基于聚類分析與協(xié)整檢驗(yàn)的A股市場(chǎng)統(tǒng)計(jì)套利策略

張 戡，李 婷，李凌飛

統(tǒng)計(jì)套利策略是通過(guò)配對(duì)交易，同時(shí)做多或者做空價(jià)格波動(dòng)具有相關(guān)關(guān)系的股票，可以對(duì)沖掉大部分的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，從而獲得一個(gè)與大盤的走勢(shì)相關(guān)性比較低的收益，屬于市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)中性策略。在當(dāng)前我國(guó)A股市場(chǎng)上，由于投資者普遍采用的基本分析和技術(shù)分析具有很高的同質(zhì)性，導(dǎo)致獲取超額收益的難度不斷加大，而統(tǒng)計(jì)套利屬于量化的投資手段，針對(duì)股票價(jià)格序列波動(dòng)的錯(cuò)誤定價(jià)建立模型，發(fā)掘獲利的機(jī)會(huì)，在市場(chǎng)有效性程度不高的情況下，可以獲得更高的潛在收益。所以對(duì)統(tǒng)計(jì)套利策略的研究，具有較強(qiáng)的理論意義和實(shí)踐意義。

1 研究方法

本文設(shè)計(jì)的統(tǒng)計(jì)套利策略首先通過(guò)對(duì)能夠反映股票基本面信息的指標(biāo)對(duì)股票池中的股票進(jìn)行系統(tǒng)聚類，獲得了在內(nèi)在價(jià)值方面相似度較高的股票對(duì)；然后針對(duì)股票價(jià)格序列波動(dòng)的可預(yù)測(cè)性再對(duì)這些股票組合進(jìn)行協(xié)整檢驗(yàn)，選擇具有協(xié)整關(guān)系的股票組合；最后通過(guò)構(gòu)建可行的交易系統(tǒng)計(jì)算累計(jì)收益率。

1.1 聚類分析

實(shí)施統(tǒng)計(jì)套利策略的關(guān)鍵是通過(guò)一定的方法尋找到股票價(jià)格波動(dòng)存在高度相關(guān)的股票組合，然后對(duì)股票價(jià)格序列建立交易系統(tǒng)。為了能將選擇股票的基本面分析與量化手段聯(lián)系起來(lái)，本文對(duì)能反映一只股票價(jià)格波動(dòng)和內(nèi)在價(jià)值的指標(biāo)（一般投資者在選擇股票投資時(shí)主要參考的指標(biāo)），包括年化收益率（最近24個(gè)月），市盈率，換手率（%）及beta值等在內(nèi)的指標(biāo)進(jìn)行相似度分類。

假設(shè)每個(gè)樣品有P個(gè)變量，則每個(gè)樣品都可以看成是P維空間的一個(gè)點(diǎn)，N個(gè)樣品就是P維空間的N個(gè)點(diǎn)，則樣品i與樣品j之間的距離記為dij。

（1）開(kāi)始時(shí)，每個(gè)樣本自成一類，dij為其距離，設(shè)類Gi與Gj之間的距離為Dpq，dij大于0。

（2）當(dāng)滿足Dpq=min dij，將類Gp和 Gq合并成一個(gè)新類，記為Gr，則新一類Gk和Gr的距離是：

其中，Xi∈Gk,Xj∈Gr。

重復(fù)（1），（2）使元素合并成一個(gè)新類，最終結(jié)果是，具有最小方差的兩個(gè)類合并成一個(gè)大類。

考慮到每只股票的各項(xiàng)指標(biāo)間較可能會(huì)存在一定的相關(guān)性，所以樣本間的聚類采用馬氏距離：dij=,馬氏距離的優(yōu)點(diǎn)在于，既可以消除各指標(biāo)間的相關(guān)性干擾，又消除了各指標(biāo)的量綱。類與類之間的距離采用最小距離方法。由于本文采用聚類分析主要是得到相互之間相似度比較高的兩只或幾只股票，而不是相似性比較高的股票組，所以只采用樹(shù)形聚類圖的初次分類結(jié)果。

1.2 協(xié)整檢驗(yàn)

