優(yōu)化灰導(dǎo)數(shù)的直接GM（1,1）模型

王瑞敏，魏 勇

0 引言

在鄧聚龍?zhí)岢龅幕疑到y(tǒng)理論中，GM（1,1）模型是灰色預(yù)測(cè)模型最基礎(chǔ)最核心的的模型之一，且該模型已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、醫(yī)學(xué)、軍事等領(lǐng)域[1～2]。許多學(xué)者在應(yīng)用過程中發(fā)現(xiàn)，該模型在建模時(shí)存在缺陷，并為此做出大量研究如對(duì)背景值、灰導(dǎo)數(shù)、初始條件優(yōu)化、殘差、建立組合模型等[3～6]優(yōu)化方法來提高模型的預(yù)測(cè)精度。然而這些模型建立時(shí)原始數(shù)據(jù)為齊次指數(shù)序列，對(duì)于原始數(shù)據(jù)為近似非齊次指數(shù)序列，文獻(xiàn)[7]通過原始序列的累減生成將近似非齊次指數(shù)序列轉(zhuǎn)化成齊次指數(shù)序列后再建立DGM(1,1)模型。文獻(xiàn)[8]提出了GM(1,1)直接建模法及其性質(zhì)，文獻(xiàn)[9]提出了直接建模和累加建模灰色模型特性的比較，許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了深入的研究[10～14]。傳統(tǒng)的灰色預(yù)測(cè)模型，基于累加的方式尋找蘊(yùn)含在序列之中的灰指數(shù)律，以揭示系統(tǒng)未來的發(fā)展趨勢(shì)；然而，已知建模序列為近似非齊次指數(shù)序列的前提下，則不必對(duì)序列進(jìn)行累加以及累減還原[14]。受此思想方法的啟發(fā)，對(duì)于原始序列為近似非齊次指數(shù)序列，本文基于文獻(xiàn)[15]的優(yōu)化思想，采用向前差商和向后差商的加權(quán)平均值作為直接建模的灰導(dǎo)數(shù)，建立了新的直接GM（1,1）模型，并且優(yōu)化了初始條件。通過實(shí)例驗(yàn)證該模型具有較高的模擬精度，能夠較好的模擬原始數(shù)據(jù)為非齊次指數(shù)特征的數(shù)據(jù)，具有一定的理論價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值。

1 直接建模GM（1,1）模型簡介

設(shè)原始非負(fù)序列X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),...,x(0)(n))為系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)序列，其一次累減序列1-IAGO為X(-1)=(x(-1)(1),x(-1)(2),...,x(-1)(n))，其中 x(-1)(1)=x(0)(1),x(-1)(k)=x(0)(k)-x(0)(k-1)，X(0)的緊鄰均值生成的序列為Z(0)=(z(0)(2),z(0)(3),...,z(0)(n))，其中

白化微分方程為：

其相應(yīng)的灰微分方程為x(-1)(k)+az(0)(k)=b，其中a,b為待辨識(shí)參數(shù)。

利用最小二乘法求參數(shù)有：

由白化微分方程得到離散時(shí)間響應(yīng)式為：

2 直接建模GM（1,1）模型的灰導(dǎo)數(shù)優(yōu)化

對(duì)于原始序列為近似非齊次指數(shù)特征的序列，本文由文獻(xiàn)[15]的基本優(yōu)化思想，利用向前差商[x(0)(k)-x(0)(k -1)]和向后差商[x(0)(k +1)-x(0)(k)]的加權(quán)平均值λ[x(0)(k)-x(0)(k -1)]+(1-λ)[x(0)(k +1)-x(0)(k)]作為白化方程（1）式的灰導(dǎo)數(shù)。

定理1：若x(0)(t)滿足白化微分方程dx(0)/dt+ax(0)=b，即x(0)(t)=ce-at+b/a，則存在 λ=(-aea+ea-1)/(2eae2a-1)，其中a,b為待辨識(shí)參數(shù)，k=2,3,…,n 使得：

下面來求待辨識(shí)參數(shù)a,b:

因?yàn)閷?λ=(-aea+ea-1)/(2ea-e2a-1)代入（4）式并移項(xiàng)整理得：

令1/(1-ea)=β1,b/a=β2，則（5）變?yōu)?

