梯形變截面懸臂梁式微質量傳感器設計與分析*

高仁璟，趙 劍

(大連理工大學，工業裝備與結構分析國家重點實驗室，汽車工程學院，遼寧大連 116024)

壓電式微質量傳感器主要通過測量由微小質量引起的結構諧振頻率變化量來檢測物質成分，具有體積小、反應靈敏及自激勵和自感應的特點，在細菌和病毒等微生物檢測、微小顆粒探測、氣/液體成分和濃度測量等方面具有廣泛的應用前景。由于待測物的質量變化極其微小，傳感器必須具有很高的靈敏度才能滿足高精度的測量要求。懸臂梁式微質量傳感器的靈敏度與結構的諧振頻率成正比，探測區的質量吸附面積、結構剛度和質量等都是影響傳感器靈敏度的關鍵因素。對于等截面懸臂梁式微質量傳感器，其諧振頻率與結構尺寸相關，尺寸越小諧振頻率越高，傳感器的靈敏度越高。因此，利用先進的工藝技術以制備更加微小尺度的傳感器成為提高傳感器靈敏度的重要手段［1－5］。近年來隨著微納米制造技術、電子技術及生物技術的發展，國內外研究人員圍繞提高微質量傳感器靈敏度的設計方法開展了大量研究工作，主要包括:(1)利用MEMS和NEMS加工技術，采用縮小傳感器尺度的方法來提升傳感器靈敏度［6－8］，靈敏度可以達到 10－18g 量級的吸附質量;(2)采用高彈性材料獲得高靈敏度，Johansson and Butt［9］等人采用環氧聚合物制作的懸臂梁比硅懸臂梁更有彈性，且長度可以比硅懸臂梁短40倍;(3)改變各部分結構比例參數，即長度比、寬度比等參數來獲得高靈敏度［10－16］;(4)利用懸臂梁結構的高階諧振頻率進行微小質量的探測［17－19］。另外，傳感陣列技術［20］也為微質量傳感器的發展提供了新的檢測手段，實現多種不同性質的微小被測物同時測量。

雖然傳感器關鍵幾何尺寸微納米化可以有效的提升傳感器的靈敏度，但其所帶來的難以在液體環境工作、動態模式不穩定、易受外界干擾及高精度測量困難等問題直接影響了其應用范圍［21－22］。因此，在一定幾何尺度約束下，綜合考慮傳感器結構尺寸、測量難易程度和實用性之間關系的高靈敏度微質量傳感器的設計已逐漸引起研究人員的廣泛關注。

微質量傳感器在測量過程中被測物的種類存在多樣性，包括液體濃度值、微小顆粒、細胞以及細菌和病毒等。液體濃度測量所需要的單位面積質量靈敏度不同，具有集中質量的微小顆粒的測量則需要單點或多點位置處的靈敏度最高。因此如何通過結構設計提升懸臂梁結構傳感器在某集中區域內的測量靈敏度已成為該類型傳感器設計的關鍵所在。文獻［23］中給出的具有三角形表面的懸臂梁傳感器，雖然在其尖端部位能夠達到最高靈敏度，但在實際應用中被測物難以穩定放置于三角形的尖端部位，從而直接影響了其實用性。因此，針對具有集中質量的被測物的高精度測量問題，本文提出一種兼顧實用性和高靈敏度要求的變截面梁結構的微質量傳感器，通過懸臂梁固定端和自由懸臂端寬度的優化設計實現高靈敏度的微小質量測量。

傳感器的結構如圖1所示，由等厚度(t1)的梯形變截面(變寬度)壓電層、等厚度(t2)的變截面(變寬度)彈性層和固定端組成。壓電層可黏貼在彈性層的單面(單壓電變截面梁)或雙面(雙壓電變截面梁)，并且具有相同的寬度。壓電片覆蓋彈性層的部分區域，使整體結構沿長度分解成由壓電層和彈性層組成的復合段和彈性層構成的延伸段。復合段和延伸段的長度分別為l1和l2，傳感器的總長度為l。傳感器的寬度由固定端和懸臂端的寬度w0和w1確定。

圖1 雙壓電片變截面懸臂梁式微質量傳感器的結構

1 變截面懸臂梁微質量傳感器靈敏度分析

本文提出的變截面微質量傳感器可簡化為由變截面復合段和變截面延伸段組成的變截面懸臂梁，其振動方程可由伯努利－歐拉梁理論表示為:

式中D(x)和m(x)分別為懸臂梁的抗彎剛度和單位梁長(線密度)的質量，在復合段與延伸段分別為不同的值。ω為自振頻率，Y(x)為振幅。

按照圖1所描述的變截面梁，以固定端為坐標原點，梁的截面性質參數可由位置坐標表示為:

其中，D2(x)和m2(x)為彈性層延伸段的截面抗彎剛度和質量線密度，可表示為:

D1(x)和m1(x)為多層復合段的截面抗彎剛度和質量線密度。對于雙壓電層復合段其定義為:

其中，E1、ρ1為壓電材料的楊氏模量和質量密度，E2、ρ2為彈性層材料的楊氏模量和質量密度;w(x)為軸向位置x處的截面寬度，可由梁的兩個端部寬度表示為:

將式(3)～式(6)代入方程(1)所得到的方程為變系數微分方程，難以獲得其解析解。因此，本文采用有限元法求解。

微分方程式(1)的等效積分弱形式可表示為:

其中Uad為可能的位移集合，定義為:

