基于藤結構Copula的多元信用風險相關性度量模型及其比較

羅長青，歐陽資生

（1.湖南商學院 財政金融學院，湖南 長沙 410082； 2.湖南大學 工商管理學院，湖南 長沙 410082）＊

一、引 言

現代金融信用風險具有易傳染性特征，信用風險的爆發往往呈現出非線性擴散的現象，當信用風險事件處于不可控制的狀態時，以商業銀行為中樞的金融體系乃至經濟體系會面臨較大的系統性風險，如若應對不力，便會爆發金融危機和經濟危機。商業銀行如果只考慮單一的信用風險事件已經不能適應外部復雜的經營環境變化，“你中有我，我中有你”的信用風險相關或傳染，使得考慮信用風險之間的相關性，特別是極端風險事件下的相關性，實施信貸組合管理成為了商業銀行風險管理的一種發展趨勢。隨著Basel II的正式公布，有關信用風險相關性度量模型的構建及管理的專業技巧，已成為商業銀行和其他金融機構十分重視的議題。

由于信貸組合管理越來越受到重視，國內外學者開始對信用風險相關性進行了理論和實證上的探討。Wu在度量一籃子信用組合風險的過程中運用了因素Copula模型［1］。Crook和 Moreira則運用Copula函數，使用不對稱相關性對信用組合的風險進行了分析［2］。劉久彪以預期短缺ES度量信用組合風險，利用t–copula建模債務人的風險相關性，提出了一種確定信用組合一致性風險量度ES的方法［3］。詹原瑞、韓鐵和馬珊珊以及童中文和何建敏分別運用不同的Copula函數對信用衍生產品中的違約風險相關性進行了建模，并通過模擬的方式驗證了模型的有效性和可實現性［4，5］。蘇靜和杜子平結合Copula函數與KMV模型相結合對商業銀行組合信用風險進行了度量［6］。彭建剛和呂志華提出了行業風險因子之間是相互關聯的Credit Risk＋模型［7］。梁凌、彭建剛和王修華建立了抵押品池綜合違約損失率的計算模型［8］。熊正德和冷梅則對信用風險傳染現象進行了描述［9］。已有研究大多運用二元Copula模型，從模擬角度或實證角度對信貸資產的信用風險二元相關性進行了探討，而對信貸資產高維相關性的探討相對較少。

在商業銀行信貸風險管理以及在信貸資產證券化過程中，信貸資產通常是多元的，二維Copula模型雖然能夠在一定程度上描述信貸組合的風險狀況，但并不能描述多資產的相依結構，因此需要引入高維Copula模型。然而，高維Copula模型在構建過程中參數較多、計算復雜。本文引入Bedford和Cooke提出的藤結構分解模式［10，11］，對多元 Copula模型來進行分解和參數估計，從而實現對多元信用風險相關性的建模。

二、行業信用風險的度量及藤結構設定

以行業分析為基礎來構建和優化信貸組合既能滿足信貸組合管理的要求，又能提高管理的效率，也符合當前國內外商業銀行管理的現實狀況。而以行業為基礎來構建信用風險相關性度量模型，首先需要構建行業信用風險指數，而對行業信用風險指數的構建需要對單個企業的信用風險進行評價，本文運用組合評價模型來評估單個企業的信用風險，限于文章篇幅，在此只描述模型構建思路（參見圖1）。以企業首次被ST作為違約事件發生的標志，選擇深、滬兩交易所首次被進行特別處理的ST公司，同時在同行業中選取資產最為接近的非ST公司作為配對樣本進行建模。上市公司的行業分別為電力、煤氣及水的生產和供應業，批發和零售貿易業，石油、化學、塑膠、塑料業，信息技術業等4個行業，它們分別作為強周期型行業、防御型行業、弱周期型行業以及成長型行業的代表，分別以第I，II，III和第IV類行業來表示。各類模型的權重參數（w1，w2，w3）如表1所示。本文參考劉盛宇等人的研究，建立組合預測模型［12］。