所以對(duì)于近非齊次指數(shù)序列可以利用最小二乘法求參數(shù)：

3 初始條件的優(yōu)化

關(guān)于GM模型的研究，認(rèn)為以第一個(gè)分量作為灰色模型建模的初始條件，這樣就造成對(duì)新信息利用不夠充分，根據(jù)新信息優(yōu)先原理，賦予新信息較大的的權(quán)重可以提高灰色建模和灰色預(yù)測(cè)的功效（文獻(xiàn)[2]、[6]）。本文以作為初始條件同時(shí)優(yōu)化灰導(dǎo)數(shù)建立GM(1,1)直接模型：

4 實(shí)例分析

例1以文獻(xiàn)[16]中的數(shù)據(jù)為例，分別以傳統(tǒng)GM（1,1）模型（記為model 1）、文獻(xiàn)[16]中的模型（記為model 2）、本文建立的優(yōu)化灰導(dǎo)數(shù)直接GM（1,1）模型（記為model 3）以及本文同時(shí)優(yōu)化灰導(dǎo)數(shù)和初始條件建立的直接GM（1,1）模型（記為model 4）進(jìn)行模擬和預(yù)測(cè)，分析比較它們的模擬精度，計(jì)算結(jié)果見表1.原始數(shù)據(jù)為x(0)(k)={2.718,7.389,20.086,54.598,148.41,403.43,1096.6}，這是一個(gè)高增長的序列。

從表1可以看出，相對(duì)于傳統(tǒng)GM（1,1）模型(model 1)和文獻(xiàn)[16]中的的模型(model 2)，本文模型(model 3)具有較高的的模擬精度，并且本文灰導(dǎo)數(shù)和初始條件同時(shí)優(yōu)化的直接GM（1,1）模型（model 4）模擬精度更高。

表1 模型模擬精度分析表（一）

表2 模型模擬精度分析表（二）

例2以文獻(xiàn)[14]中的數(shù)據(jù)為例，比較DDGM(1,1)模型（記為model 1）和本文優(yōu)化灰導(dǎo)數(shù)建立的直接GM（1,1）模型（記為model 2）的模擬精度。計(jì)算結(jié)果見表2.

直接離散模型即DDGM(1,1)模型（model 1）和本文優(yōu)化灰導(dǎo)數(shù)直接GM（1,1）模型（model 2）都是針對(duì)原始數(shù)據(jù)是非齊次指數(shù)建模的。根據(jù)表2，從X1-X6的模擬數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，DDGM(1,1)模型和本文模型都有較高的模擬精度，并且對(duì)嚴(yán)格非齊次指數(shù)函數(shù)序列（X5：X5(k)=3k+2）和近似非齊次指數(shù)函數(shù)序列（X6）能夠?qū)崿F(xiàn)較高的模擬。相對(duì)而言，本文模型模擬精度要略微偏低，是因?yàn)橹苯与x散模型避開了從灰色微分方程到白化微分方程直接跨越所造成的誤差這個(gè)問題，所以模擬精度較高甚至可以完全擬合。而本文所建的模型是通過優(yōu)化灰導(dǎo)數(shù)和初始條件從而使模型的白化微分方程和灰色微分方程能夠更好的匹配，盡量的把誤差降到最低。

5 結(jié)論

直接GM（1,1）模型是在原始數(shù)據(jù)為近似非齊次指數(shù)序列這個(gè)前提下建模的。本文通過優(yōu)化直接GM（1,1）模型的灰導(dǎo)數(shù)和初始條件來建立模型。并通過實(shí)例來驗(yàn)證該模型的具有較高的模擬精度,能夠較好的模擬原始數(shù)據(jù)為非齊次指數(shù)特征的數(shù)據(jù)，具有一定的理論價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值。

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