基于FFT方法的復合材料有效性能預報①

田曉曉，孟松鶴，矯利闖，易法軍，解維華

(1.哈爾濱工業大學 復合材料與結構研究所，哈爾濱 150080;2.巴黎北大學，LPMTM，巴黎 93430)

0 引言

復合材料是由2種或多種不同性質的材料用物理和化學方法在宏觀尺度上組成的具有新性能的材料［1］，具有比強度高、比剛度大、抗疲勞性能好、減震性能好和材料性能可設計等優點［2］，應用范圍非常廣。由于復合材料細觀結構非常復雜，有效性能就比較難以獲得。很多國內外學者從實驗［3－4］和數值［5－6］角度進行了復合材料有效性能預報。這些數值方法往往只能對簡單結構進行力學性能預報，而不能應用到復雜結構中去。

快速Fourier變換是計算離散Fourier變換的一種快速算法(簡稱FFT)，主要用于數字信號處理，計算大整數乘法，求解偏微分方程等。Moulinec和 Suquet［7－8］首次使用 FFT 方法提出一種數值迭代方法，用來計算脆性或準脆性材料的全局響應問題。Michel［9］等隨后又用該方法給出了線性和非線性均勻復合材料的全局響應。本文從復合材料的平衡方程出發，將復合材料問題轉化為含極化應力的各向同性材料問題，結合Lippmann-Schwinger方程實現其形式解，并通過FFT方法實現其數值計算，最終實現復合材料有效性能的預報，并進一步討論了分辨率和尺寸效應對FFT方法的影響。

1 復合材料平衡方程解

考慮一個體積為Ω邊界為?Ω的周期性規則實體，可以看作是其單胞構造，也就是代表性體積單元，簡寫為RVE。用2個不同的空間坐標來描述:宏觀尺度參數x用來描述整個實體的全局應力場;微觀尺度參數y可用來描述局部應力場。其關系可定義為y=(x －)/ε，其中是單胞的坐標幾何中心。經過多尺度漸進分析后，RVE內含應變梯度的平衡方程可轉化為求解如下方程［10］:

式中 cijkl為復合材料彈性常數;fi為體積力;σij為應力;為剪應力;εkl為應變;#代表為周期性的;－#為反周期的。設為參考材料模量，為各向同性材料。令τij=(cijkl－)εkl+，則方程可化簡為

這里可考慮更細致一點的微觀結構，如考慮結構的非均勻性、界面層、纖維束的強度分布、缺陷分布等因素，可將這些性質轉化為含極化應力的均勻參考材料進行研究，對研究復合材料的破壞機理奠定了良好的基礎。

式(2)的解可通過周期Green算子Γ0在Fourier空間表示［8］:

其衍生問題可解決x處受指定應變E時非均勻彈性復合材料的問題:

其實空間和Fourier空間的解分別為

2 FFT運算法則

初始值:

經過多次實驗，當參考材料滿足下式時收斂速度最快［8］:

3 實例分析

通過單向玻璃纖維增強環氧樹脂基復合材料算例來驗證FFT方法的有效性，并討論了分辨率和尺寸效應對FFT方法的影響。

單向玻璃纖維增強環氧樹脂基復合材料二維單胞結構如圖1所示;其組分性能［12］見表1。

表1 單向玻璃纖維增強環氧樹脂基復合材料組分材料性能Table 1 Properties of components of unidirectional glass fibre/epoxy resin composite

唐邵鋒等［12］曾經用多尺度法和Mori-Tanaka法計算過該材料的有效楊氏模量，并和文獻［13］中的實驗值進行了對比。本文將FFT的計算結果與多尺度法和實驗結果進行對比。為了分析尺寸效應和分辨率對FFT方法的影響，分別建立2個模型并進行計算對比，模型及對比結果如下:

3.1 分辨率對FFT方法的影響

取1個單胞(圖1)，采用FFT方法分別計算分辨率為100×100和400×400下材料的有效模量，并與其他方法和實驗結果進行對比，如圖2所示。

由圖2可見，當纖維百分含量不超過40%時，FFT方法和多尺度方法數值計算結果幾乎吻合;當纖維百分含量超過40%時，FFT和多尺度數值計算方法結果開始微有不同。通過與文獻［13］中的實驗值相比較，可看出FFT方法計算結果比多尺度方法更接近實驗值;另外，從圖2中可看出，2種分辨率計算結果隨纖維百分含量的增加差別開始變大，說明分辨率對FFT方法的影響隨著纖維體積分數的增大而增大。但與多尺度等其他方法相比，FFT計算方法可進一步考慮更細致的結構，如加入材料本身缺陷、界面、具有統計概率分布的纖維束強度等因素，引入這些參數對FFT計算方法來說是非常容易的，其計算結果更接近真實的實驗值。由于材料固有缺陷、界面性質和纖維束的強度分布也是較難確定的，故在本算例中暫不考慮，只研究FFT方法的可行性及有效性。從計算結果可看出，該方法是可行的和有效的，且后期計算非常簡潔，易于操作。

3.2 尺寸效應對FFT方法的影響

為了驗證FFT方法的尺寸效應，選取一個包含若干單胞的結構，如圖3所示。選取的是9單胞結構，呈3×3排列，中間單胞完整包含在整體結構內。采用FFT方法分別計算分辨率為100×100和400×400的2種情況下的有效模量，并與多尺度方法計算結果和實驗結果進行對比，如圖4所示，與單胞時規律相同。

為了驗證FFT方法的尺寸效應，將單胞和9單胞結構計算結果進行對比。如圖5所示，可看出在高分辨率下，單胞結構和9單胞結構計算結果相差很小，幾乎吻合;低分辨率下，單胞結構和9單胞結構計算結果有差別，但相差很微小，幾乎可忽略。這是因為此結構為周期性結構，沒有考慮材料的非均勻性，從理論上來看，單胞結構和9單胞組合結構的計算結果應是完全一樣的，這里的微弱差別是由于數值計算原因造成的。

4 結論

(1)將復合材料平衡方程求解問題轉化為含極化應力的各向同性材料平衡方程求解問題，并結合FFT方法實現其數值解。

(2)FFT方法預報復合材料有效性能與實驗結果吻合較好，與其他細觀力學方法相比，FFT方法精度較高，且FFT方法可實現程序化的運算，后期計算非常簡潔，易于操作。

(3)FFT數值計算時，分辨率對計算結果有影響。分辨率對FFT方法的影響隨著纖維體積分數的增大而增大。

(4)FFT數值計算時，分別采用1單胞和9單胞結構進行計算，兩者計算結果基本一致，說明了FFT方法不受尺寸效應影響。因此，可用單胞代替整體結構進行計算。

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