兩類新的GM(1,1)殘差優化模型的建立及預測

何 光，盧小麗

0 引言

灰色系統解決了小樣本及信息不全的問題，大量應用于生產生活領域，引起了廣泛的關注。灰色模型即利用離散隨機數，生成為較有規律的生成數，進而建立起的微分方程模型。提高灰色模型的可靠性及預測精度一直處于不斷的實踐和探索中。目前，已有文獻通過殘差修正模型[1]、對初始數列的變換[2-5]及建立背景值修正的不等時距模型[6]等方式改進模型預測的精度。然而在已有結論中，大多數只側重于分析某一方面（如殘差修正、初始數列的變換或背景值修正等）的改進，而對于多方面的融合探討少有涉及。

在文[1]中提出的殘差修正模型基礎上，本文將結合函數變換的思想，建立新的GM(1,1)殘差優化模型，以提高預測的精度和可靠性。

1 GM(1,1)模型及預測

設n個元素的初始數列x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))的AGO生成數列為

其中，a稱為發展系數，b稱為灰作用量，z1(k)稱為白化背景值。

如果將x(0)(k)各時刻k視為連續變量t，則x(1)就可視為t的函數。記x(1)=x(1)(t)，x(0)(k)對應于導數dx(1)/dt，背景值z(1)(k)對應于x(1)(t)，則有GM(1,1)灰微分方程對應的白微分方程：

該方程稱為GM(1,1)的白化型。如果白化型模型的精度高，則表示所建立的GM(1,1)與真正的微分方程擬合較好。

結合GM(1,1)模型進行灰色預測，步驟如下。

第一步：由初始序列x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))，得一次累加生成序列x(1)。

第二步：求x(1)的白化微分方程中的待定參數a和b，即[a ,b]T=[BTB]-1BTyn。

其中

第三步：將參數a,b代入還原后的模型，得到x(1)的估計值：

進而計算出 x(0)(k)的估計值 x?(0)(k+1)=x?(1)(k+1)-x?(1)(k)。

第四步：模型檢驗。分別計算殘差檢驗、關聯度檢驗和后驗差檢驗的相應指標，如符合精度要求，則可用于預測；否則，運用殘差修正模型加以改進。

2 已有的GM(1,1)殘差修正模型

2.1 傳統的GM(1,1)殘差修正模型

在灰色預測的模型檢驗中，若殘差檢驗不合格時，需建立殘差修正模型。設殘差q(0)(k)= | x(1)(k)-x?(1)(k)| ，得殘差列

對q(0)建立GM(1,1)模型，將得到的預測值處理后，加入原模型得殘差修正模型：

根據i的取值差異得到不同的殘差修正模型。

2.2 改進的殘差修正模型

文[1]中提出了兩種改進的殘差修正模型：模型I和模型II。

模型 I：設殘差為 q(0)(k)=x(0)(k)-x?(0)(k)，對 q(0)建立GM(1,1)模型，將得到的預測值，加入原模型得修正模型：

模型II：設殘差為q(0)(k)= | x(0)(k)-x?(0)(k)| ，對 q(0)建立GM(1,1)模型，將得到的預測值，加入原模型得修正模型：

3 兩類新的GM(1,1)殘差修正模型

鄧聚龍教授指出建立GM(1,1)模型的前提是初始數列x(0)為光滑離散函數[7]。x(0)的光滑性決定了模型預測的可靠性和精確度。于是結合已有的殘差修正模型，通過對預測數列先進行光滑度的處理，然后作灰色建模和預測。

殘差優化模型1的具體步驟如下：

第一步：對初始序列x(0)進行光滑度處理，得到序列w(0)。可選用以下方案：

(1)對數函數轉化T1:ln x(0)(k)；

(2)冪函數轉化T2:(x(0)(k))t,t∈(0,1]；

另外，還可以考慮負指數函數、負指數函數-冪函數轉化等方法。

第二步：對w(0)建立GM(1,1)模型，然后利用函數轉化的逆運算，將其預測值 w?(0)還原為 x?(0)。

第三步：設殘差為q(0)(k)= | x(0)(k)-x?(0)(k)| ，對 q(0)建立GM(1,1)模型，將得到的預測值，加入原模型進行修正。

在優化模型1的基礎上，還可以進一步改善殘差，得到優化模型2。具體步驟如下：

第一步：對初始序列x(0)進行光滑度處理，得到序列w(0)。

第二步：對w(0)建立GM(1,1)模型，然后將其預測值w?(0)還原為 x?(0)。

第三步：設殘差為q(0)(k)= | x(0)(k)-x?(0)(k)| ，對殘差序列作光滑度處理后，再建立GM(1,1)模型；最后將得到的結果還原處理后，加入原模型予以修正。

