鐵路既有線復(fù)測平面曲線優(yōu)化方法*

陳 峰，辜良瑤，楊 岳，吳湘華

(1.中南大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，湖南長沙 410075;2.中南林業(yè)科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，湖南長沙 410004)

既有鐵路的線路參數(shù)是鐵路工務(wù)部門進(jìn)行軌道檢測與維保的基準(zhǔn)。鐵路線路經(jīng)過運(yùn)營與維修保養(yǎng)后，其線路參數(shù)發(fā)生改變，因此需要對(duì)線路進(jìn)行復(fù)測，根據(jù)復(fù)測數(shù)據(jù)，對(duì)線路參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化［1］。根據(jù)優(yōu)化后的線路參數(shù)計(jì)算線路橫、縱段面調(diào)整量，可以用于指導(dǎo)大機(jī)維修施工。目前，工務(wù)管理部門均成立了專業(yè)的測量隊(duì)伍，使用全站儀對(duì)鐵路既有線復(fù)測，獲得了高精度的連續(xù)線路大地坐標(biāo)。如何利用高精度的線路大地坐標(biāo)數(shù)據(jù)，通過合理的優(yōu)化計(jì)算方法對(duì)線路平面曲線參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整就成為一項(xiàng)十分重要的工作。對(duì)于線路平面曲線復(fù)測優(yōu)化計(jì)算方法，文獻(xiàn)［2］提出基于方向加速法的平面重構(gòu)算法，該算法未實(shí)現(xiàn)緩和曲線段的調(diào)整量計(jì)算，重構(gòu)出的曲線參數(shù)不能進(jìn)行人工干預(yù)，得到的曲線優(yōu)化參數(shù)過于精確，無法適應(yīng)現(xiàn)場的生產(chǎn)管理。如為了測設(shè)、施工和養(yǎng)護(hù)的方便，平面曲線半徑一般取50 m和100 m的整數(shù)倍［3］;文獻(xiàn)［4］提出采用基于圓曲線最小二乘擬合方法的平面曲線優(yōu)化方法，在弧徑比較小的情況下，圓曲線最小二乘擬合算法無法擬合出合理的圓曲線參數(shù)，因而在進(jìn)行大曲線半徑平面曲線優(yōu)化時(shí)，該方法容易產(chǎn)生病態(tài)優(yōu)化結(jié)果。為了解決上述問題，本文根據(jù)平面曲線幾何要素計(jì)算原理，提出了基于夾直線最小二乘擬合的平面曲線優(yōu)化方法。

1 平面曲線特征分界點(diǎn)的判別

線路平面曲線由前夾直線、前緩和曲線、圓曲線、后緩和曲線和后夾直線5個(gè)線形要素組成［2］，分別用直緩(ZH)、緩圓(HY)、圓緩(YH)、緩直(HZ)4個(gè)特征點(diǎn)進(jìn)行分界。既有線復(fù)測后，平面曲線優(yōu)化的首要步驟是對(duì)被測曲線的4個(gè)特征分界點(diǎn)的點(diǎn)位進(jìn)行判別。

文獻(xiàn)［4］根據(jù)測量數(shù)據(jù)進(jìn)行正矢計(jì)算，由正矢的變化規(guī)律進(jìn)行HY和YH分界點(diǎn)的判別。圖1所示為一段測量線路的超高和20 m正矢圖。從圖1可以看出:由于測量誤差的影響，正矢是波動(dòng)值，很難根據(jù)正矢值判別特征分界點(diǎn)，而且分界點(diǎn)的選擇偏差對(duì)圓曲線最小二乘擬合結(jié)果敏感度較高。

線路的超高值可以直接從測量中獲取，不需要進(jìn)行換算，能較為直觀的區(qū)分出平面曲線各特征段，分界點(diǎn)的選擇偏差對(duì)夾直線最小二乘擬合結(jié)果敏感度較低，因此線路的測量超高更適用于特征分界點(diǎn)的判別。

