深度緩變矩形槽中的孤波

王 艷

（長治學(xué)院 電子信息與物理系，山西 長治 046011）

水槽中的孤波是非線性科學(xué)中的一個典型現(xiàn)象，很多學(xué)者對非傳播孤波的理論和實驗都做了積極的探討[1-12]。關(guān)于水槽中孤波的相互作用，除了吳君汝等的實驗發(fā)現(xiàn)外，一些文獻還用不同方法給出了兩同振幅孤波相互作用的理論分析，同相孤波相互吸引而周期性的合并，反相孤波相互排斥而遠(yuǎn)離[8-10]。有關(guān)不同振幅孤波的相互作用，則討論很少。另外，吳君汝等的實驗發(fā)現(xiàn)：當(dāng)水槽沿長度方向略微傾斜時，孤波將沿著淺水方向移動，而且文獻[11]從能量觀點出發(fā)對此做出了分析和估計。

本文是在不考慮外加驅(qū)動的情況下，對深度緩變矩形槽中的非傳播表面孤波的演化做了一些討論，主要針對槽底部傾斜和槽底部呈余弦變化這兩種情況，得到了一些有意義的結(jié)論。不考慮外加驅(qū)動的情況下，深度緩變矩形槽中非傳播性表面孤波滿足的非線性薛定諤方程為[12]：

為了簡化方程，進行無量綱變換，令 x′=x/2c2，t′=x/4ωc2，A′=，f（x）=-2c2F（x），略去上標(biāo)“′”，得到深度緩變矩形槽中，孤波滿足的無量綱化的非線性薛定諤方程：

其中 A（x，t）表示表面波包絡(luò)，f（x）是槽底緩變函數(shù)。

1 底部傾斜的矩形槽中的孤波

我們考慮深度緩變矩形槽中槽底傾斜時的情況，即：

其中b為槽底的斜率，b＞0意味著沿x正方向槽變淺。此方程的精確解為[13,14]：

其中 θ=μ（x-0.5bt2+x0），φ=-btx+0.5（b2t3/3-μ2t）+φ0，μ，b，x0，φ0是實常數(shù)。精確解中 μ 與孤波寬度有關(guān)，x0是孤波移動的初始點，x0是初相位，孤波移動的速度是時間的函數(shù)為bt，加速度為b，若b=0，孤波將停留在原地。若b＞0，孤波則沿淺水方向加速移動，通過改變參數(shù)b的值，即通過調(diào)節(jié)槽底的傾斜度，可以控制孤波的移動速度。從圖1（a）中我們可以看到當(dāng)槽底沿x正方向向上傾斜，即b＞0時，非傳播性孤波是沿x正方向，即淺水方向移動的。從圖1（b）中我們可以看到當(dāng)槽底不傾斜，即b=0時，非傳播性孤波將停留在原地。圖2顯示了槽底傾斜時兩個同振幅的非傳播性孤波移動過程中的相互作用情況：從圖2（a）可以看到兩個振幅和寬度相同的同相孤波在移動過程中相互吸引而周期性的合并；從圖2（b）可以看到兩個振幅和寬度相同的反相孤波在移動過程中相互排斥而遠(yuǎn)離。圖3顯示了槽底傾斜時兩個不同振幅的非傳播性孤波移動過程中的相互作用情況。我們可以看到，同相和反相的兩孤波在移動過程中都將保持相對距離不變。數(shù)值模擬顯示了兩個不同振幅的非傳播性孤波的相互作用比同振幅的要弱。

圖1 槽底傾斜時非傳播性孤波的移動。參數(shù)選取分別為：μ=1，x0=0，φ0=0，（a）b=0.1，（b）b=0。

圖2 槽底傾斜時兩振幅相同的非傳播性孤波的相互作用。參數(shù)選取分別為：μ=1，φ0=0，b=0.05，（a）同相孤波相互作用 A（x，0）=sech（x+2）+sech（x-2），（b）反相孤波相互作用 A（x，0）=sech（x+2）-sech（x-2）。

圖3 槽底傾斜時兩振幅不同的非傳播性孤波的相互作用。參數(shù)選取分別為：μ=2，φ0=0，b=0.05，（a）同相孤波相互作用 A（x，0）=2sech［2（x+2）］+sech（x-2），（b）反相孤波相互作用 A（x，0）=2sech［2（x+2）］-sech（x-2）。

