基于ARIMA模型的山西省人均實際GDP預測

翟明娟

（長治學院 數(shù)學系，山西 長治 046011）

人均實際GDP是衡量一個國家或地區(qū)經濟發(fā)展水平的最普遍的一個標準，人均實際GDP高，意味著人均社會財富及福利水平也就高。科學合理準確地對山西省人均實際GDP進行預測，對于山西省建設全面小康社會有著重要意義。文章以1978-2010年山西省人均實際GDP為樣本數(shù)據(jù)，通過建立ARIMA模型對其進行統(tǒng)計分析，以揭示山西省人均實際GDP數(shù)據(jù)之間的內在規(guī)律，并進行短期預測。

1 模型的建立

1.1 樣本數(shù)據(jù)的獲得

自1978年以來的山西省每年的人均GDP數(shù)據(jù)在現(xiàn)有的很多統(tǒng)計資料中均可查閱，但這些數(shù)據(jù)均是以當年價格核算的，沒有剔除物價上漲的因素。為消除物價變化因素對人均財富的影響，文章擬在已有統(tǒng)計資料的基礎上對山西省人均實際GDP進行折算。

選取山西省名義生產總值（按當年價格計算的山西省GDP）、山西省以1978年為基期的商品零售定基價格指數(shù)（簡稱山西省商品零售價格指數(shù)）、山西省常住人口這三個變量，具體數(shù)據(jù)見表1的第2、3、4列。其中山西省名義生產總值1978年至2004年的數(shù)據(jù)來自《輝煌山西60年》（資料篇）第240頁；2005年至2010年的數(shù)據(jù)來自2011年的《山西省統(tǒng)計年鑒》。這兩部工具書中2005年至2008年的數(shù)據(jù)不一致，是由于全國第二次經濟普查后對其修訂所致，表中所列數(shù)據(jù)以修訂后為準。山西省常住人口1978年至2008年的數(shù)據(jù)來自《輝煌山西60年》（資料篇）第248頁；2009年、2010年的數(shù)據(jù)來自2011年的《山西省統(tǒng)計年鑒》；山西省商品零售價格指數(shù)（1978=100）1978年至2008年的數(shù)據(jù)來自《輝煌山西60年》（資料篇）第299頁，2009年、2010年的數(shù)據(jù)來自2011年的《山西省統(tǒng)計年鑒》。

利用表中第2列數(shù)據(jù)除以第4列相應數(shù)據(jù)可得到第5列數(shù)據(jù)；再將第5列數(shù)據(jù)除以第2列的相應數(shù)據(jù)可得第6列數(shù)據(jù)，即1978年至2010年的山西省人均實際GDP數(shù)據(jù)。

記山西省人均實際GDP為yt，該數(shù)據(jù)為時間序列數(shù)據(jù)，其序列圖如圖1所示。從圖1可以看出：該序列呈現(xiàn)為動態(tài)趨勢且又含有隨機波動的非平穩(wěn)時間序列。山西省近30多年的人均實際GDP呈一定的線性與指數(shù)增長趨勢，為不平穩(wěn)序列，其單位根的ADF檢驗如表2所示。從表2可以看出：該序列的ADF檢驗統(tǒng)計值為2.571809，大于10%的臨界值，因此判斷該序列存在單位根，為不平穩(wěn)時間序列。由于ARIMA模型要求數(shù)據(jù)為平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)，因此建立模型之前，先要對數(shù)據(jù)進行平穩(wěn)化處理。

表1 山西省1978-2010年各項數(shù)據(jù)

圖1 山西省人均實際GDP時序圖

圖2 山西省人均實際GDP對數(shù)差分時序圖

表2 山西省人均實際GDP序列的ADF檢驗結果

1.2 數(shù)據(jù)的平穩(wěn)處理

首先對山西省人均實際GDP數(shù)據(jù)取對數(shù)。將指數(shù)趨勢化為線性趨勢，然后將對數(shù)數(shù)據(jù)進行一次差分，以消除線性趨勢，并記為Δlnyt，其序列圖如圖2所示。從圖2可直觀看出該序列上下隨機波動，已消除了趨勢性。另外從其單位根檢驗結果表即表3可知：序列Δlnyt在5%的顯著性水平下不存在單位根，為平穩(wěn)序列，可對其建立ARMA模型。