圖1 測量線路超高和正矢圖Fig.1 Superel evation and versine of measured railway line

2 基于最小二乘的圓曲線擬合方法

在判斷出既有線圓曲線、緩和曲線的特征分界點(diǎn)后，即可選取圓曲線上的測點(diǎn)進(jìn)行擬合。根據(jù)最小二乘原理來逼近圓曲線的圓心與半徑［4－6］。圓曲線上各測點(diǎn)的殘差平方和為:

式中:R0為擬合圓半徑;(X0，Y0)為擬合圓圓心坐標(biāo);(xk，yk)為圓曲線上測點(diǎn)Ck坐標(biāo)。根據(jù)最小二乘原理建立圓曲線擬合半徑與圓心坐標(biāo)計(jì)算方程:

在弧徑比L/R很小情況下，使用最小二乘擬合得到的圓心與半徑可能會(huì)得到一病態(tài)值，以下進(jìn)行分析。

以圓心在(0，0)的標(biāo)準(zhǔn)圓(R=0.5)為例，取4點(diǎn)(0.09，0.49)，(0.28，0.41)，(0.37，0.34)和(0.49，0.1)，弧長 L 約為0.6，采用以上算法擬合得到的圓心為(0.01，0.01)、半徑為 0.485，如圖2 左圖所示。擬合圓與標(biāo)準(zhǔn)圓基本重合，擬合結(jié)果較為合理。

在標(biāo)準(zhǔn)圓附近另取 4個(gè)相近點(diǎn)(0.360 9，0.346)，(0.360 3，0.346 7)，(0.362 2，0.344 7)和(0.362 8，0.344)，弧 長 L=0.0133，L/R =0.026 6。采用以上算法得到的擬合結(jié)果:圓心為(0.361 5，0.345 3)，半徑為0.690 7。得到的擬合結(jié)果如圖2右圖所示，擬合圓與標(biāo)準(zhǔn)圓產(chǎn)生了較大差距，擬合結(jié)果不合理。

圖2 圓曲線擬合病態(tài)結(jié)果Fig.2 Illness result of circle curve fitting

究其原因，若弧徑比過小，則測量點(diǎn)上的微小測量誤差，將對(duì)圓心的擬合坐標(biāo)產(chǎn)生較大影響，從而導(dǎo)致擬合結(jié)果與實(shí)際相差巨大。

在提速線路中大量使用了大半徑平面曲線，假設(shè)圓曲線長為150 m，曲線半徑超過6 000 m的平面曲線，其弧徑比即小于0.025，使用圓曲線最小二乘擬合，就有可能導(dǎo)致病態(tài)的擬合結(jié)果。

相對(duì)而言，直線的最小二乘擬合不存在以上問題，而且算法簡單。由于平面曲線可由圓曲線半徑和前后緩和曲線長3個(gè)參數(shù)唯一確定，因此，采用最小二乘擬合方法確定前后夾直線后，通過建立平面曲線上各線形要素的調(diào)整量計(jì)算模型，對(duì)圓曲線半徑和前后緩和曲線長進(jìn)行等步長迭代優(yōu)化計(jì)算，計(jì)算出平面曲線的最小調(diào)整量，即可獲得最優(yōu)的平面曲線參數(shù)。

3 基于夾直線最小二乘的平面曲線擬合

3.1 最小二乘的夾直線擬合

夾直線用方程y=Ax+B進(jìn)行定義，則夾直線上各測點(diǎn)的殘差平方和為:

根據(jù)最小二乘原理，夾直線的擬合參數(shù)為:

采用最小二乘得到擬合參數(shù)A和B。夾直線的方位角β=arctan A。從而得到前夾直線方位角β1，后夾直線方位角β2，兩夾直線的交點(diǎn)(JD)坐標(biāo)(xJD，yJD)，以及平面曲線的偏角 α =。因而，直線段上每個(gè)測點(diǎn)(xc，yc)的調(diào)整量為:

3.2 平面曲線的幾何要素

加設(shè)緩和曲線的平面曲線(圖3所示)的幾何要素為:偏角α，曲線半徑R，前緩和曲線長l1，后緩和曲線長l2，切線長T，曲線總長L。切線長T和曲線總長L由公式(6)計(jì)算:

式中:p為內(nèi)移距;q為切垂距;R，l1和l2為輸入?yún)?shù)。

圖3 平面曲線Fig.3 Plan curve

3.3 緩和曲線線型計(jì)算

在《線規(guī)》中明確規(guī)定:在不超過160 km/h的客貨列車共線運(yùn)行的鐵路，采用三次拋物線作為緩和曲線線型。以前緩和曲線為例，建立以ZH點(diǎn)為原點(diǎn)，切線為X'軸的緩和曲線局部坐標(biāo)系。可得3次拋物線上各點(diǎn)的計(jì)算公式［3］:

式中:lc為緩和曲線上任一點(diǎn)的弧長;C=R·l1;β'c為該點(diǎn)的緩和曲線角。

由于平面曲線測量是在大地坐標(biāo)下進(jìn)行的，需要將局部坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到大地測量坐標(biāo)系。若已知ZH點(diǎn)大地坐標(biāo)和方位角，前緩和曲線上任一點(diǎn)的大地坐標(biāo)計(jì)算公式:

3.4 平面曲線特征點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算

由于ZH和HZ點(diǎn)分別位于始端、終端夾直線上。根據(jù)前夾直線方位角β1，得到ZH點(diǎn)的大地坐標(biāo)為:

根據(jù)后夾直線方位角β2，計(jì)算HZ點(diǎn)的大地坐標(biāo)為:

將lc=l1代入式(7)和式(8)即可得到HY點(diǎn)坐標(biāo)(xHY，yHY)及方位角 βHY。進(jìn)而計(jì)算出圓心坐標(biāo):

3.5 平面曲線特征點(diǎn)里程計(jì)算

將整個(gè)平面曲線測量起點(diǎn)設(shè)置在夾直線上，將其作為優(yōu)化曲線的起點(diǎn)，將其測量坐標(biāo)投影到所在夾直線，得到位于夾直線上的起點(diǎn)坐標(biāo)(xQD，yQD)，設(shè)定該點(diǎn)的里程LQD，可由下式計(jì)算出平面曲線特征點(diǎn)的里程:

在后續(xù)的平面曲線中，前一平面曲線的HZ點(diǎn)為后一平面曲線的起點(diǎn)，前一平面曲線的后夾直線為后一平面曲線的前夾直線。從而計(jì)算得到整個(gè)測量曲線連續(xù)的平面曲線的特征點(diǎn)大地坐標(biāo)及里程。

4 平面曲線調(diào)整量計(jì)算

4.1 圓曲線調(diào)整量計(jì)算

由公式(11)計(jì)算得到了圓曲線的圓心坐標(biāo)，則圓曲線上的調(diào)整量即為測量點(diǎn)到圓心的距離減曲線半徑:

4.2 緩和曲線調(diào)整量計(jì)算

直線和圓曲線的調(diào)整量均能通過幾何關(guān)系直接算出，在緩和曲線上則比較復(fù)雜，本文采用緩和曲線方位角搜索法進(jìn)行迭代計(jì)算［7］。即在緩和曲線上找到法線通過測點(diǎn)的投影點(diǎn)，調(diào)整量即為測點(diǎn)與投影點(diǎn)的距離。

取緩和曲線段上的1個(gè)測量點(diǎn)C，根據(jù)C點(diǎn)與ZH點(diǎn)坐標(biāo)，先計(jì)算ZH→C的方位角θZH→C，若其與ZH點(diǎn)的方位角的夾角＜ 0.01，則 ZH 點(diǎn)即為點(diǎn)的法線里程點(diǎn)。

圖4 緩和曲線調(diào)整量計(jì)算原理圖Fig.4 Adjustment calculation of transition curve

否則，計(jì)算 c點(diǎn)與ZH 點(diǎn)間距 sZH→c，令li=sZH→c× cosθsZH→c，代入式(7)和(8)，求出 E1 點(diǎn)處的坐標(biāo)(xE1，yE1)及方位角 βE1。再計(jì)算 E1→ c的方位角θE1→c，若其與E1點(diǎn)的方位角的夾角＜0.01，則E1點(diǎn)即為c點(diǎn)的法線里程點(diǎn)。否則重復(fù)以上步驟，最后總能找到點(diǎn)En，使En的切線與En－c垂直。

得到En后，則該測量點(diǎn)的調(diào)整量為:

