001)

隨著國防工業對武器系統低成本、高可靠性、易維護性的要求越來越高，慣導系統的旋轉調制技術發展越來越快。我國在單軸旋轉慣導系統和雙軸旋轉慣導系統的研制領域取得了很大的進步，但由于起步較晚，與國外相比還有不小差距。對于雙軸旋轉慣導系統，引起導航誤差的因素主要有初始對準誤差、慣性器件常值漂移、安裝誤差、標度因數誤差，本文旨在對這4種誤差對最終導航誤差的影響程度和方式做深入全面的研究。為此，推導出雙軸旋轉慣導系統的誤差方程，證明了誤差方程在李雅普諾夫意義下的穩定性，建立了研究雙軸旋轉慣導系統誤差傳播特性的方法，并提出了一種合理的十六次序轉位方案，分析了雙軸旋轉慣導系統補償誤差的本質，針對每種影響導航誤差的因素作了具體分析和仿真，根據理論分析和仿真結果得出了一些減小雙軸旋轉慣導導航誤差的措施和結論，可以為雙軸旋轉慣導系統的進一步優化和工程設計提供理論參考。

1 雙軸旋轉慣導系統的誤差方程

1.1 誤差方程的推導過程

導航坐標系取為北天東地理坐標系oxnynzn(n系)，載體坐標系為oxbybzb(b系)，IMU本體坐標系oxsyszs(s系)，地球慣性坐標系為oxiyizi(i系)，初始時刻b系，且s系與n系重合。

不考慮重力偏差，雙軸旋轉慣導系統的誤差方程可表示為［1］:

其中:φ=［φN，φU，φE］T表示n系中北天東三個方向的誤差角，δV=［δVN，δVU，δVE］T表示n系中北天東三個方向的速度誤差，f=［fN，fU，fE］T表示n系中北天東三個方向的加速度，εn=［εN，εU，εE］T和▽n=［▽N，▽U，▽E］T表示陀螺測量誤差和加速度計測量誤差在導航系n系中的分量。

載體無線運動，不考慮天向通道，把式(1)展開得雙軸旋轉慣導系統的誤差方程的標量形式［2－3］:

其中:ωieN、ωieU為n系中地球自轉角速度ωie的北向分量和天向分量，ωieN=ωiecosL、ωieU=ωiesinL，δL、δλ分別表示導航緯度誤差和經度誤差，L表示載體所處緯度值，R為地球半徑，g為重力加速度大小。

把式(2)如下狀態方程的形式:

狀態變量為 x=［φN，φU，φE，δVN，δVE，δL］T，系統輸入為 u=［εN，εU，εE，▽N，▽E］，系統矩陣為

輸入矩陣

1.2 誤差方程穩定性的證明

由狀態方程式(4)的系統矩陣A可得系統的特征多項式為

由式(5)可得系統的六個特征根為

狀態方程(4)對應的自治系統為

由于系統6個特征根的實部均為零，又因為rank A=6，平衡點只有一個xe=0，根據特征值判據［4］，自治系統式(6)在李雅普諾夫意義下是穩定的，則系統的零輸入響應x0u(t)是有界的，即雙軸旋轉慣導系統的初始對準誤差不會引起導航誤差的積累和發散。進一步分析可知，當系統存在輸入u時，只要u是有界的，則狀態變量 x=［φN，φU，φE，δVN，δVE，δL］T一定是有界的，δλ是否積累和發散還需進一步分析。

1.3 誤差方程的解析解

根據自動控制原理的相關知識［5］，虛軸上的共軛特征根會以正余弦振蕩的形式體現在狀態的時間解上，特征根s1，2對應的振蕩基礎項為 sinωiet及cosωiet;特征根s3，4對應的振蕩基礎項為 sin［(ωs+ωiesinL)t］及 cos［(ωs+ωiesinL)t］;特征根s5，6對應的振蕩基礎項為 sin［(ωs－ωiesinL)t］及 cos［(ωsωiesinL)t］。因此，系統誤差式(2)存在三種頻率的振蕩:舒拉振蕩，頻率為ωs，周期為84.4 min;地球振蕩，頻率為ωie，周期為24h;傅科振蕩，頻率為ωiesinL。

略去傅科振蕩的影響，當 εN、εU、εE、▽N、▽E為常值時，系統誤差式(2)和系統方程式(4)的零狀態響應x0x(t)中東向速度誤差δVE的解析解為［6］:

系統經度誤差的解析解為:

由式(7)和式(8)可以看出，在系統輸入u的作用下，系統東向速度誤差δVE分為兩類:振蕩型、常值型，由于δVE通過積分作用于δλ，因此導航經度誤差分為兩類:振蕩型、積累型。對系統精度影響最大的是積累型，會引起導航精度的發散。由式(8)可知，北向和天向陀螺常值漂移引起的經度誤差積累為