在經(jīng)過(guò)聚類分析得到基本面各指標(biāo)相關(guān)性較高的股票組合后，統(tǒng)計(jì)套利策略需要進(jìn)一步選出股價(jià)之間具有長(zhǎng)期穩(wěn)定協(xié)同性的股票組合。協(xié)整檢驗(yàn)方法能較好地檢驗(yàn)多個(gè)變量間長(zhǎng)期穩(wěn)定關(guān)系。協(xié)整可定義為：令xt=(x1t，x2t，…，xNt)'為N×1階列向量，其中每一個(gè)元素表示一個(gè)時(shí)間序列，如果xt每個(gè)分量的單整階數(shù)都是d，xjt～I(xiàn)(d)，j=1、2、… N，存在一個(gè)N ×1階列向量 β =(β1、β2、…βn)'，( β≠0)，使得 xtβ～ I(d-b)，則稱x1t、x2t、…、xNt存在(d，b)階協(xié)整關(guān)系，表示為xt～ CI(d，b)。其中，β 稱為協(xié)整向量，β的元素稱為協(xié)整參數(shù)。

通過(guò)協(xié)整檢驗(yàn)的股票對(duì)股價(jià)序列之間具有相關(guān)性，流動(dòng)性以及價(jià)格趨同性，股價(jià)變動(dòng)在長(zhǎng)期內(nèi)會(huì)恢復(fù)到其均衡值。此時(shí)可以假定證券市場(chǎng)為中性，協(xié)整選取的股票對(duì)具有與市場(chǎng)走勢(shì)無(wú)關(guān)，風(fēng)險(xiǎn)暴露低，波動(dòng)性小等優(yōu)點(diǎn)。

1.3 交易模型的構(gòu)建

本文采取的交易策略是成對(duì)交易。成對(duì)交易策略是指在買入股價(jià)相對(duì)低估的股票的同時(shí)，做空股價(jià)相對(duì)高估的股票。為了維持市場(chǎng)的中性頭寸，交易金額比例為1：1（Christian L.Dunis（2011），即買入1元的Y，賣出1元的X，或者賣出1元的Y，買進(jìn)1元的X，持有至均值回歸時(shí)行平倉(cāng)。

（1）計(jì)算兩只股票間的價(jià)差

Zt是t時(shí)刻股票X,Y的價(jià)差，PXt是股票X在時(shí)刻t的價(jià)格，PYt是股票Y在時(shí)刻t的價(jià)格，β是X，Y的協(xié)整系數(shù)。計(jì)算樣本外累計(jì)收益率時(shí)采用樣本內(nèi)數(shù)據(jù)得到的協(xié)整系數(shù)。

（2）確定買入點(diǎn)，賣出點(diǎn)和止損位

由于無(wú)法得到真正的離差序列εt，通過(guò)通過(guò)殘差序列{et}來(lái)代替εt。通過(guò)OLS可以得到方程PYt=α+βˉ?PXt，由于 Zt=PYt- β ?PXt 等于回歸方程的常數(shù)項(xiàng)與殘差項(xiàng)之和，根據(jù)OLS估計(jì)的假設(shè)條件，殘差項(xiàng)的均值為0，所以對(duì)價(jià)差去中心化后的值就是回歸方程的殘差序列{et}。然后計(jì)算殘差序列的標(biāo)準(zhǔn)差σ。當(dāng)et≥0.75σ時(shí)，Y股票股價(jià)相對(duì)高估，買入1元的X，賣出1元的Y；當(dāng)et≤-0.75σ時(shí)，Y股價(jià)相對(duì)低估賣出1元的X，買入1元的Y；當(dāng)et值回到[-0.75σ,0.75σ]區(qū)間時(shí)，股價(jià)波動(dòng)均值回歸，進(jìn)行平倉(cāng)［6］。為了控制風(fēng)險(xiǎn)，當(dāng)價(jià)差超過(guò)2倍標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)進(jìn)行強(qiáng)制平倉(cāng)。計(jì)算樣本外累計(jì)收益率時(shí)，采用由樣本內(nèi)數(shù)據(jù)得到的標(biāo)準(zhǔn)差。

（3）計(jì)算累計(jì)收益率

在不考慮交易成本和融資費(fèi)用的情況下，對(duì)每一期的收益我們計(jì)算下：

其中，Ret是一次完整交易的收益；PXt是在t時(shí)刻做多的價(jià)格相對(duì)低估的股票在t時(shí)期的價(jià)格，PXt+1是t+1時(shí)期進(jìn)行平倉(cāng)時(shí)的價(jià)格；PYt是在t時(shí)刻做空的價(jià)格相對(duì)高估的股票在t時(shí)期的價(jià)格，PYt+1是t+1時(shí)期進(jìn)行平倉(cāng)時(shí)的價(jià)格。然后對(duì)每個(gè)股票對(duì)樣本周期內(nèi)的收益相加得到每只股票的累計(jì)收益率∑Re t。

