一個習題的注記

王穎俐，王慧群，王 鑫

（1.長治學院 數學系，山西 長治 046011；2.長治縣第一中學，山西 長治 047100）

秩為1的矩陣的結論看似很淺顯，其實它的應用很廣泛。

習題［1］設A是一個n×n矩陣，r（A）=1。

這個習題是選自王萼芳、石生明所編寫的《高等代數》（第三版）中第四章補充題第1題。這個習題的結論形式很簡單，但是由該習題所引發的思考是源源不斷的。文章就從該習題出發，討論了該習題的兩個應用：一個是一致矩陣；一個是二維離散型隨機變量獨立性的矩陣刻劃。

1 一致矩陣

定義1：正互反矩陣［2］

對任意兩個因素Ci和Cj，用aij表示Ci和Cj對目標層的影響程度之比，按1～9的比例標度來度量aij.于是，可得到兩兩成對比較矩陣A=（aij）n×n，又稱為判斷矩陣，顯然 aij＞0，aij=，aij=1（i，j=1，2，…，n）.

因此，又稱判斷矩陣為正互反矩陣.

定義 2：一致矩陣［2］

一般地，如果一個正互反矩陣A滿足aijakj=aij（i，j，k=1，2，…，n），則稱 A 為一致性矩陣，簡稱為一致陣.

一致矩陣具有以下性質：

性質2矩陣A的各行成比例，且r（A）=1.

從而可得矩陣A的各行成比例，且r（A）=1

性質3 矩陣A的轉置AT也是一致矩陣，且

性質4 若矩陣A為一致矩陣，則：

性質5 矩陣A的最大特征根為λ=n，其余n-1個特征根均等于0.

性質6 矩陣A的任一列（行）都是對應于特征根n的特征向量.

證明：（1）先證列成立

因此，矩陣A的任一行都是對應于特征根n的特征向量.

（2）再證行成立

由于一致矩陣A還可以表示為：

因此，矩陣A的任一列都是對應于特征根n的特征向量.

2 二維離散型隨機變量獨立性的矩陣刻劃

設（X，Y）是二維離散型隨機變量[4]，X 與 Y 相互獨立，（X，Y）的聯合分布律為

設X、Y的邊際分布律分別為：

由X與Y相互獨立，得

即：pij=pi.pji，j=1，2，…，n.

（X，Y）的聯合分布律為：

其對應的矩陣A為：

因此，A的各列成比例，從而r（A）=1，且

這說明若二維隨機變量X與Y相互獨立，則由（X，Y）的聯合分布列所構成的矩陣A的秩為1，且其行列式為0.

反過來，若已知（X，Y）的聯合分布列所構成的矩陣A的秩為1，則A的任意二階以上的子式都為零，從而：

從而得X與Y相互獨立.

因此我們可以得到二維離散型隨機變量（X，Y）獨立的充要條件是（X，Y）的聯合分布列所構成的矩陣A的秩為1.

［1］王萼芳，石生明.高等代數（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［2］韓中庚.數學建模方法及其應用（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［3］吳文江.一致性正矩陣的一個性質的另一證法［J］.山東建材學院學報，1995，9，10（3）:65-66.

［4］韓旭里，謝永欽.概率論與數理統計（修訂版）［M］.上海：復旦大學出版社，2006.