2 十六次序轉位方案設計

對于雙軸旋轉慣導系統，誤差方程式(2)中的慣性元件誤差項εn和▽n是由IMU坐標系中慣性元件誤差項εs和▽s乘以IMU姿態矩陣轉化而來的，即

其中:為的轉置。

導航計算機控制IMU以一定的規律和周期轉動，即有規律地改變的值，使εn、▽n在一個運動周期時間T內的積分為零，這將使狀態變量 φN，φU，φE，δVN，δVE，δL不產生常值型誤差，并且振蕩的幅值大幅度減小，經過積分作用導航經度誤差δλ不會隨著時間發散，只是隨時間振蕩，振蕩的幅值也相應減小，相應必然提高了系統導航的精度。因此旋轉系統自動補償的本質即是周期性地改變姿態矩陣的值，從而使短時間內的誤差傳播方程中數學平臺的誤差項εn和的積分或者均值盡量接近零，以此來減小系統誤差的積累和振蕩的幅值，提高導航精度。

不同的轉位方案對應的補償效果，因此在設計雙軸旋轉慣性系統應選擇合理的轉位方案。

根據文獻［1］，可以用矢量ε在數學平臺或者導航坐標系中的方位分布圖來設計轉動次序或者研究轉位方案的慣性元件誤差抵消情況。設計十六次序轉位方案如下［7］:

矢量ε初始位置為A，每次旋轉時，IMU以ω的角速度繞IMU坐標系中的一個軸轉過180°，轉動的時間記為T1=π/ω，靜止時間T2后再進行下一次旋轉，則十六次序轉位方案的周期為T=16(T1+T2)。陀螺常值漂移矢量ε靜止時刻在空間分布為四個位置A、B、C、D，從北天東地理坐標系xnynzn的角度看，十六次序轉停方案可以描述為:

圖1 1～8次序矢量ε方位分布圖

十六次序轉停過程中1～8次序矢量ε方位分布如圖1所示，9～16次序與1～8次序旋轉次序相同，方向相反。

3 誤差傳播特性的研究方法

載體、IMU相對地球不存在線運動，φ，γ，θ分別表示t時刻IMU航向、滾動、俯仰3個姿態角，由于設計的雙軸轉位方案是繞方位軸y軸和滾動軸x軸旋轉，因此θ=0，˙θ=0，則在北天東地理坐標系中，t時刻IMU的姿態陣為:

IMU坐標系中3個正交安裝的陀螺分別感受到的輸入角速度為，則

由于陀螺的測量誤差比加速度的測量誤差對導航精度的影響大得多，因此以下分析主要針對陀螺的測量誤差進行。

其中:δGx、δGy、δGz分別表示 IMU 坐標系x、y、z軸上陀螺的安裝誤差角度。

不考慮陀螺的非對稱標度因數誤差的影響，3個陀螺的標度因數誤差矩陣δS可表示為:

δSx、δSy和 δSz分別表示 IMU 坐標系中x軸、y軸和z軸上陀螺的標度因數誤差。

導航坐標系n系中數學平臺的角速度誤差為

4 不同誤差因素的仿真分析

仿真從初始對準誤差、慣性器件常值漂移、安裝誤差、標度因數誤差四個影響導航的因素入手分別雙軸旋轉慣導系統導航誤差的傳播特性，并對每一種誤差因素導致的導航誤差傳播特性進行總結［8－12］。為簡化分析，以導航誤差中δλ的振蕩峰峰值大小或者δλ的積累和發散程度大小來衡量不同誤差因數情形下雙軸旋轉慣導系統的誤差補償效應。

導航仿真參數設定為:十六次序轉位時轉動角速度ω=12°/s，每次轉動時間T1=15 s，每次停止時間T2=30 s，轉位周期T=720 s，載體所在緯度L=28.2°，載體所在經度 λ=116.15°，每經過一個周期T記錄一次導航誤差，導航仿真時間為100 h。

4.1 初始對準誤差角的導航誤差傳播特性

初始對準誤差角的誤差傳播特性實際上是誤差方程式(2)、式(4)的零輸入響應，根據前面的分析，雙軸旋轉慣導系統的初始對準誤差角不會引起導航誤差的積累和發散，只會引起導航的常值誤差和振蕩誤差。

保持 φU0和 φE0為零不變，當 φN0分別取－3″、－2″、－1″、1″、2″、3″時，進行 6 次導航仿真;保持 φN0和φE0為零不變，當 φU0分別取－3″、－2″、－1″、1″、2″、3″時，進行6次導航仿真;保持φN0和φU0為零不變，當φE0分別取－3″、－2″、－1″、1″、2″、3″時，進行 6 次導航仿真。18次導航仿真中δλ的振蕩峰峰值大小見表1。

表1 導航經度誤差振蕩峰峰值的仿真結果

由表1知，導航經度誤差振蕩峰峰值會隨著初始對準誤差角 φN0、φU0、φE0的增大而增大，并成線性關系，但必須指出，初始對準誤差角絕對值相同時，取值的正負雖然不會影響導航經度誤差振蕩峰峰值的大小，但會影響導航經度常值誤差的正負，從誤差曲線上看，初始對準誤差角取正值時的導航經度誤差曲線和取負值時的導航誤差曲線關于零值對稱。φN0=－3″和 φN0=3″的導航經度誤差如圖 2所示。