2 底部呈余弦變化矩形槽中的孤波

我們考慮深度緩變矩形槽中槽底呈余弦變化的情況，即：

此時方程（3）沒有精確的孤波解，我們考慮如下初始波形：

其中η與孤波的寬度有關(guān)，圖4顯示了槽底部呈余弦變化時波形（7）的演化情況，從圖4中我們看到ε取值較小時波形（7）是穩(wěn)定的。事實上，當(dāng)槽底緩變函數(shù)f（x）=0時，方程（3）就簡化成了標(biāo)準(zhǔn)的非線性薛定諤方程。眾所周知，標(biāo)準(zhǔn)的非線性薛定諤方程的精確孤波解的初始形式為（7）式，由于考慮到矩形槽底是做微小的變化，即槽底緩變函數(shù)f（x）中參量ε＜＜1，可認(rèn)為在非線性體系（6）下的方程（3）是精確可積的標(biāo)準(zhǔn)的非線性薛定諤方程的周期橫向微擾形式。圖5顯示了槽底呈余弦變化時兩非傳播性孤波的相互作用，只要選取合適的參數(shù)兩同相孤波將不會出現(xiàn)周期性合并，兩反相孤波也不會遠(yuǎn)離。

圖4 槽底部呈余弦變化時孤波的演化。參數(shù)選取分別為：η=1，ω=1，（a）ε=0.05，（b）ε=0。

圖5 槽底呈余弦變化時兩非傳播性孤波的相互作用。參數(shù)選取分別為：η=1，ω=1，ε=0.05，（a）同相孤波相互作用 A（x，0）=sech（x+2.6）+sech（x-2.6），（b）反相孤波相互作用 A （x，0）=sech（x+2.6）-sech（x-2.6）。

本文是在不考慮外加驅(qū)動的情況下，討論了深度緩變矩形槽中底部傾斜和底部呈余弦變化時非傳播性孤波的演化情況，分析了槽底部傾斜時非線性薛定諤方程的精確解，從而得到了孤波向淺水方向移動的結(jié)論，與吳君汝的實驗和文獻[11]的結(jié)論是一致的。還進一步討論了兩孤波相互作用的情況，得到的結(jié)論與槽底部不傾斜的情況一樣，即：兩個同振幅和同寬度的同相孤波相互吸引而周期性的合并，反相孤波相互排斥而遠(yuǎn)離；數(shù)值模擬顯示了兩個不同振幅的非傳播性孤波的相互作用比同振幅的要弱。我們期待能從理論上對此作出分析。對于槽底部呈余弦變化情況，此時非線性薛定諤方程是不可積的，沒有精確解，我們?nèi)×朔匠探平獾某跏夹问竭M行數(shù)值模擬，得到此近似解的初始波形在演化過程中是穩(wěn)定的。對兩孤波相互作用，得到了與槽底是平面時不一樣的結(jié)論，只要選取合適的參數(shù)，兩同相孤波將不會出現(xiàn)周期性合并，兩反相孤波也不會遠(yuǎn)離，而是處于一種相持狀態(tài)。

［1］Wang Benren，Wei Rongjue.The wave form and approximate formula of nonpropagating hydrodynamic solitons in trough［J］.Chinese Phys.Lett.，1986，3（2）：213-216.

［2］王本仁，魏榮爵.二模振蕩激勵下水槽中的孤立波［J］.物理學(xué)報，1986，35（12）：l547-1555.

［3］Yan Jiaren，Huang Guoxiang.Nonpropagating solitary wave on surface of fluid with small vicidity exited by external drive［J］.Chinese Phys.Lett.，1988，5（7）：305－309.

［4］Wei Rongjue.Further investigation of nonpropagating soliton and their transition to chaos［J］.J.Acoust.Soc.Am.，1990，88（1）：469-472.

［5］黃國翔，顏家壬，戴顯熹.矩形諧振器中非傳播重力—表面張力孤波的理論研究［J］.物理學(xué)報，1990，39（8）：1234-1241.

［6］王本仁，R.E.Apfel.在參量激勵圓柱槽中的強迫孤立波［J］.中國科學(xué)（A），1992，（l）：51-55.

［7］周顯初，崔洪農(nóng).表面張力對非傳播孤立波的影響［J］.中國科學(xué)（A），1992，（12）：1270-1276.

［8］顏家壬.矩形槽中非傳播孤波之間相互作用［J］.湘潭大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，1992，14（3）：1-3.

［9］倪皖蓀，魏榮爵.矩形水槽中一對孤波的相互振蕩對穿［J］.中國科學(xué)（A），1991，（11）：1207-1217.

［10］陳陸君，梁昌洪，吳鴻適.水槽中孤波相互作用的微擾變分分析［J］.物理學(xué)報，1992，41（11）：1745-1752.

［11］陳陸君，梁昌洪，吳鴻適.傾斜水槽中非傳播孤波的移動［J］.西安電子科技大學(xué)學(xué)報，1991，18（3）：15-23.

［12］羅劍蘭，顏家壬.外加驅(qū)動下深度緩變矩形槽中非傳播表面孤波［J］.湘潭大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，1990，12（3）：36-42.

［13］Chen Hsing-Hen，Liu Chuan-Sheng.Solitons in Nonuniform Media［J］.Phys.Rev.Lett.，1976，37：693-697.

［14］Hao Ruiyu，Yang Rongcao，Nie Ping，et al.Exact solitons for the propagation of light in nonlinear optical media with nonperiodic modulation［J］.Phys.Scr.，2006，（74）：132-135.