圖1 信用風險組合評價模型的構建思路

從總的預測精度來看（如表1所示），相對于MDA模型、SVM模型以及KMV模型，Hybrid模型的預測精度較高，除電力、煤氣及水的生產和供應業，食品飲料行業以外，其它行業的預測準確率均超過了80%，這反映了Hybrid模型在評價企業信用風險，尤其是上市公司信用風險方面具有較好的性能。

表1 Hybrid模型的參數估計結果及預測錯誤率（分行業）

運用Hybrid模型估算出單個上市公司的違約風險之后，運用下式計算行業信用風險中的指數：

其中，Cri為某一行業的信用風險，xi和X分別為單個企業的總資產和樣本企業的總資產之和，n為行業內樣本企業的家數，fri為單個企業的信用風險大小。di和D分別為單個企業的負債和樣本企業的負債之和。行業信用風險的計算期限為2006年6月～2010年12月，數據周期為2個星期。四大行業的信用風險如圖2所示。

圖2 行業信用風險趨勢圖

考慮到信用風險相關性的非線性和非對稱特點，本文采用Copula函數來實現。對于Copula函數的分解模式，則以藤結構的方式來分解。在對多元信用風險相關性度量模型中采用Canonical藤和D藤兩類分解結構來實現對多元Copula模型的分解。

三、Canonical藤結構下的參數估計及信用風險相關性度量

Clayton Copula函數能較好地刻畫下尾相關的特點，所以，在構建多元Copula函數的過程中，選擇以Clayton Copula函數為基準：

分別以DL（電力、煤氣及水的生產和供應業）、PF（批發、零售、貿易業）、SH（石油、化學、塑膠、塑料）以及XX（信息技術業）來代表第I，II，III和第IV類行業來構建信用風險相關性度量的多元Copula模型，在Canonical藤分解結構下，多元Copula函數的聯合密度函數f（x1，x2，x3，x4）為：

式（3）中的每個Pair Copula密度函數都可以分解為一個二元Copula密度函數和邊緣分布密度函數的乘積，如下所示：

條件分布函數F（x｜v），可以通過下式來求得：

Canonical藤下的對數似然函數為：

其中，j表示樹的個數，i表示每棵樹中的結點的個數，θ代表多元Copula密度函數的參數集。

在Canonical藤結構的分解模式下，多元聯合密度函數的對數似然函數參數的初值求解過程如下：

步驟1：根據信用風險數據計算多元Copula密度函數的初值：c12（（F（x2），F（x1））；c13（（F（x3），F（x1））；c14（（F（x4），F（x1））。

步驟2：根據f（x1，x2）＝c12（F（x2），F（x1））f（x1）f（x2）以及步驟1中的初值，來計算信用風險的樣本數據，其中：

步驟3：利用步驟2中求得的F（x2｜x1），F（x3｜x1），F（x4｜x1）估計第二層次的多元Copula函數的參數值c23｜1（F（x2｜x1），F（x3｜x1））；c24｜1（F（x3｜x1），F（x4｜x1））。

步驟4：重復以上步驟，估計Canonical藤結構中的所有參數值（結果參見表2）。

表2 Canonical藤結構下的多元Clayton Copula模型估計

四、D藤結構下的參數估計及信用風險相關性度量

D藤結構的分解模式下，Copula函數的聯合密度函數f（x1，x2，x3，x4）：

D藤下的對數似然函數為：

其中，j表示樹的個數，i表示每棵樹中的結點的個數，θ代表多元Copula密度函數的參數集。

D藤結構下的多元聯合密度函數的對數似然函數參數的初值求解過程如下：

步驟1：根據信用風險數據計算多元Copula密度函數的初值：c12（（F（x2），F（x1））；c23（（F（x3），F（x2））；c34（（F（x4），F（x34））。

