金屬疲勞裂紋擴展速率的貝葉斯正則化BP神經網絡預測

羅廣恩 ，崔維成

（1江蘇科技大學 船舶與海洋工程學院，江蘇 鎮江 212003；2中國船舶科學研究中心，江蘇 無錫 214082）

1 引 言

船舶與海洋結構物絕大多數是由金屬材料加工制造而成。由于其所處的工作環境載荷復雜、惡劣，結構物的疲勞問題受到廣泛的關注。準確預報疲勞裂紋擴展壽命的關鍵因素之一就是確定疲勞裂紋擴展速率它直接影響到疲勞壽命預報結果的準確性。為描述疲勞裂紋擴展速率，通常將疲勞試驗數據回歸成公式，比較常用的有Paris-Erdogan公式、Forman公式等，這些公式各有特點。到目前為止，還沒有一個可以適合所有金屬材料的統一的疲勞裂紋擴展速率公式。

人工神經網絡是20世紀40年代以來迅速發展起來的模擬人腦神經活動的一種新技術。適合處理復雜的線性和非線性關系，具有自主學習能力，能夠建立難以用顯示表達式表達的映射關系，并有較好的泛化能力。目前神經網絡在智能控制、智能監測監控和智能故障診斷等方面應用較廣，在疲勞領域也有很好的應用前景。Genel[1]通過建立BP網絡用材料的拉伸性能數據預測了低周疲勞特性參數。Fotovati[2]用不同溫度下的疲勞裂紋擴展速率實驗數據訓練BP網絡，訓練好的網絡可以預測不同溫度下的裂紋擴展速率。Haque[3]用BP網絡預測了腐蝕環境下的疲勞裂紋擴展速率。國內，王珉[4]利用材料的常規力學性能訓練BP網絡來預測疲勞裂紋擴展公式（Paris公式）中的參數。顧玉鋼[5]采用改進BP網絡預測了疲勞裂紋擴展速率。紀冬梅[6]用BP網絡預測了腐蝕環境下疲勞裂紋擴展率Forman公式中的系數C。

本文針對不同金屬的疲勞裂紋擴展速率分別建立貝葉斯正則化BP神經網絡，以一部分不同應力比R下的疲勞裂紋擴展速率為基礎，預測其他應力比R下的疲勞裂紋擴展速率，從而達到減少試驗次數，充分利用已有數據的目的。將從文獻中獲取的4種不同金屬材料（鋁合金6013、300M鋼、鋁合金2324和鋁合金7055）的疲勞試驗數據作為算例，來檢驗建立的貝葉斯正則化BP神經網絡的性能。

2 神經網絡的建立

BP神經網絡是誤差反向傳播的前向型神經網絡，其具有結構簡單、性能可靠的特點，是目前應用廣泛的一種網絡。它由輸入層、隱層和輸出層組成。每層有若干個節點組成，每個節點代表一個神經元，層與層之間的節點通過權值和閥值連接，同一層節點之間沒有聯系。網絡通過對訓練樣本的學習，是將網絡的輸出結果與目標結果之間的誤差反向傳播，修改各層的權值和閥值，如此迭代。最終使神經網絡的輸出結果與目標結果的誤差最小。

2.1 三層BP網絡

建立三層BP網絡，即：輸入層、隱層和輸出層。輸入層包含兩個輸入變量ΔK、r；隱層有N個神經元（N的具體數值見2.4）；輸出層有一個變量，對應于三層BP網絡結構圖如圖1所示。

2.2 輸入數據的歸一化

圖1 三層BP網絡結構圖Fig.1 Structure of three layered BP network

2.3 傳遞函數

神經網絡中傳遞函數決定了神經元不同的輸出特性。

（1）Purelin函數（線性函數）

Purelin函數如圖2所示，用數學表達如下：

（2） tansig函數（S型函數）

tansig函數如圖3所示，用數學表達如下：

圖2 Purelin函數圖Fig.2 Graph of linear transfer function

圖3 Tansig函數圖Fig.3 Graph of Tan-Sigmoid transfer function

2.4 隱層神經元個數的確定

在神經網絡的建立過程中，隱層神經元個數的確定是一個非常重要的部分。個數設置太多，運行速度變慢，容易過度學習而出現過擬合，最終導致網絡的泛化能力下降。目前，這方面還沒有完善的理論，主要依據經驗試算。本文引用文獻[3]中的經驗公式來確定隱層神經元的個數。

