基于Kalman濾波技術的纖維增強復合材料界面斷裂參數確定方法

何周理 徐緋， 段敏鴿

(1.西北工業大學航空學院，西安 710072;2.上海飛機設計研究院，上海 200232)

連續碳(及碳化硅)纖維增強復合材料具有較高的比強度、比剛度以及耐高溫、耐腐蝕、抗氧化、低密度等優點，因此，已越來越廣泛地應用于航空、航天等高溫領域。

在固體力學和材料力學領域中，某些材料參數通過試驗直接測量十分困難。但卻可以通過試驗測量得到與這些材料參數直接相關的其它物理量，再考慮通過反演計算得到所需的材料參數值。常用的反演方法主要包括:Monte Carlo［1］法、模擬退火法［2］、遺傳算法［3］、改進的人工神經網絡法［4］等等。上述的幾種反演方法屬于完全非線性反演法，具備全局搜索能力，但是計算量往往很大，計算效率不高。所以對于單個或者未知參數較少時的反演情況，上述方法并非最佳選擇。本文將介紹一種計算效率較高的Kalman濾波反演法。

1960年，Kalman提出了用遞歸方法解決離散數據線性濾波問題。此后，由于數字計算技術的進步，Kalman濾波技術得到了廣泛的應用，特別是在自主及協助導航領域。Kalman濾波可由一系列遞歸數學公式描述，它們提供了一種高效的方法來估計過程的狀態，并使估計均方誤差最小［5］。其應用廣泛且功能強大，即使對相應模型的性質不確定，可以估計信號的過去和當前狀態，甚至將來的狀態。基于以上Kalman濾波反演方法的優點，促使其正逐漸走進研究者的視野，如結合邊界元利用擴展的Kalman濾波方法對材料彈性和熱彈性參數［6］進行反分析;利用Kalman濾波方法對金屬材料的Gurson模型參數［7，8］進行反演確定;利用擴展的 Kalman濾波對單一載荷下裂紋斷裂參數和動態界面分層參數進行反演確定［9，10］;大體積混凝土結構位移場參數［11］的反演等等

本工作介紹了Kalman濾波反演方法的基本原理，并且結合SiC(SCS-6)/Ti復合材料的單纖維頂出試驗，成功地反演出了碳化硅纖維鈦基復合材料的界面參數。論證了Kalman濾波反演法具有較好的收斂性和較高的精確性。并且通過不同的測量噪音證明了其具有一定的消除噪音的能力。通過例證還可看出，Kalman濾波反演方法可在一定程度上簡化實驗方案［12］。

1 纖維頂出試驗研究

單纖維頂出試驗［13］是從細觀上對纖維增強基體復合材料界面性能進行研究的一種試驗手段，主要用于獲得纖維和基體交界處的界面性能，比如界面的剪切強度、拉伸強度以及斷裂能等等。單纖維頂出試驗的實驗示意圖和試驗結果曲線如圖1、圖2所示，實驗機通過壓頭施加壓力把纖維從基體中頂出，同時測量出壓頭的支反力和位移。

從試驗曲線可以看出初始載荷隨位移呈線性增加，當載荷增加到Fmax時，表示界面剪切應力達到最大值，界面開始脫粘，此后載荷開始直線下降。由試驗曲線可以獲得2個重要的參數Fmax以及與Fmax對應的位移δmax。然后根據公式:

上式中d是纖維的直徑，L是試樣的長度，通過上式計算得到界面的試驗剪切強度。由于在上述試驗中獲得的界面剪切強度τ為纖維脫粘時整個界面的剪切應力平均值，然而在實際情況中，纖維脫粘時沿纖維軸向的拉伸應力和剪切應力分布都是不均勻的，所以上述試驗中獲得的界面剪切強度并非材料界面的真正剪切強度［14］。為了得到纖維增強復合材料界面的真實剪切強度，很多研究者運用有限元模擬計算來反演界面剪切強度。如文獻［9］中關于正問題的研究，成功地用cohesive單元模擬單纖維頂出試驗，得到了纖維脫粘時切應力沿界面的分布，通過有限元計算得到的力-位移曲線和試驗的結果基本一致。在本文的研究中我們用反問題思路，即考慮界面剪切強度和斷裂能量都為未知參數，通過參考文獻［15］中試驗得到的力-位移曲線結果，結合Kalman濾波反演技術來反演計算未知的兩個參數。