表3 山西省人均實際GDP對數(shù)差分序列的ADF檢驗結果

1.3 模型的識別

確認合適模型的過程叫模型識別。采用AR（p）、MA（q）還是 ARMA（p，q）為確定模型的類型，需要借助于取對數(shù)以后的能源消費的一階差分序列的自相關和偏相關圖。從圖3可以看出：該序列的自相關函數(shù)和偏自相關函數(shù)都是拖尾的，初步判斷應建立ARMA模型。

圖3 山西省人均實際GDP對數(shù)差分序列的自相關與偏相關圖

為確定模型的階數(shù)，需要利用AIC準則，以AIC小者為好，表4列出各模型的AIC值。

表4 ARMA模型的AIC數(shù)值表

從表4得知模型ARMA（5，3）的AIC值最小。但該模型的部分參數(shù)的顯著性檢驗通不過，不是特別好，因此再考慮AIC次小的模型ARMA（5，5），同樣該模型的部分參數(shù)不顯著。同樣模型ARMA（5，2）和 ARMA（3，5）的部分參數(shù)不顯著。經過多次計算與比較，最終選擇模型ARMA（5，3），該模型的各項指標均優(yōu)于其它模型，且殘差的正態(tài)隨機性也通過了檢驗。

1.4 模型的參數(shù)估計

選擇最小二乘法，并利用軟件eviews3.1計算得到模型ARIMA（5，1，3）的估計結果如表5所示。

表 5 ARIMA（5，1，3）的估計結果

從表5的估計結果可得模型為：

模型的殘差平方和很小，為0.040328；判定系數(shù)為0.747637，接近1，說明模型對因變量的解釋能力較高；DW的值為2.157146，接近2，說明模型的殘差不存在序列自相關現(xiàn)象。

1.5 模型的殘差檢驗

為檢驗上述模型是否合適，還需對模型進行殘差序列是否為零均值的白噪聲檢驗。若殘差通過檢驗，則認為模型是合適的，可用于預測，否則還需要對模型進行修改。

圖4是由模型（1）對山西省人均實際GDP一階差分序列進行擬合后的實際值、擬合值與殘差圖。從圖中可看出：模型的擬合值與實際值的變動具有較好的一致性，模型的殘差較小，消除了線性與指數(shù)趨勢，且在零均值上下隨機波動。表5是殘差序列的ADF檢驗結果表。從表5中可知：該序列在1%的顯著性水平下為平穩(wěn)序列。綜合上述各結果，殘差序列在1%的顯著性水平下為白噪聲序列，即說明山西省人均實際GDP一階差分序列的擬合值是實際值的無偏估計[1]。

圖4 山西省人均實際GDP對數(shù)差分序列的實際值、擬合值與殘差圖

表5：殘差序列的ADF檢驗結果表

2 模型的預測

由模型ARIMA（5，1，3）即模型（1），可得 lnyt的預測公式為：

進一步可得山西省人均實際GDP序列yt的預測公式為：

由預測公式（2）可得2007年至2011年的山西省能源消費的預測值，進一步可得2007年至2010年的預測誤差，結果如表6所示。

表6 2007-2010年山西省人均實際GDP的實際值與預測值對比分析表（單位：元）

由表6可得：2007年至2010年份的預測誤差均在4%以內，效果比較好，可用于外推預測。

3 結論

通過對山西省1978-2010年的人均實際GDP序列進行的分析與建立的 ARIMA（5，1，3）模型表明：該模型的預測效果良好，可用于外推預測。根據(jù)預測公式（2）可得2011年山西省人均實際GDP將達到7385.20元，2012年將達到8462.39元，2013年將達到10159.32元。對照國際上比較通行的人均GDP達到800美元為小康，達到4000美元為富裕的標準。按照現(xiàn)行匯率計算，山西省單就人均GDP這一項指標在2008年就已經達到小康水平，但要達到富裕階段還需要一段時間的努力。

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