式中：Inputs為輸入層單元的個數；Outputs為輸出層單元的個數；number of training patterns為訓練的樣本個數。

2.5 貝葉斯正則化[7]

傳統BP網絡的性能函數F：

式中：ED為訓練誤差的平方和。

貝葉斯正則化網絡性能函數F：

式中：EW為網絡中權值的平方和；α和β為系數。

采用公式（6）作為性能函數，可以在保證網絡誤差最小的情況下，使網絡具有較小的權值。亦即網絡中的有效權值盡可能地小，這實際上相當于自動縮小了網絡的規模。此外，性能函數中的系數α、β在常規的正則化方法中難以確定，但采用貝葉斯正則化方法可以在網絡的訓練過程中自適應地調整α、β的大小，并使其達到最優。因此，采用貝葉斯正則化BP網絡具有更好的泛化能力。

本文采用Matlab語言和神經網絡工具箱建立了貝葉斯正則化BP網絡。

3 算例與分析

3.1 鋁合金6013疲勞裂紋擴展速率預測

以不同應力比R下鋁合金6013的疲勞試驗數據為樣本，建立貝葉斯正則化BP網絡。鋁合金6013試驗數據[8]如圖4所示。

將圖4中的數據分為兩部分，R=-1、0.1和0.5對應的疲勞裂紋擴展速率數據用于訓練網絡，R=0.3、0.7對應的數據用于測試網絡，檢驗其泛化能力。

采用3層BP網絡，包括輸入層、隱層和輸出層。隱層傳遞函數采用Tansig函數，輸出層函數采用線性函數。中間層神經元個數按照公式（4）確定，N=0.5× （2+ 1）+取9個神經元。因此貝葉斯正則化BP網絡結構為2-9-1。

用訓練樣本對已建立的網絡進行訓練，訓練結果如圖5所示。

圖5中，首先從疲勞裂紋擴展速率曲線的角度來看，神經網絡輸出結果與試驗結果的吻合度很好；其次，從具體的數據點角度來看，絕大部分數據點神經網絡均能準確擬合。這表明網絡的訓練效果較好。

相比于對訓練樣本的擬合能力而言，我們更加關注神經網絡對未經訓練過的樣本的預測能力。下面來檢驗貝葉斯正則化BP網絡對疲勞裂紋擴展速率的預測能力，即對R=0.3時疲勞裂紋擴展速率進行預測，檢驗其內插能力；隨后對R=0.7時疲勞裂紋擴展速率進行預測，檢驗其外推能力。預測結果如圖6和圖7所示。

（1）檢驗網絡的內插能力

用訓練好的網絡對R=0.3時疲勞裂紋擴展速率進行預測，預測結果如圖6所示。

圖4 鋁合金6013疲勞裂紋擴展速率試驗數據Fig.4 Experiment results of fatigue crack growth rate of aluminum alloy 6013

圖5 鋁合金6013神經網絡訓練結果圖Fig.5 Training result of neural network of aluminum alloy 6013

圖6 鋁合金6013疲勞裂紋擴展速率（R=0.3）神經網絡預測結果Fig.6 Prediction results of fatigue crack growth rate(R=0.3)for aluminum alloy 6013 by neural network

圖7 鋁合金6013疲勞裂紋擴展速率（R=0.7）神經網絡預測結果Fig.7 Prediction results of fatigue crack growth rate(R=0.7)for aluminum alloy 6013 by neural network

從圖6可以看出，貝葉斯正則化BP網絡對疲勞裂紋擴展速率的內插預測效果相當理想，表明該網絡有很強的內插能力。

（2）檢驗網絡的外推能力

用訓練好的網絡對R=0.7時疲勞裂紋擴展速率進行預測，預測結果如圖7所示。

對比圖6和圖7兩者的預測效果，可以發現該網絡的外推能力比其內插能力要稍弱一些，這也是神經網絡的一個弱點。從圖7可以看出，神經網絡外推預測結果與試驗結果在部分數據點上存在一定誤差，但從數據點構成的曲線來比較，兩者還是基本吻合的。總體來說，預測效果令人滿意。