有限元模型，試驗模型可看成軸對稱模型所以在模擬計算中用軸對稱條件進行簡化。簡化后的有限元模型及尺寸如圖3所示，圖中顯示了對稱軸和界面的位置，分別標識了壓頭端和簡支座端，對稱軸采用對稱邊界條件，簡支端限制Z向位移，加載端Z向位移0.09mm。

圖3 簡化的有限元模型Fig.3 the FEA model

2 Kalman濾波原理簡介

簡單來說，Kalman濾波是一個優化自回歸數據處理算法，用遞歸的方法解決離散數據線性濾波問題。Kalman濾波應用廣泛且功能強大，他的廣泛應用已經超過30年，包括機器人導航、控制、傳感器數據融合甚至在軍事方面的雷達系統以及導彈追蹤等等。近年來更被應用于計算機圖像處理，例如頭臉識別、圖像分割及圖像邊緣檢測等等。Kalman濾波器的基本工作原理主要由時間更新(預測)和量測更新(校正)兩部分組成，原理公式如表1中所示。

式(2)表示由k－1時刻的狀態變量xk－1遞推k時刻的狀態變量xk;式(3)表示估計誤差協方差的遞推公式;式(4)表示量測向量zk在狀態變量xk時的函數表達。其中P－k為先驗估計誤差協方差矩陣，R為量測噪音協方差矩陣;A表示差分方程的增益矩陣，B代表可選的控制輸入u∈Rl的增益矩陣，wk－1表示過程激勵誤差;h表示狀態變量xk對量測變量zk的增益函數，向量vk表示量測誤差。估計誤差協方差Pk和量測誤差協方差R都隨著時間步k的變化而不同。Hk為k時刻量測變量值對狀態變量(待估參數)的一階偏導數:

當Kalman濾波的過程激勵噪音wk=0、增益矩陣A為單位矩陣I、控制輸入u=0時，Kalman

濾波的狀態更新方程簡化為為:

Kalman濾波器向估計誤差協方差矩陣更新方程為:

表1 Kalman濾波原理(-代表先驗，^代表估計)Kalman filter principle table(-is priori state estimate，^denote estimate)

3 Kalman濾波反演步驟

(1)首先假設待估參數的初值:取狀態變量的初值為x0和誤差協方差初值為P0。

(2)把第k步的狀態變量值和已知的各材料參數代入到有限元模型計算中，得到計算量測向量;并且提取有限元結果計算出Hk。

(4)根據第k步的值計算Kalman增益矩陣Kk+1。

(6)檢驗更新的誤差協方差矩陣的最大特征值是否達到預設的精度ε。

(7)如果沒有達到精度要求則重復反演計算步驟2－6;如果達到精度要求則停止濾波反演計算。

4 實例證明

4.1 例證1

在第1節中已經說明了單纖維頂出試驗得到的是復合材料界面的平均性能，而非界面的真實性能。本例將使用Kalman濾波反演法來求解真實的剪切強度τb，設界面的剪切強度τb為未知參量，即狀態向量為xk=τbk;以壓頭支反力的最大值為Kalman濾波的量測標準，即量測向量為zk=Fmax。本例中狀態向量只有一個參數，所以屬于一維的Kalman濾波反演計算。在反演計算中，力的單位為N，剪切強度的單位為MPa，位移的單位為mm。

