基于風險偏好的隨機需求三級價格歧視決策

方國敏，劉 全

0 引言

三級價格歧視在現今的社會中隨處可見。例如，鐵路票價可以對學生打折；電廠對于工業用電實行低價格，而對家庭用電采用高價格等等。三級價格歧視是壟斷廠商把自己面臨的市場分成若干個不同的子市場，根據各個子市場的不同需求把總產量分配到各個子市場，在各個子市場上制定不同的價格，一般來說，需求彈性小的群體被索要高價，需求彈性大的群體享受低價。在需求函數已知的情況下，關于三級價格歧視的研究，現有的理論成果給廠商們提供了較好的參考價值[1～4]，主要涉及三級價格歧視對利潤和社會福利的影響。但實際問題是，未來的需求對廠商來說是不確定的，這種不確定性就造成了現有的定價理論與廠商定價實踐的差距，因此，隨機需求條件下的定價問題顯得十分必要。對于隨機需求下的三級價格歧視定價問題，主要成果有：文獻[5]討論了有無容量限制兩種情況下的三級差別定價決策模型，并利用計算機進行了模擬求解，但卻并未涉及風險類型對決策的影響。實際上，廠商的風險類型在決策中起了非常重要的作用。在國外，Mahmudul Anam等人也只研究了對于一種特殊風險類型——風險規避廠商來說，三級價格歧視對產品價格、產量和社會福利的影響[6]。另外，大部分廠商在生產決策時，對需求函數的假定，幾乎都是通過經驗或對歷史資料的分析、研究來確定出需求函數的具體形式,即在確定需求下，參考現有結論，研究最佳決策。本文將在文獻[6]的基礎上，以期望效用最大化為目標，建立隨機需求下的三級價格歧視的一般模型，并就不同的風險類型，討論確定需求與隨機需求條件下對產量決策的影響。以期擴充現有隨機需求下的三級價格歧視理論，為決策者在產量、定價決策時，提供參考。

1 隨機需求下三級價格歧視模型

設壟斷廠商有兩個可以分割的子市場1、2，需求函數pi=ai-biQi+εi(i=1,2)，成 本 函 數 C=C0+c(Q1+Q2)。其中，C0為固定成本；εi為分布律已知的隨機變量，且設 E(εi)=0,D(ε2i)=σ2i(i=1,2),cov(ε1,ε2)=σ12。則總利潤為:

對于廠商來說，希望期望利潤達到最大，但更希望期望效用達到最大，設u(π)表示利潤為π時的效用，則期望效用為:

廠商可通過選擇產量分配使期望效用達到最大，即隨機需求條件下的三級價格歧視模型為:

其中，E1、E2分別為子市場1、2的產量分配可行域。由一階條件，令 ?U?/?Qi=0 ，即得:

期望效用U?(Q1,Q2)的三個二階偏導數分別為:

設方程組（1）的解為 (Q?1,Q?2)，則期望效用在點(Q?1,Q?2)的海賽矩陣:

又 A(Q?1,Q?2)=-2b1u'(π)＜0 ，則方程組（1）的解 (Q?1,Q?2)，即為隨機需求條件下基于期望效用最大化的最優產量分配，相應有最優價格 p?1=a1-b1Q?1，p?2=a2-b2Q?2。

2 不同風險類型下的產量決策比較

廠商的風險類型是決定產量決策的主要方面之一。為了比較確定需求（即忽略隨機因素的影響下的需求）與隨機需求下的最優產量分配，將u'(π)在確定需求條件下的利潤 π0=π(Q10,Q20)處的一階 Taylor展開式 u'(π)=u'(π0)+u"(π0)(π-π0)+o((π-π0)2)作近視處理，忽略關于 (π-π0)2的高階無窮小，令 u'(π)=u'(π0)+u"(π0)(π-π0)，從而方程組(1)變為:

其中

方程組（2）進一步化簡為:

其中:

將(Q01,Q02)代入方程組(3)，注意到Q01,Q02分別為需求確定時兩個子市場的最優產量分配，則:-2biQ0i+ai-c=0，從而:

收益的不確定性既可使決策者受損，也可使其有盈利的機會，因此任何一項投資決策都是利害共存的。由于收益的不確定性導致的利害共存的事態表現，便是人們常提到的風險。而風險偏好則是決策者面對風險時必然產生的權衡利害關系的心理反應，它體現了決策者對待風險的態度。決策者的財富水平、受教育程級、健康狀況、收入水平、以及是否撫養小孩是影響投資者的風險偏好的重要因素[7]。風險偏好類型一般分為風險中性、風險規避、風險喜好三類。

2.1 風險中性廠商的產量決策比較

風險中性者的效用函數u(π)為過原點的直線，滿足u'(π)≡c,u"(π)=0 。所以，對風險中性的廠商來說，由于u"(π)=0 ，從而有：

則：Q?1=Q1,Q?2=Q2

命題1在線性隨機需求 pi=ai-biQi+εi(i=1,2)條件下，若廠商是風險中性的，則在兩個子市場中產量分配與確定需求下的產量分配是相同的。

命題說明，若廠商是風險中性，則隨機需求條件下的產量分配可以參考確定需求條件下在兩個子市場上的產量分配，現有許多確定性三級價格歧視理論都具有較好的參考價值。

2.2 風險規避廠商的產量決策比較

風險規避者的效用曲線是一條凸函數曲線，且為指數函 數 曲 線[8]，滿 足 邊 際 效 用 遞 減 條 件 ，即 u'(π)＞0,u"(π)＜0。所以，對于風險規避的廠商有:

命題2在線性隨機需求 pi=ai-biQi+εi(i=1,2)條件下，記確定需求下的產量分配為(Q01,Q02)，隨機需求下的產量分配為 (Q?1,Q?2)，ρ 為隨機變量 ε1,ε2的相關系數，，若廠商是風險規避的，則:

因為廠商是風險規避的，則u"(π)＜0。

所以:

同理，當 ρ≥1/η時，Q?2≤Q20;當 ρ＜1/η 時，Q?2＞Q20。從而可得

結論說明，若廠商是風險規避的，則隨機需求條件下與確定需求條件下在兩個子市場上的產量高低，取決與兩個市場的相關系數ρ與η的大小關系，需求不確定性條件下兩個子市場的產量可能同時低于確定條件下的相應的產量，也可能一高一低。因為-1≤ρ≤1,η＜0，所以，是不可能出現的，即 Q?1＞Q10，Q?2＞Q02是不可能出現的。即需求不確定性條件下兩個子市場的產量不可能同時高于確定條件下的相應子市場的產量。當相關系數ρ為非負數時，即兩個市場的隨機性為正相關或無關時，對于風險規避的廠商來說，需求不確定條件下的產量將低于確定條件下相應子市場的產量。

表2 2011年2～12月產品在市場2的銷量統計表

2.3 風險喜好廠商的產量決策比較

風險喜好者的效用曲線是一條凹函數曲線，也為指數函數曲線[8]，滿足邊際效用遞增條件，即u'(π)＞0,u"(π)＞0 。所以，對于風險喜好的廠商來說，作類似的討論可以得到:

命題3在線性隨機需求 pi=ai-biQi+εi(i=1,2)條件下，若廠商是風險喜好的，則在兩個子市場中的產量分配(Q?1,Q?2)與確定需求下的產量分配(Q01,Q02)的關系是:

其中，η的含義同命題2。命題3的證明可以完全參照命題2的證明過程，在此從略。

這一結論說明，若廠商是風險喜好的，則隨機需求條件下與確定需求條件下在兩個子市場上的產量高低，仍然取決與兩個市場的相關系數ρ與η的大小關系，其大小關系與廠商是風險規避的情況下恰好相反。由于ρ＜min{k,1/k}是不可能出現的，所以風險喜好的廠商其產量決策是不可能同時低于確定條件下的相應子市場的產量。當兩個市場隨機性為正相關或無關時，對于風險喜好廠商來說，需求不確定條件下的產量將高于確定條件下相應子市場的產量。

圖1 產品在市場1的散點圖與擬合曲線圖

圖2 產品在市場2的散點圖與擬合曲線圖

表1 2011年2～12月產品在市場1的銷量統計表

3 應用實例

以四川簡陽某企業的某一子產品的銷售資料進行應用研究。2011年各月在兩個子市場上的銷售統計數據如表1、表2。下面應用隨機需求下三級價格歧視模型確定2012年各月該企業的最優產量和相應的價格。

數據散點圖1、2說明，價格與銷售量的關系近似是線性的，故用線性函數擬合。市場1、2的月平均需求擬合函數分別為:

廠商的月總成本函數是確定的，為C=C0+112(Q1+Q2)，其中C0為月固定成本。為了便于討論，設C0=0，所以，利潤為:

在確定需求（ε1=ε2=0）條件下，2011年月平均產量分配應為:Q01=272(臺)，Q02=165（臺）。

隨機需求條件下的產量決策與廠商的風險類型有關，

下面給出三種不同風險類型下的產量決策。

（1）風險中性

風險中性者的效用函數u(π)為過原點的直線，設u(π)=kπ,(k＞0)，方程（1）為：

所以，月平均產量分配為 Q?1=272（臺），Q?2=165（臺）。

（2）風險規避

風險規避者的效用曲線是一條凸函數曲線，且為指數函數曲線[8]，設 u(π)=1-e-π，εi～[-10,10](i=1,2)，ε1= ε2，則 ε1,ε2相關系數 ρ=1，σ1=σ2=，式⑴為：

即：

利用MATLAB解之得，月平均產量分配為:Q?1=271（臺），Q?2=158（臺）。

（3）風險喜好

風險喜好者的效用曲線是一條凹函數曲線，也為指數函 數 曲 線[8]，設 u(π)=-1+eπ，仍 然 設 εi～[-10,10],(i=1,2)，且 ε1=ε2，則 ε1,ε2的 相 關 系 數 ρ=1 ，σ1=σ2=，方程組（1）為：

即：

利用MATLAB解之得，月平均產量分配為：

此結果與命題3的結論Q?1≥Q01，Q?2≥Q02吻合。

4 結語

需求的不確定性是現實中廠商產量或定價決策的難點，現有的定價理論大部分都是在確定需求下進行，廠商將需求函數看成是確定的，即忽略隨機因素的影響，對決策有何影響呢？本文的結論說明，只有廠商是風險中性時，二者的結果才是相同的；對于風險規避和風險喜好的廠商來說，二者的結果不僅與廠商的風險類型有關，而且還與兩個相關市場的需求的情況和隨機變量的相關系數有關。雖然本文未能給出隨機需求與確定需求條件下其產量分配的具體關系，實例中的效用函數也具有特殊性，但理論結果為廠商們在處理隨機需求時，忽略隨機影響與實際結果有何差異提供了參考。三種不同風險類型的廠商都可以參考確定需求條件下的結論，結合自己的風險類型，確定產量與價格決策。

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