根據有限元理論，將懸臂梁沿軸向分割成n個單元，如圖2所示。在每個單元內部截面的撓度(振幅值)可由該單元的兩個端面的振幅通過插值函數插值獲得。例如，在第e個單元內截面的振幅為:

將式(10)代入式(8)得到用單元截面位移表示的振動方程:

令

［Ke］，［Me］分別稱為單元剛度矩陣和質量剛度矩陣。定義整體截面位移向量{a}、總體質量矩陣［M］和總體剛度矩陣［K］，其中總體質量矩陣和剛度矩陣按照有限元方法的思想由單元質量矩陣和單元剛度矩陣組裝而成。整體位移向量為:

振動方程(12)可寫成以下形式的特征方程:

圖2 傳感器結構的有限元網格與典型梁單元

當梯形變截面懸臂梁傳感器用于探測微小顆粒狀被測物時，傳感器的靈敏度可以通過單位集中質量引起的諧振頻率變化量來表示:

其中Δm為被測物質量，Δfn為被測物Δm引起的第n階頻率變化量，fn為第n階頻率，為等效質量，Yn為第n階振型。等效質量可表示為:

為了便于與文獻［12］中所提出的單層壓電矩形截面懸臂梁微質量傳感器對比，本文采用變截面梁的參數如表1所示，數值模擬得到傳感器的靈敏度如圖3所示。

表1 變截面懸臂梁傳感器參數

圖3 不同結構形式傳感器靈敏度對比

從圖3中可以看出，文獻［12］中傳感器的靈敏度為48.00 kHz/g，單壓電層梯形變截面懸臂梁式微質量傳感器的靈敏度為109.00 kHz/g，雙層壓電梯形懸臂梁傳感器的靈敏度為174.60 kHz/g，與文獻［12］相比，靈敏度分別提高了127.00%和263.00%。因此，通過改變彈性懸臂梁和壓電層的結構形式可以顯著的提高傳感器的靈敏度。

2 實驗驗證

為了驗證本文提出的采用梯形變截面懸臂梁結構替代傳統的矩形懸臂梁結構來提高傳感器靈敏度方法的有效性，采用線切割工藝制作了單壓電層梯形變截面懸臂梁傳感器，如圖4所示，彈性梁為高彈簧鋼薄片，壓電層為PZT－5?？紤]到原材料及制造誤差的限制，懸臂梁結構的幾何尺寸如表2所示。

圖4 梯形變截面懸臂梁傳感器

表2 變截面懸臂梁傳感器參數

實驗中利用WK6500B阻抗分析儀搭建微質量傳感器的測試平臺，利用細長導線將壓電層的兩個電極連接于阻抗分析儀的輸入端進行頻率掃描測試，測試系統如圖5所示。按照表2的給定參數，理論計算得到傳感器的一階諧振頻率為531.00 Hz，二階頻率為1 761.00 Hz。分析表2中傳感器的結構參數發現，由于壓電層與彈性梁結構具有較大的厚度比，測量過程中在滿足懸臂梁結構復合段與延伸段振動連續性條件的情況下更容易激發得到二階諧振頻率。圖6為單壓電層梯形懸臂梁傳感器的二階諧振頻率測量曲線。測量結果顯示，傳感器的基頻為1 785.00 Hz，如圖6(a)所示，紅線為阻抗變化曲線，藍線為相角變化曲線。當附加800 μg質量時，傳感器的諧振頻率為1 706.00 Hz，如圖6(b)所示，傳感器的靈敏度為98.00 kHz/g。理論仿真得到單壓電層梯形懸臂梁傳感器靈敏度為102.00 kHz/g，與實際測量值偏差為4.70%。造成二階諧振頻率下仿真結果與實驗結果存在偏差的原因在于導電銀漿涂覆厚度以及連接導線的焊點自重等使得傳感器的靈敏度測量值偏低。

本文同樣測試了具有相同壓電層結構參數、厚度，且寬度為4.00 mm的矩形懸臂梁傳感器的二階頻率靈敏度，測得其二階諧振頻率為1 540.00 Hz，對應的靈敏度為78.00 kHz/g。由此可以看出，利用梯形懸臂梁結構可以有效的提高傳感器的靈敏度。

通過實驗結果分析發現，采用梯形變截面懸臂梁結構可以有效地提高傳感器的靈敏度，提高約25.00%。通過調整梯形變截面梁的變化斜率可以改變傳感器靈敏度的提高程度。因此，可以通過截面變化率的優化設計，來優化傳感器的結構形式，以獲得最高的靈敏度。綜合分析偏差的產生原因，本實驗結果與理論仿真結果基本一致，最大偏差不超過5.00%，有效驗證了本文所提出的梯形變截面懸臂梁式微質量傳感器設計方法的有效性和可行性。

圖5 諧振頻率測試系統

圖6 梯形變截面懸臂梁傳感器測試結果

3 結論

本文利于變截面梯形懸臂梁結構作為傳感器的關鍵彈性元件，提出了一種針對具有集中質量特性的被測物測量問題的高靈敏度微質量傳感器的設計方法，建立了梯形變截面梁傳感器的振動分析模型，采用有限元方法分析了變截面梁微質量傳感器靈敏度。實驗和仿真結果表明，與等截面矩形懸臂梁式傳感器對比，變截面梯形懸臂梁式傳感器的靈敏度獲得了顯著的提高。與現有的傳感器靈敏度提升方法相比，本文提供了一種提高微質量傳感器靈敏度的新思路，為滿足特定環境需求下微質量傳感器的設計提供理論依據。

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