5 平曲曲線優(yōu)化算法

5.1 算法原理

通過建立的平面曲線調(diào)整量計(jì)算模型，在兩端夾直線不變的前提下，平面曲線的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為:以R，l1和l2為優(yōu)化參數(shù)，以調(diào)整量最小為優(yōu)化目標(biāo)的優(yōu)化求解問題。建立優(yōu)化方程:

Δi為每個(gè)測點(diǎn)的調(diào)整量。Rs，l1s和l2s為3個(gè)優(yōu)化參數(shù)的迭代步長。前、后夾直線的調(diào)整量在進(jìn)行最小二乘擬合時(shí)就已確定，與R，l1和l2無關(guān)，因此，只需要對(duì)緩和曲線段和圓曲線段進(jìn)行優(yōu)化。在線路設(shè)計(jì)中，平面曲線一般采用對(duì)稱基本型，即前、后緩和曲線等長，因而還可以減少一個(gè)優(yōu)化參數(shù)，提高算法效率。具體的優(yōu)化步驟如下:

(1)給定R，l1和l2初始值，根據(jù)線路養(yǎng)護(hù)管理要求設(shè)置相應(yīng)步長(Rs，l1s和 l2s)，根據(jù)式(6)，計(jì)算始端切線長T1、終端的切線長T2。

(2)根據(jù)式(9)和(10)，計(jì)算ZH與 HZ點(diǎn)坐標(biāo)。

(3)將l1代入式(7)和(8)，計(jì)算HY點(diǎn)坐標(biāo)。

(4)將HY點(diǎn)坐標(biāo)代入式(11)，計(jì)算得到圓曲線的圓心坐標(biāo)。

(5)遍歷所有的測點(diǎn)，根據(jù)測點(diǎn)坐標(biāo)值，判斷測點(diǎn)所在的特征段。

(6)如果測點(diǎn)位于緩和曲線和圓曲線區(qū)域，調(diào)用相應(yīng)的調(diào)整量計(jì)算模型，計(jì)算位于緩和曲線和圓曲線區(qū)域的所有測點(diǎn)的調(diào)整量。

(7)按照指定步長，調(diào)整參數(shù) R，l1和l2。重復(fù)以上操作進(jìn)行最小調(diào)整量搜索，直至達(dá)到各優(yōu)化參數(shù)的邊界條件，計(jì)算結(jié)束。最小調(diào)整量所處的平面曲線參數(shù)R，l1和l2即為該平面曲線的最優(yōu)參數(shù)。

5.2 算例

按照上述算法，應(yīng)用C#語言開發(fā)了既有線平面曲線復(fù)測優(yōu)化軟件，并對(duì)廣深I(lǐng)線、廣深I(lǐng)I線K40～K65試驗(yàn)路段進(jìn)行了復(fù)測。從測量數(shù)據(jù)中取一段具備前后夾直線的完整既有線為例，對(duì)算法進(jìn)行驗(yàn)證。

算例一:根據(jù)工務(wù)部門提供的原有曲線參數(shù)直接進(jìn)行平面曲線調(diào)整量計(jì)算，將計(jì)算結(jié)果按照測點(diǎn)依次繪制出調(diào)整量示意圖，如圖5(圖中上部)所示，圖中下部為測量超高。

算例二:設(shè)定曲線半徑優(yōu)化范圍為6 000～10 000 m，優(yōu)化步長取100 m，根據(jù)現(xiàn)場管理要求緩長保持不變，對(duì)測量數(shù)據(jù)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，優(yōu)化后的圓曲線半徑為8 300 m。圖6所示為優(yōu)化后得到的調(diào)整量圖。

圖5 R=8 000調(diào)整量圖Fig.5 Adjustment when radius is equal to 8 000

圖6 R=8 300調(diào)整量圖Fig.6 Adjustment when radius is equal to 8 300

從兩圖中可以看出，優(yōu)化后的平面曲線，從ZH點(diǎn)到HZ點(diǎn)的調(diào)整量明顯減少。優(yōu)化前后的平面曲線參數(shù)如表1所示。

表1 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Table 1 Optimization result comparison m