4 應用實例

以文[1]中Fibonacci數列為例，初始數列為：x(0)={x(0)(k)}={1,1,2,3,5,8,13}，其中 k=0,1,2,…,6。易知該數列為光滑的[8]，可用灰色模型進行預測和分析。根據文[1]的結論，作者提出了兩種改進的誤差修正模型對數列x(0)做出預測，其結果在精度上要優于傳統的殘差修正模型，其中第二種改進模型效果更好。這里我們將運用優化模型1對數列x(0)進行預測，并與文[1]中的結果進行比較。

首先，分別運用T1、T2和T3對 x(0)進行光滑度處理。運用T1和T3時，為使運算有意義，需先將原數列化為 y(0)(k)=x(0)(k)+3后，再進行灰色預測，最后用x(0)(k)=y(0)(k)-3還原；運用T2和T3時，取t為0.5。

然后通過優化模型1，可分別得出三種處理方式的預測情況，見表1。

表1 三種光滑度處理方法的預測結果

從表1中數據可看出，選用T2處理后，除x(0)(1)=1的預測值誤差過大外，對其余各項x(0)(k)(k=2,3,…,9)的擬合情況明顯優于T1和T3；并且這種精度優勢從預測項k=7開始，表現的尤為突出，體現出預測結果的可靠性高。綜合比較下，選擇T2作為初始數列x(0)的光滑度轉換方式，并將結果與文[1]中預測效果最好的模型II比較，見表2。

由表2中的比較結果可知，本文所建立的優化模型1的平均相對誤差為4.38%，與文[1]中模型II的5.13%相比，有明顯的改進。同時從圖1中可看出，當k＞2時，優化模型1的殘差絕對值均小于或等于文[1]中的模型II的結果，其擬合精度更高。而且對于k=7的預測項，優化模型1的相對誤差絕對值僅為0.05%，遠小于1%，與文[1]中模型II的3.16%相比，其預測的可靠性更強。

表2 兩種改進模型的預測結果比較

圖1 兩類模型的殘差比較

綜上所述，經過一次光滑度處理得到的優化模型1無論從整體的誤差率方面，還是在預測前景上，均優于文[1]中的模型II。最后，考慮優化模型2，模型2的兩次光滑度處理均采用冪函數轉化。通過實驗分析得，在初始數列的處理中取t=0.5，以及在殘差序列的處理中取t接近1（如t=0.05）時，擬合效果較好。其預測情況與優化模型1比較，見表3。

表3 優化模型1和2的預測情況比較

表3中，從整體情況分析，由前7項的擬合值，可計算出優化模型1和2的平均相對誤差分別為4.38%和4.15%，模型2的誤差率較低；而由前9項擬合效果看，模型2的誤差率也低于模型1。表明經過兩次光滑化處理后，模型2的精度比模型1有一定的提高，略優于模型1。當3＜k≤9時，兩類模型相對誤差的絕對值均控制在1%以內，精度很高；特別是在k＞6以后的預測值，結果令人滿意。

圖2 優化模型1和2的殘差比較

另外，從兩類模型的殘差絕對值（圖2）情況可看出，隨著預測項數的增大，當k＞5時，兩者的預測數據差異不大。表明優化模型2在預測方面比模型1的優勢并不明顯，仍有值得改善和思考的地方。

5 結論

在文[1]提出的改進殘差修正模型的背景下，運用函數轉化先對初始數列進行光滑度處理，得到優化模型1；然后在模型I的基礎上，進一步對殘差序列也作光滑度處理，得到優化模型2。然后通過實例，將優化模型1和2與文[1]中的模型II比較，結果分析如下。

第一，與文[1]中的改進模型相比，優化模型1不僅在平均相對誤差上更低，而且其優勢在預測值方面體現得更明顯，未來預測值的精度和可靠性均優于文[1]的模型II；

第二，優化模型2比優化模型1的平均相對誤差有進一步的改進，特別在預測方面，模型2的結果優于模型1；

第三，在實例中，優化模型1和2中的光滑度處理均選擇了冪函數進行轉換，當面對不同問題時，需要根據具體情況選擇合適的函數轉換。

[1]王明禮.三種灰色系統模型的預測比較[J].統計與決策，2011,(8)．

[2]何斌,蒙清.灰色預測模型拓廣方法研究[J].系統工程理論與實踐,2002,22(9)．

[3]陳濤捷.灰色預測模型的一種拓廣[J].系統工程,1990,8(7)．

[4]李群.灰色預測模型的進一步拓廣[J].系統工程理論與實踐,1993,13(1)．

[5]王建根,李春生.灰色預測模型的一個注記[J].系統工程,1996,14(6).

[6]江安,王金山,王鵬.一種改進的灰色預測模型[J].佳木斯大學學報（自然科學版），2011，29(2)．

[7]鄧聚龍.灰色系統的GM模型[J].模糊數學,1985,4(2)．

[8]鄧聚龍.灰理論基礎[M].武漢：華中科技大學出版社,2002．