“代數(shù)學(xué)的獨(dú)立宣言”——哈密爾頓的四元數(shù)代數(shù)

李曉丹，羅成廣

（黃淮學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)系，河南 駐馬店 463000）

在19世紀(jì)，幾何學(xué)領(lǐng)域內(nèi)發(fā)生了重大變革，誕生了非歐幾何，它動搖了“只能有一種可能的幾何”這個幾千年來根深蒂固的信念，使得數(shù)學(xué)有了更大的自由。此后不久，代數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)也發(fā)生了類似的變革，創(chuàng)立了幾種代數(shù)體系，它們與非歐幾何一樣，用了一些與傳統(tǒng)理論相矛盾的假定，這其中首推哈密爾頓的四元數(shù)代數(shù)。

1 哈密爾頓與四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)

哈密爾頓（W.R.Hamilton，1805～1865）出生于愛爾蘭，父親是位律師兼商人，母親是位很有才干的名門閨秀。哈密爾頓從小天資超人，14歲時就已學(xué)會了12種語言。在15歲時，因同一位美國快速心算家的一次接觸，激發(fā)了他鉆研數(shù)學(xué)的巨大興趣。上大學(xué)之前沒入過學(xué)校學(xué)習(xí)，全靠家庭傳授和自學(xué)。年僅16歲的他不僅能讀懂拉普拉斯的《天體力學(xué)》，還發(fā)現(xiàn)了其中關(guān)于力的平行四邊形法則的證明中的錯誤，初次顯露了他的數(shù)學(xué)才華，他從此愛上了數(shù)學(xué)。他在大學(xué)讀書期間是一位出色的學(xué)生，曾囊括了學(xué)院的各種獎項，尤以數(shù)學(xué)和古典文學(xué)成績出色。他在大學(xué)的經(jīng)歷更是獨(dú)一無二的，因為年僅22歲尚未大學(xué)畢業(yè)的他因論文《光學(xué)系統(tǒng)的理論》被破格聘為三一學(xué)院天文學(xué)教授兼該校天文臺臺長。32歲時，他便成為了愛爾蘭皇家科學(xué)院院長。

在19世紀(jì)早期，認(rèn)為存在與一般算術(shù)代數(shù)不同的代數(shù)，如同尋找與歐氏幾何不同的幾何一樣，是不可思議的。假如有人要構(gòu)造一種乘法交換律不成立的代數(shù)，不僅那時候沒有人會這么想，就是有人這么想，也會被認(rèn)為是純屬邪說，怎么可能會有a×b≠b×a的邏輯代數(shù)呢？1833年，哈密爾頓在一篇論文中把復(fù)數(shù)視為有序?qū)崝?shù)對，排除了當(dāng)時人們對復(fù)數(shù)的懷疑，這在那個時候可以說是一個很偉大的成就。之后，他一直在考慮實數(shù)的有序四元數(shù)組的代數(shù)，但總是在如何定義乘法，使得保持人們熟悉的運(yùn)算定律上處于困境，經(jīng)過十幾個春秋，難關(guān)仍未突破。最后，在1843年一閃念間直覺地想到：要求得太多了，必須犧牲交換律。于是，第一個非交換代數(shù)——四元數(shù)代數(shù)突然誕生了。

關(guān)于哈密爾頓在一閃念間想到取消乘法交換律的思想，曾在哈密爾頓的回憶錄中這樣記載：“1843年10月6日，當(dāng)我和夫人步行去都柏林途中來到布洛瀚橋的時候，它們（指四元數(shù)）就來到了人間，或者說出生了，發(fā)育成熟了。這就是說，此時我感到思想的電路接通了，而從中落下的火花就是i，j，k之間的基本方程；恰恰就是我此后使用它們的那個樣子。我當(dāng)場抽出筆記本，它還在，就將這些做了記錄。”直到現(xiàn)在，這個記錄當(dāng)時發(fā)現(xiàn)的小本子還珍藏在都柏林三一學(xué)院的圖書館里。今天，在故事所說的那座橋的石柱上，人們嵌了一塊碑。于是，這個數(shù)學(xué)史上重要的里程碑，被我們長久紀(jì)念。