6 結(jié)論

(1)基于復(fù)測線路的大地測量坐標(biāo)，建立了基于R，l1和l23個(gè)參數(shù)的平面曲線特征點(diǎn)大地坐標(biāo)及里程的計(jì)算模型。

(2)采用緩和曲線方位角搜索法，實(shí)現(xiàn)了緩和曲線段調(diào)整量的計(jì)算，從而實(shí)現(xiàn)了整個(gè)平面曲線任一測點(diǎn)的調(diào)整量計(jì)算。

(3)根據(jù)以上計(jì)算模型，提出了基于夾直線最小二乘的平面曲線優(yōu)化方法，算法簡單，易于編程實(shí)現(xiàn)。平面曲線優(yōu)化參數(shù)個(gè)數(shù)、初始值、步長可以根據(jù)現(xiàn)場養(yǎng)護(hù)需求進(jìn)行靈活控制。該算法不僅避免了基于圓曲線最小二乘的優(yōu)化方法出現(xiàn)的病態(tài)擬合結(jié)果，而且在直線段可加長測點(diǎn)間隔，提高測量效率。

根據(jù)廣深I(lǐng)線、廣深I(lǐng)I線K40～K65試驗(yàn)路段的復(fù)測數(shù)據(jù)，采用本文提出的基于夾直線擬合的優(yōu)化方法，進(jìn)行了試驗(yàn)區(qū)段的平面曲線優(yōu)化，并根據(jù)優(yōu)化后的參數(shù)指導(dǎo)大機(jī)精確搗固，搗固后試驗(yàn)路段總體質(zhì)量逐步提高。廣深Ⅰ線搗固后(2011－10－08)質(zhì)量指數(shù)TQI為3.96，比搗固前(7月22日)降低了0.48，廣深Ⅱ線質(zhì)量指數(shù) TQI為3.95，比搗固前降低了 0.61。

［1］李家穩(wěn)，陳 峰，張海燕，等.坐標(biāo)法優(yōu)化撥距計(jì)算方法的研究［J］.北方交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，28(4):34－36.LI Jia-wen，CHEN Feng，ZHANG Hai-yan，et al.Study of the move distance calculation method［J］.Journal of Northern Jiaotong University，2004，28(4):34 －36.

［2］李 偉，蒲 浩，彭先寶.基于方向加速法的鐵路既有線平面重構(gòu)優(yōu)化算法［J］.鐵道科學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2009，6(3):47－51.LI Wei，PU Hao，PENGXian-bao.Existing railway plane Line reconstruction algorithm based on direction acceleration method［J］.Journal of Railway Science and Engineering，2009，6(3):47－51.

［3］李遠(yuǎn)富.線路勘測設(shè)計(jì)［M］.北京:高等教育出版社，2009.LI Yuan-fu.Route survey and design［M］.Beijing:Higher Education Press，2009.

［4］李紅艷，陳治亞，邢 誠，等.鐵路既有線曲線復(fù)測計(jì)算方法［J］.中國鐵道科學(xué)，2009，30(2):18－22.LI Hong-yan，CHEN Zhi-ya，XING Cheng，et al.Calculation method for curve re－surveying of the existing railway line［J］.China Railway Science，2009，30(2):18 －22.

［5］魯永辰.坐標(biāo)法復(fù)測既有鐵路曲線［J］.鐵道勘察，2006，32(3):15 －17.LU Yong-chen.Re－surveying the curves of the existing railways with the method of coordinate［J］.Railway Investigation and Surveying，2006，32(3):15 －17.

［6］王 磊.既有鐵路平面改建CAD系統(tǒng)理論與方法的研究［D］.長沙:中南大學(xué)土木建筑學(xué)院，2008.WANG Lei.Theory and method research on reconstruction CAD system of existing railway［D］.Changsha:School of Civil Engineering，Central South University，2008.

［7］李富強(qiáng)，陳 斐，王 強(qiáng).已知點(diǎn)坐標(biāo)換算路線里程的方法及程序［J］.山西交通科技，2005(4):65－67.LI Fu-qiang，CHEN Fei，WANG Qiang.A method and program of using point coordinate to convert route mileage［J］.Shanxi Science ＆ Technology of Communications，2005(4):65－67.