3.2 300M鋼疲勞裂紋擴展速率預測

以不同應力比R下300M鋼的疲勞試驗數據為樣本，建立貝葉斯正則化BP網絡。

300M鋼試驗數據[9]如圖8所示。

將圖8中的數據分為兩部分，R=0.05、0.5對應的疲勞裂紋擴展速率數據用于訓練網絡，R=0.3、0.7時的數據用于測試網絡，檢驗其泛化能力。

同樣，采用3層BP網絡。隱層傳遞函數采用Tansig函數，輸出層函數采用線性函數。中間層神經元個數按照公式（4）確定，N=0.5×（2+）1，取9個神經元。因此貝葉斯正則化BP網絡結構為2-9-1。

用訓練樣本對已建立的網絡進行訓練，訓練結果如圖9所示。

圖9表明，網絡的訓練效果較好。

圖8 300M鋼疲勞裂紋擴展速率試驗數據Fig.8 Experiment results of fatigue crack growth rate of 300M steel

圖9 300M鋼神經網絡訓練結果圖Fig.9 Training result of neural network of 300M steel

圖11 300M鋼貝葉斯正則化BP網絡預測R=0.7時的疲勞裂紋擴展速率Fig.11 Prediction results of fatigue crack growth rate(R=0.7)for 300M steel by neural network

圖10 300M鋼疲勞裂紋擴展速率（R=0.3）神經網絡預測結果Fig.10 Prediction results of fatigue crack growth rate(R=0.3)for 300M steel by neural network

下面我們來檢驗貝葉斯正則化BP網絡對疲勞裂紋擴展速率的預測能力，即對R=0.3時疲勞裂紋擴展速率進行預測，檢驗其內插能力；隨后對R=0.7時疲勞裂紋擴展速率進行預測，檢驗其外推能力。預測結果如圖10和圖11所示。

（1）檢驗網絡的內插能力

用訓練好的網絡對R=0.3時疲勞裂紋擴展速率進行預測，預測結果如圖10所示。

從圖10可以看出，貝葉斯正則化BP網絡對疲勞裂紋擴展速率的內插預測效果相當理想，表明該網絡有很強的內插能力。

（2）檢驗網絡的外推能力

用訓練好的網絡對R=0.7時疲勞裂紋擴展速率進行預測，預測結果如圖11所示。

圖11表明，外推預測結果與試驗結果吻合。綜合圖10和圖11可以得出，300M鋼貝葉斯正則化BP網絡有很強的內插和外推能力。

對比鋁合金6013與300M鋼網絡的預測效果，可以看出后者的預測能力明顯要強于前者。分析這兩者試驗數據的差異，初步推斷門檻值附近樣本點的減少是導致網絡預測能力提高的原因。

3.3 鋁合金2324疲勞裂紋擴展速率預測

接下來，以不同應力比R下鋁合金2324的疲勞試驗數據為樣本，建立貝葉斯正則化BP網絡。

圖12 鋁合金2324疲勞裂紋擴展速率試驗數據Fig.12 Experiment results of fatigue crack growth rate of aluminum alloy 2324

圖13 鋁合金2324疲勞裂紋擴展速率試驗數據（采用的）Fig.13 Experiment results of fatigue crack growth rate of aluminum alloy 2324(adoptive)

鋁合金2324試驗數據[8]如圖12所示。考慮到各應力比下疲勞裂紋擴展速率在門檻值附近的數據點較多，接近于垂直線。為了提高網絡的訓練和預測性能，舍去一些門檻值處的數據點。最終用于訓練網絡和測試網絡的數據樣本如圖13所示。

將圖13中的數據分為兩部分，R=-1、0.1、0.5對應的疲勞裂紋擴展速率數據用于訓練網絡，R=0.3、0.7時的數據用于測試網絡，檢驗其泛化能力。

BP網絡采用3層結構，隱層傳遞函數采用Tansig函數，輸出層函數采用線性函數。中間層神經元個數按照公式（4）確定，N=0.5×（2+ 1）+=9.81，取10個神經元。貝葉斯正則化BP網絡結構為2-10-1。

圖14 鋁合金2324神經網絡訓練結果圖Fig.14 Training result of neural network of aluminum alloy 2324

用訓練樣本對已建立的網絡進行訓練，訓練結果如圖14所示。

下面我們來檢驗貝葉斯正則化BP網絡對疲勞裂紋擴展速率的預測能力，即對R=0.3時疲勞裂紋擴展速率進行預測，檢驗其內插能力；隨后對R=0.7時疲勞裂紋擴展速率進行預測，檢驗其外推能力。預測結果如圖15和圖16所示。