2 四元數(shù)的概念與運(yùn)算

哈密爾頓提出的四元數(shù)是指形如a+bi+cj+dk的數(shù)。其中a，b，c，d 為實數(shù)，i，j，k 是確定的單位元。 第一項 a 稱為四元數(shù)的數(shù)量部分，后面三項稱為向量部分。兩個四元數(shù)相等定義為數(shù)量部分相等且向量部分的系數(shù)也分別對應(yīng)相等；兩個四元數(shù)相加定義為數(shù)量部分和向量部分的系數(shù)分別對應(yīng)相加。顯然，四元數(shù)相加滿足交換律和結(jié)合律。關(guān)鍵是乘法定義，哈密爾頓首先對單位元i，j，k的乘積放棄了交換律，給出如下規(guī)則：ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=j，i2=j2=k2=-1。 事實上，如果我們用記號 1，i，j，k 分別表示四元數(shù)單位 （1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1），則我們能證明：下列乘法表有效；即，從行的頭上找第一個乘數(shù)，從列的頭上找第二個乘數(shù)，交叉點就是我們要求的乘積：

一般地，任意兩個四元數(shù)相乘，哈密爾頓定義為下面的式子：（a+bi+ci+dk）（e+fi+gi+hk）=（ae-bf-cg-dh）+（af+be+ch+dg）i+（ag+ce+df-bh）j+（ah+bg+de-cf）k

且證明了上面定義的乘法滿足結(jié)合律，而顯然交換律不成立。這樣，四元數(shù)系的運(yùn)算除乘法交換律不再存在之外保持了原有數(shù)系所滿足的所有運(yùn)算定律，包括加法的交換律、結(jié)合律、乘法的結(jié)合律以及乘法對于加法的分配律。四元數(shù)系甚至是一個對除法封閉的數(shù)系。

1843年11月，哈密爾頓在愛爾蘭皇家科學(xué)院宣布了他的四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)，轟動了當(dāng)時的數(shù)學(xué)界。只是后來由于美國耶魯大學(xué)的物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家吉布斯（J.W.Gibbs）發(fā)現(xiàn)了更為方便的向量分析以及德國數(shù)學(xué)家格拉斯曼（H.G.Grassman）發(fā)現(xiàn)了更為一般化的n元有序數(shù)組，使得四元數(shù)理論逐漸被淹沒而成為數(shù)學(xué)史上一件有趣的古董。

3 四元數(shù)代數(shù)的意義

哈密爾頓在數(shù)學(xué)史上首次提出了非交換代數(shù)的概念，這一工作對于代數(shù)學(xué)的影響完全類似于非歐幾何的出現(xiàn)對于幾何學(xué)的巨大沖擊。在這一思想的影響下，向量代數(shù)和向量分析的理論出現(xiàn)了，各種非交換代數(shù)（如矩陣代數(shù)），非結(jié)合代數(shù)（如若當(dāng)代數(shù)、李代數(shù)）的理論相繼出現(xiàn)了。按照保留各種不同代數(shù)性質(zhì)而得到的不同代數(shù)結(jié)構(gòu)紛紛被揭示出來。到現(xiàn)在為止，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)研究過200多種不同的代數(shù)結(jié)構(gòu)，也許這樣說是正確的。這些工作的絕大部分屬于二十世紀(jì)，并且，使一般化和抽象化的思想在今天的數(shù)學(xué)中得到充分的反映。正因為如此，人們高度贊譽(yù)哈密爾頓的工作，把他創(chuàng)立的四元數(shù)代數(shù)稱為“代數(shù)學(xué)的獨(dú)立宣言”。

[1]H.伊夫斯.歐陽絳譯.數(shù)學(xué)史概論[M].太原：山西人民出版社，1986.

[2]M.克萊因著.古今數(shù)學(xué)思想[M].上海：上海科技出版社，1984.

[3]程金華.數(shù)概念的過去和現(xiàn)在[J].華中師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）數(shù)學(xué)史專輯，1987，（1）.