2 實(shí)證分析

2.1 數(shù)據(jù)來(lái)源與樣本選取

本文選取地產(chǎn)、鋼鐵、煤電、銀行和汽車五個(gè)同質(zhì)性較高的行業(yè)做實(shí)證分析，共計(jì)30只股票，利用其2010年1月4日至2011年6月16日351個(gè)交易日數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來(lái)源為巨靈數(shù)據(jù)庫(kù)。同質(zhì)性行業(yè)內(nèi)部經(jīng)營(yíng)方式相似度高，提供的產(chǎn)品或服務(wù)差異小，所以此類行業(yè)中的企業(yè)的股票價(jià)格序列走勢(shì)更相似；而異質(zhì)股票對(duì)的協(xié)整關(guān)系會(huì)受到很多外生沖擊的影響，行業(yè)間差異就是一個(gè)主要的外生沖擊，其中包含不同行業(yè)在政策面、消息面乃至基本面上的差異難以在統(tǒng)計(jì)套利策略中避免。

為提高實(shí)證研究的現(xiàn)實(shí)意義與可操作性，針對(duì)中國(guó)A股市場(chǎng)現(xiàn)行的T+1交易制度，本文選取日交易數(shù)據(jù)，對(duì)2010年1月4日至2010年12月31日股票數(shù)據(jù)做系統(tǒng)聚類分析和樣本內(nèi)檢驗(yàn)，但經(jīng)過(guò)協(xié)整檢驗(yàn)的樣本內(nèi)數(shù)據(jù)并不能代表樣本外數(shù)據(jù)也具有同樣的特性，為了保證其可行性，選擇2011年1月4日至2011年6月16日數(shù)據(jù)做樣本外檢驗(yàn)計(jì)算累計(jì)收益率。

2.2 聚類分析

（1）聚類分析指標(biāo)選取

本文系統(tǒng)聚類選取每股復(fù)權(quán)后日收盤價(jià)、年化收益率（最近24個(gè)月）、市盈率、市凈率，這些指標(biāo)反映了股票內(nèi)在價(jià)值；漲跌幅（%）、換手率（%）、beta值，這三個(gè)指標(biāo)反映了股票交易中的波動(dòng)及對(duì)市場(chǎng)的敏感程度。這些指標(biāo)可以綜合反映股票在長(zhǎng)期內(nèi)的價(jià)格波動(dòng)情況和價(jià)值回歸過(guò)程，保證了系統(tǒng)聚類后的股票對(duì)具有良好的統(tǒng)計(jì)套利特性。

（2）系統(tǒng)聚類結(jié)果分析

運(yùn)用SPSS軟件對(duì)韶鋼松山、武鋼股份、寶鋼股份、南鋼股份、鞍鋼股份、安陽(yáng)鋼鐵這六只股票（編號(hào)依次為1、2、3、4、5、6）2010年間面板數(shù)據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)聚類分析。系統(tǒng)聚類分析中，樣本間的距離計(jì)算馬氏距離、小類間距離以離差平方和法計(jì)算。首先對(duì)樣本數(shù)據(jù)作Z處理，即標(biāo)準(zhǔn)化，結(jié)果見(jiàn)表1：

表1 樣本系統(tǒng)聚類中凝聚狀態(tài)

由表1可以看出，六只股票經(jīng)過(guò)四次聚類歸為一個(gè)大類，因?yàn)樗霉善睂?duì)較多，本文僅選取第一次聚類所得股票對(duì)（韶鋼松山，鞍鋼股份）、（寶鋼股份，安陽(yáng)股份）作為以下分析對(duì)象。運(yùn)用類似方法對(duì)其他四個(gè)行業(yè)內(nèi)股票進(jìn)行系統(tǒng)聚類，聚類所得股票對(duì)組合見(jiàn)表2。

表2 系統(tǒng)聚類股票組合

銀行行業(yè) （工商銀行，中國(guó)銀行）、（招商銀行，交通銀行）

（3）聚類效果的檢驗(yàn)