表2 Kalman濾波器的參數設置Table 2 The initial parameters of Kalman filter

Kalman濾波反演計算的每一步更新中必須已知試驗量測向量Zk+1和Hk的值，所以針對不同的狀態變量xk，結合有限元計算可得到所需的計算量測向量z－k和Hk，然后可以使Kalman濾波反演計算向后一步一步進行預估校正。當即估計誤差的協方差小于等于1時，認為找到合適的反演結果。把上述初始估計和誤差協方差矩陣代入Kalman濾波反演計算中。當經過10次反演計算后最終誤差矩陣協方差為0.999，反演結果為 200.8MPa，反演數值曲線如圖4所示。

把得到的參數xk=τbf=200.8 MPa代入到數值模擬計算中，計算得到的力-位移曲線如圖5所示，與試驗得到的力-位移曲線相比較，兩者基本吻合，證明了此方法的可行性和精確性。

4.2 例證2

運用Kalman濾波反演法確定單纖維增強復合材料界面的多個未知參數。界面的剪切強度τb和斷裂能均為未知參量，即狀態向量為xk=［τ，G］T，所以本例的計算屬于二維的Kalman濾波反演計算。在反演計算中以壓頭的壓力和對應的下壓位移為反演的量測標準，即量測向量為zk=［Fmax，δ］。在計算中，力的單位為N，剪切強度的單位為MPa，位移的單位為mm，斷裂能的單位為N/mm。本例進行計算的初始參數設置如下。

初始狀態變量:

初始估計誤差的協方差矩陣:

觀測誤差的協方差矩陣:

過程激勵噪聲方差矩陣:

把上面的的各個值結合有限元計算可得到反演所需的Zk和Hk，然后按照Kalman濾波反演計算的步驟一步一步向后進行反演計算。當(即估計誤差的協方差矩陣的最大特征值小于等于1時)，認為反演值達到要求的精度，找到了合適的反演結果。本例中的觀測誤差協方差矩陣為:R=diag(2.5，2.5)，當經過44次反演計算后得到結果為xk=［τ，G］T為［200.555，3.9548］T，最終的誤差協方差為過程激勵噪聲方差矩陣:P44=diag(0.9983，0.001)，得到參數 τ和 G的反演曲線如圖5所示。

把反演得到的參數τ和G代入到有限元計算中的界面模型中，進行數值模擬計算，最后計算得到的力－位移曲線如6圖所示，并且和試驗得到的力－位移曲線相比較。由圖6中可以看出，最后的反演結果計算得到的曲線和試驗得到的曲線基本重合，所以反演的結果為精確值。另外隨著反演的參數增多，濾波次數明顯增多。

4.3 例子3

研究量測噪音誤差對反演結果的影響，例2中其它各參數不變，而僅僅把量測噪音誤差協方差分別設為 diag(1，1)，diag(5，5)和 diag(16，16)，相對應的試驗誤差分別為2%，4.5%和8%的情況。按照例2的步驟進行Kalman濾波反演計算，得到的結果如表3示。

圖6 剪切強度(τ)(a)和斷裂能(G)(b)的反演曲線Fig.6 The inverse analysis of shear strength(τ)(a)and the fracture energy(G)(b)

表3 不同的量測噪音協方差Kalman濾波反演結果Table 3 The results of influence of noise by Kalman filter

圖7 反演結果和實驗結果對比Fig.7 Comparison of inverse analysis and experimental results

表3說明Kalman濾波反演計算具有一定的消除噪音的能力，由不同的測量噪音誤差協方差得到的反演結果具有一致性;但是隨著噪音的增大，濾波的次數要明顯增多。

5 結論

通過對SiC(SCS－6)/Ti單纖維增強復合材料的界面參數計算研究表明:

(1)Kalman濾波反演方法不論對于單個參數反演還是多個參數反演都是可行的，由圖4和圖6可知Kalman濾波反演法的收斂性較好。

(2)圖3和圖7的例證結果表明反演得到的結果和試驗得到的結果［9］吻合很好，說明Kalman濾波反演方法具有較高的精度。

(3)Kalman濾波反演方法可以引入不同的量測噪音協方差矩陣，說明實驗噪聲的影響，這也是該方法作為材料參數反演計算的一個重要特點和優點。

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