步驟2：根據f（x1，x2）＝c12（F（x2），F（x1））f（x1）f（x2）以及步驟1中的初值，來計算信用風險的樣本數據，其中：

步驟3：利用步驟2中求得的F（x2｜x1），F（x3｜x2），F（x4｜x3）估計第二層次的多元Copula函數的參數值c13｜1（F（x3｜x1），F（x1｜x1））；c24｜3（F（x2｜x3），F（x4｜x3））。

步驟4：重復以上步驟，估計D藤結構中的所有參數值（結果參見表3）。

表3 D藤結構下的多元Clayton Copula模型估計

五、模型的比較及分析

從模型參數估計的t檢驗來看，多元Clayton Copula函數的擬合效果較好，兩種藤結構的Copula模型都有一定的合理性，為了得到最佳的變量邏輯分解結構，運用AIC和BIC準則來進行檢驗Canonical藤和D藤分解結構。

當存在某一關鍵變量作為主導變量時，Canonical藤的統計性能較優，當變量相依結構并不存在主導變量時，則相對適宜用D藤結構的分解模式。將兩類模型相比較可以發現，適用于Canonical藤結構的Pair Copula模型的AIC和BIC均小于D藤結構的AIC和BIC。在本文的研究中，Canonical藤結構的根節點為第I類行業，即以電力煤氣及水的生產為代表的強周期性行業，第I類行業在行業結構中可能具有引導作用，因此，Pair Copula分解的結構更適合Canonical藤。

六、結論及啟示

Canonical藤和D藤多元Clayton Copula模型均能較好地描述多元信用風險相關結構。但兩類模型相比較可以發現，適用于Canonical藤結構的多元Clayton Copula模型的擬合優度更好，說明信用風險相關性的產生可能會由某一占主導作用的產業所引致。商業銀行和其他金融機構可參考所構建的藤結構Copula模型進行信貸組合管理：（1）可依照藤結構Copula模型對信貸組合中的風險相關或風險傳染現象進行風險預警；（2）在藤結構Copula模型估計的基礎上，金融機構可以針對多元信貸資產組合進行一致性風險度量；（3）求解出風險最小條件下的最優信貸資產權重，從而為金融機構調整信貸組合的資產比例提供依據。

［1］Wu Po Cheng.Applying a factor copula to value basket credit linked notes with issuer default risk［J］.Finance Research Letters，2010，7（3）：178－183

［2］Crook Jonathan，Moreira Fernando.Checking for asymmetric default dependence in a credit card portfolio：a copula approach［J］.Journal of Empirical Finance，2011，18（4）：728－742

［3］劉久彪.基于t–copula的信用組合一致性風險度量［J］.北京航空航天大學學報（社會科學版），2011，24（1）：82－85.

［4］詹原瑞，韓鐵，馬珊珊.基于copula函數族的信用違約互換組合定價模型［J］.中國管理科學，2008，16（1）：1－6.

［5］童中文，何建敏.基于Copula風險中性校準的違約相關性研究［J］.中國管理科學，2008，16（5）：22－27.

［6］蘇靜，杜子平.Copula在商業銀行組合信用風險度量中的應用［J］.金融理論與實踐，2008，346（5）：6－8.

［7］彭建剛，呂志華.基于行業特性的多元系統風險因子Credit－Risk＋ 模型［J］.中國管理科學，2009，17（3）：56－64.

［8］梁凌，彭建剛，王修華.內部評級法框架下商業銀行信用風險的資本測算［J］.財經理論與實踐，2008，29（5）：17－21.

［9］熊正德，冷梅.KMV和Apriori算法在上市公司信用風險傳染中的應用［J］.湖南大學學報（社會科學版），2010，24（3）：58－61.

［10］Bedford T，Cooke R M.Vines－a new graphical model for dependent random variables［J］.Annals of Statistics，2002，30（4）：1031－1068.

［11］Aas K，Berg D.Models for construction of multivariate dependence：a comparison study［J］.European Journal of Finance，2009，15（7－8）：639－659.

［12］劉盛宇，楊桂元，袁宏俊.組合預測模型在我國旅游業預測中的應用［J］.科學決策，2012，（3）：28－42.