分別檢驗(yàn)經(jīng)過(guò)聚類分析得到的股票組合價(jià)格序列的相關(guān)性和自成一類股票配對(duì)組合價(jià)格序列相關(guān)性，結(jié)果分別見(jiàn)表3和表4：

表3 聚類后股票組合相關(guān)系數(shù)

表4 自成一類股票對(duì)相關(guān)系數(shù)

通過(guò)表3、表4分析得到，同行業(yè)中經(jīng)過(guò)聚類分析的屬于同一類的股票組合的相關(guān)系數(shù)高于兩只自成一類的股票的相關(guān)系數(shù)，聚類分析起到了優(yōu)化股票篩選模型的作用。

2.3 協(xié)整檢驗(yàn)

首先用EViews軟件對(duì)韶鋼松山和鞍鋼股份兩只股票股價(jià)序列做ADF檢驗(yàn)。結(jié)果顯示：韶鋼松山和鞍鋼股股價(jià)序列未差分前ADF統(tǒng)計(jì)量分別為-2.668066和-3.451028，而在1%的顯著性水平下臨界值為-3.4592，故在1%的水平下均為非平穩(wěn)序列；取一階差分后ADF統(tǒng)計(jì)量分別為-9.652866和-8.330887，在5%的顯著性水平下小于臨界值-2.8738，故韶鋼松山和鞍鋼股份股價(jià)序列均為一階單整的，即它們?cè)谝浑A差分后變?yōu)槠椒€(wěn)序列。

為了分析韶鋼松山股價(jià)（Xt）和鞍鋼股份股價(jià)(Yt)之間是否存在協(xié)整關(guān)系，先做兩變量的回歸，然后檢驗(yàn)回歸殘差的平穩(wěn)性。以鞍鋼股份股價(jià)（Yt）做被解釋變量，韶鋼松山股價(jià)（Xt）為解釋變量，設(shè)定回歸模型Yt=α+β*Xt+et，OLS估計(jì)結(jié)果如表3所示：

表5 回歸結(jié)果

在回歸結(jié)果中得到回歸系數(shù)β的t值為64.77529，大于在0.05的顯著性水平下的臨界值t0.025(240)=1.960，回歸系數(shù)β通過(guò)顯著性檢驗(yàn)；在0.01的顯著性水平下F分布臨界值為 F(1,241)=6.63，F(xiàn)=4195.838＞F(1,241)，說(shuō)明回歸方程顯著。因此得回歸方程為Yt=-5.048112+1.101227*Xt+et,回歸過(guò)程中 EViews會(huì)生成回歸殘差序列{et}，為檢驗(yàn)Xt與Yt間長(zhǎng)期協(xié)整關(guān)系，對(duì)殘差序列{et}進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，由于殘差序列均值為0，所以選擇無(wú)截距項(xiàng)、無(wú)趨勢(shì)項(xiàng)ADF檢驗(yàn)，ADF統(tǒng)計(jì)量-4.017843小于在5%顯著性水平下的臨界值-1.9410，表明殘差序列不存在單位根，是平穩(wěn)序列，說(shuō)明韶鋼松山股價(jià)（Xt）和鞍鋼股份股價(jià)(Yt)之間存在協(xié)整關(guān)系。

同時(shí)對(duì)鋼鐵行業(yè)另一對(duì)股票寶鋼股份和安陽(yáng)股份股價(jià)進(jìn)行ADF檢驗(yàn)和協(xié)整檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)寶鋼股份和安陽(yáng)股份股價(jià)在未差分前均為非平穩(wěn)數(shù)列，在一階差分后平穩(wěn)，對(duì)這兩只股票做如上回歸，得OLS估計(jì)殘差序列ADF統(tǒng)計(jì)量為-1.203757，大于在5%的顯著性水平下的臨界值-1.9410，故殘差序列仍為非平穩(wěn)序列，說(shuō)明寶鋼股份和安陽(yáng)股份股價(jià)之間不存在協(xié)整關(guān)系。同理對(duì)聚類得到的其他四個(gè)行業(yè)內(nèi)股票對(duì)進(jìn)行單位根檢驗(yàn)和協(xié)整分析，得到具有協(xié)整關(guān)系的股票組合與殘差序列標(biāo)準(zhǔn)差列于表6：