4.2 陀螺常值漂移的導航誤差傳播特性

當陀螺測量誤差中只有陀螺常值漂移時，根據式(13)，可得

圖2 φN0=－3″和 φN0=3″時導航經度誤差

將上面數學平臺的角速度誤差項(15)在轉動周期T=16(T1+T2)內積分，則得到十六次序轉位之后數學平臺的累積誤差角度:

因此在雙軸旋轉慣導系統中，陀螺的常值漂移不會造成積累和發散的導航誤差，只會造成常值型和振蕩型的導航誤差。

表2 導航經度誤差振蕩峰峰值的仿真結果

4.3 陀螺安裝誤差的導航誤差傳播特性

當陀螺測量誤差中只有陀螺安裝誤差時，根據式(13)，可得

其中:

將上面數學平臺的角速度誤差項式(17)在轉動周期T=16(T1+T2)內積分，則得到十六次序轉位之后數學平臺的累積誤差角度:

因此在雙軸旋轉慣導系統中，陀螺的安裝誤差不會造成積累和發散的導航誤差，只會造成常值型和振蕩型的導航誤差。

仿真時，假定Gx=Gy=Gz，當陀螺安裝誤差分別為－3×10－6、－2×10－6、－1×10－6、1×10－6、2×10－6、3×10－6時進行6次導航仿真，δλ的振蕩峰峰值大小見表3。

表3 導航經度誤差振蕩峰峰值的仿真結果

由表3可知，導航經度誤差振蕩峰峰值會隨著陀螺安裝誤差Gx、Gy、Gz的增大而增大，并成線性關系。與§4.1類似，陀螺安裝誤差取正值時的導航經度誤差曲線和取負值時的導航誤差曲線關于零值對稱。

4.4 陀螺標度因數誤差的導航誤差傳播特性

當陀螺測量誤差中只有陀螺標度因數誤差時，根據式(13)，可得

其中:

將上面數學平臺的角速度誤差項式(19)在轉動周期T=16(T1+T2)內積分，則得到十六次序轉位之后數學平臺的累積誤差角度:

分析式(20)可知，對稱性標度因數誤差所引起的數學平臺誤差積累只在北向和天向存在分量，東向沒有分量。IMU坐標系中x軸、y軸和z軸上陀螺的對稱性標度因數誤差Sx、Sy和Sz對數學平臺誤差的影響程度是不同的，轉動軸x軸、y軸上的Sx和Sy要大于非轉動軸z軸上的Sz。

保持Sy和Sz為零不變，當Sx分別取－3×10－6、－2×10－6、－1×10－6、1×10－6、2×10－6、3×10－6時，進行6次導航仿真;保持Sx和Sz為零不變，當Sy分別取－3×10－6、－2×10－6、－1×10－6、1×10－6、2×10－6、3×10－6時，進行6次導航仿真;保持Sx和Sy為零不變，當Sz分別取－3×10－6、－2×10－6、－1×10－6、1×10－6、2×10－6、3×10－6時，進行6 次導航仿真。

上述18次的導航經度積累誤差仿真結果見表4，表中，Sx、Sy和Sz的單位為×10－6，δλ 的單位為分。

表4 導航經度誤差積累和發散的仿真結果

由表4可以得出:導航經度誤差的大小與標度因數誤差大小成比例關系，并且陀螺的標度因數誤差Sx、Sy和Sz對導航經度誤差的影響程度是不同的，Sx和Sy影響程度要大于Sz，即雙軸旋轉慣導系統中兩個轉動軸上陀螺標度因數誤差對導航精度的影響程度大于非轉動軸。

4.5 誤差因素綜合仿真

圖3 4種誤差因素同時存在時的導航經度誤差

圖4 IMU靜止時的導航經度誤差

對比圖3和圖4可知，在雙軸旋轉慣導系統的旋轉調制下，導航經度誤差減小了兩個數量級以上，導航精度大幅提高。

5 結論

分析仿真結果可知，4種誤差因素大小均與導航誤差大小成線性關系，并且滿足疊加性;4種誤差因素會引起導航姿態，導航速度，導航緯度的常值誤差和振蕩誤差，但不會引起積累誤差;陀螺標度因數誤差會引起導航經度誤差的積累和發散，并且雙軸旋轉慣導系統中兩個轉動軸上陀螺標度因數誤差對導航精度的影響程度大于非轉動軸。在影響導航經度誤差的4種因素中，初始對準誤差角對導航經度誤差振蕩峰峰值大小影響最大。因此，在設計雙軸旋轉慣導系統時，要優化初始對準算法盡量減小初始對準誤差，在雙軸旋轉慣導系統的兩個轉動軸上要選擇標度因數誤差相對較小的陀螺。上述分析忽略了陀螺隨機漂移對導航經度誤差的影響，這是今后進一步研究的方向。

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