圖15 鋁合金2324疲勞裂紋擴展速率（R=0.3）神經網絡預測結果Fig.15 Prediction results of fatigue crack growth rate(R=0.3)for aluminum alloy 2324 by neural network

圖16 鋁合金2324貝葉斯正則化BP網絡預測R=0.7時的疲勞裂紋擴展速率Fig.16 Prediction results of fatigue crack growth rate(R=0.7)for aluminum alloy 2324 by neural network

（1）檢驗網絡的內插能力

用訓練好的網絡對R=0.3時疲勞裂紋擴展速率進行預測，預測結果如圖15所示。

（2）檢驗網絡的外推能力

用訓練好的網絡對R=0.7時疲勞裂紋擴展速率進行預測，預測結果如圖16所示。

從圖15和圖16可以看出，網絡具有較強的預測能力，包括內插與外推功能。

3.4 鋁合金7055疲勞裂紋擴展速率

以不同應力比R下鋁合金7055的疲勞試驗數據為樣本，建立貝葉斯正則化BP網絡。

鋁合金7055試驗數據[8]如圖17所示。基于2.3中同樣的考慮，舍去一些門檻值處的試驗數據點，最終用于訓練網絡和測試網絡的數據樣本如圖18所示。

圖17 鋁合金7055疲勞裂紋擴展速率試驗數據 Fig.17 Experiment results of fatigue crack growth rate of aluminum alloy 7055

圖18 鋁合金7055疲勞裂紋擴展速率試驗 數據樣本（采用的）Fig.18 Experiment results of fatigue crack growth rate of aluminum alloy 7055(adoptive)

將圖18中的數據分為兩部分，R=-1、0.1、0.5對應的疲勞裂紋擴展速率數據用于訓練網絡，R=0.3、0.7時的數據用于測試網絡，檢驗其泛化能力。

BP網絡采用3層結構，隱層傳遞函數采用Tansig函數，輸出層函數采用線性函數。中間層神經元個數按照公式（4）確定，N=0.5×（2+ 1）+=10.56，取11個神經元。 因此貝葉斯正則化BP網絡結構為2-11-1。

用訓練樣本對已建立的網絡進行訓練，訓練結果如圖19所示。

圖19 鋁合金7055神經網絡訓練結果圖 Fig.19 Training result of neural network of aluminum alloy 7055

圖20 鋁合金7055疲勞裂紋擴展速率（R=0.3）神經網絡預測結果Fig.20 Prediction results of fatigue crack growth rate(R=0.3)for aluminum alloy 7055 by neural network

下面我們來檢驗貝葉斯正則化BP網絡對疲勞裂紋擴展速率的預測能力。

（1）檢驗網絡的內插能力

用訓練好的網絡對R=0.3時疲勞裂紋擴展速率進行預測，預測結果如圖20所示。

（2）檢驗網絡的外推能力

用訓練好的網絡對R=0.7時疲勞裂紋擴展速率進行預測，預測結果如圖21所示。

圖20和圖21表明，貝葉斯正則化BP網絡有較強的預測能力。同時也進一步證明了我們的推斷，即舍去門檻值附近的一些數據點可以提高網絡的預測能力。

圖21 鋁合金7055貝葉斯正則化BP網絡預測R=0.7時的疲勞裂紋擴展速率Fig.21 Prediction results of fatigue crack growth rate(R=0.7)for aluminum alloy 7055 by neural network

4 結 論

本文針對金屬疲勞裂紋擴展速率建立了貝葉斯正則化BP神經網絡。并通過對4種不同金屬材料的疲勞裂紋擴展速率試驗數據分別進行神經網絡訓練和網絡預測。結果表明：

（1）貝葉斯正則化BP神經網絡能夠較好地擬合不同應力比下的疲勞裂紋擴展速率；

（2）貝葉斯正則化BP神經網絡對于測試樣本有較好的預測能力，包括內插和外推能力，即具有較強的泛化能力；

（3）在貝葉斯正則化BP神經網絡使用過程中，舍去一部分門檻值附近的樣本點可以提高網絡的預測能力。

因此，該方法可以方便地獲得不同應力比R下的疲勞裂紋擴展速率，從而達到減少試驗次數，充分利用已有數據的目的。并且可以進一步應用于其他金屬的疲勞裂紋擴展速率的預報。

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