表6 協(xié)整關(guān)系股票組合殘差序列標(biāo)準(zhǔn)

2.4 模擬交易結(jié)果

按照前文提出的交易模型，我們計(jì)算了樣本外時(shí)期，即2011年1月4日至2011年6月16日期間，在樣本內(nèi)同行業(yè)內(nèi)通過(guò)實(shí)證檢驗(yàn)具有協(xié)整關(guān)系的股票對(duì)和不具有協(xié)整關(guān)系的股票對(duì)的累計(jì)收益率。

表7 無(wú)協(xié)整關(guān)系的股票對(duì)樣本外累計(jì)收益率

表8 協(xié)整關(guān)系的股票對(duì)樣本外累計(jì)收益率

表7列示了不具有協(xié)整關(guān)系的股票對(duì)樣本外累計(jì)收益率，表8列示了具有協(xié)整關(guān)系的股票對(duì)的樣本外累計(jì)收益率。

通過(guò)對(duì)上述表7和表8的分析可以得到，相對(duì)于不具有協(xié)整關(guān)系的股票對(duì)，具有協(xié)整關(guān)系的股票對(duì)在半年內(nèi)的累計(jì)收益明顯偏高，交易機(jī)會(huì)較多，收益最高的是中潤(rùn)投資和中茵股份組合收益高達(dá)58%，交易機(jī)會(huì)最多的是萬(wàn)科和保利組合，高達(dá)19次。在每次交易中，不具有協(xié)整關(guān)系的股票對(duì)虧損的次數(shù)在總交易次數(shù)的比重較大，分別為33%，37.5%，45%，20%，累積的虧損額分別為1.6%，20.6%，6.5%，7.4%；而具有協(xié)整關(guān)系的股票組合虧損的次數(shù)在總交易次數(shù)的比重相對(duì)較小，分別為25%，10.5%，14.3%，12.5%，28.6%，17%，6%，說(shuō)明具有協(xié)整關(guān)系的股票組合波動(dòng)較小，收益相對(duì)穩(wěn)定。同時(shí)也發(fā)現(xiàn)，不同的行業(yè)，收益也是不一樣的：地產(chǎn)股組合收益最高，分別為58%，33.92%，20%；收益比較穩(wěn)定的是銀行股，虧損的次數(shù)少，虧損率較低；收益比較差的是煤電行業(yè)的股票。

3 結(jié)論

（1）統(tǒng)計(jì)套利可以較好地捕捉同行業(yè)高度相關(guān)的兩只股票持續(xù)穩(wěn)定的價(jià)格變化，并利用動(dòng)態(tài)的價(jià)格偏離贏得交易機(jī)會(huì)。

（2）具有協(xié)整關(guān)系的股票對(duì)相對(duì)于不具有協(xié)整關(guān)系的股票對(duì)具有更穩(wěn)定和更高的收益，而且由于行業(yè)屬性不同，各行業(yè)間統(tǒng)計(jì)套利策略實(shí)施結(jié)果呈現(xiàn)差異性和特殊性。

（3）統(tǒng)計(jì)套利策略在我國(guó)A股市場(chǎng)具有可操作性。目前融資融券業(yè)務(wù)和股指期貨在我國(guó)已經(jīng)推出，為投資者選擇統(tǒng)計(jì)套利策略提供了所必須的市場(chǎng)條件，統(tǒng)計(jì)套利策略將有廣闊的發(fā)展空間。

[1]A.N.Burgess.A Computational Methodolology for Modelling the Dy?namics of Statistical Arbitrage[J].London Business School,PhDThesis,1999,(10).

[2]Carol Alexander,Anca Dimitriu.Indexing.Cointegration and Equity Market Regimes[J].Financeand Economics,2005,(10).

[3]Capocci.D.p.The Neutrality of Market Neutral Funds[J].Global Fi?nance Journal,2005,(6).

[4]方昊.統(tǒng)計(jì)套利的理論模式及應(yīng)用分析—基于中國(guó)封閉式基金市場(chǎng)的檢驗(yàn)[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2005,6.

[5]周健.絕對(duì)收益策略系列研究—統(tǒng)計(jì)套利[R].海通證券研究報(bào)告,2010,(9).

[6]高鐵梅.計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析方法與建模.Eviews應(yīng)用及實(shí)例[M].北京：清華大學(xué)出版社2009．