基于約束獨立成分分析的滾動軸承故障診斷

王志陽，陳 進，肖文斌，周 宇

(上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240)

獨立成分分析(ICA)是一種從多維統計數據中尋找隱含變量或成分的方法。區別于其它方法的本質特征是這些成分既是統計獨立的又是非高斯的［1］。獨立成分分析(ICA)已廣泛應用于通信工程［1-2］、語音處理［2-4］、生物工程［5-6］等許多領域，但在機械故障診斷中的應用仍然面臨許多困難。目前的發展趨勢表明，ICA只有與被應用對象相結合，才會有比較理想的效果。因為ICA僅利用數據統計的獨立性進行分離，雖然適用性廣泛，但其缺點也較明顯。即ICA所利用的信息太過單一，是ICA具有幅值不定性和順序不定性的根本原因。而實際工程中所測得的數據除具有統計獨立性屬性外，還具有諸如時間結構等其它工程屬性。獨立成分分析與機械故障診斷的關系也是如此。只有與機械故障診斷對象的先驗信息相結合，才能提高故障診斷的準確性和成功率。另外，ICA的具體的應用中，當被應用的對象確定后，其許多信息是已知的、可利用的。而約束獨立成分分析方法可以滿足這些要求。

如何從大量的數據中提取有用信息是機械故障診斷的顯著特點。約束獨立成分分析(cICA)將被研究對象的先驗信息融入ICA算法中，使算法在收斂的時候僅僅收斂于感興趣的故障信號，不僅可以提高故障診斷的針對性，且大大減少了計算量。因此約束獨立成分分析方法在機械故障診斷領域有巨大的應用前景。

迄今為止，約束獨立成分分析方法在機械故障診斷中的應用還相對較少。本文論述約束獨立成分分析方法的一般原理和方法，分析約束獨立成分分析方法在機械故障診斷中參考信號產生的原則和方法，并通過實驗驗證該方法在滾動軸承故障診斷中的適用性和有效性。

1 方法

1.1 獨立成分分析(ICA)

約束獨立成分分析(cICA)由獨立成分分析(ICA)發展而來。此處介紹ICA，再引出cICA的原理與方法。

基本的ICA模型為:假設k個可觀測的時間序列x(t)=［x1(t)，x2(t)，…，xk(t)］由l個滿足獨立性的未知非高斯性源信號s(t)=［s1(t)，s2(t)，…，sl(t)］線性混合而成(l個信號源中至多有一個高斯性信號)，即:

則ICA方法在混合矩陣A和源信號向量s(t)均未知的條件下，求一個矩陣W，使得W對混合信號x(t)的線性變換:

對源信號s(t)或其某些分量的一個可靠估計。式中W稱為分離矩陣，C稱為全局矩陣或者混合-分離矩陣。

由中心極限定理知，獨立隨機變量之和的分布較任何一個原隨機變量更接近于高斯分布。因此，非高斯性是ICA估計的基礎。由信息理論，在所有方差相同的隨機變量中，高斯變量具有最大的熵，即，高斯變量是最隨機的。因此可用負熵度量非高斯性。負熵定義為:

負熵總是非負的，當且僅當y具有高斯分布時，負熵為零。對于可逆的線性變換，負熵也為不變量。最大化(3)式會產生一個獨立成分，即著名的One-Unit ICA算法［7］。采用負熵度量非高斯性所遇到的問題使其計算非常困難，按定義估計負熵需估計概率密度函數，常用某些近似方法［8］。此種方法是將高階矩陣近似地加以廣義化，即:

其中:ρ為正常數，v為零均值單位方差的高斯變量，G(·)為非二次函數。已經證明下列形式是有用的:

式中:1≤a1≤2，常取作1。然后利用下面的定點迭代算法:

式中g是G的導數。α可用近似牛頓迭代方法搜索。

1.2 約束獨立成分分析(cICA)

One-Unit ICA方法理論上收斂于負熵的最大值。因此提取的獨立成分是混合信號中非高斯性最大的那個。如果想提取某個特定的獨立成分，除非該成分恰好就是非高斯性最大的那個，否則one-unit ICA方法就會失效。如果在One-Unit ICA的收斂算法中加上一個約束條件，當該約束條件包含了感興趣信號的特征時，算法就會收斂于需要的獨立成分［9］。假設該約束條件可以表示成參考信號r(t)。定義待提取的獨立成分y和參考信號r(t)的距離函數為 ε(y，r)。ε(y，r)可用均方誤差ε(y，r)=E{(y-r)2}度量，也可用相關函數ε(y，r)=-E{yr}度量。則有以下不等式:

其中:w*是欲抽取的獨立成分對應的最優解混向量，wi(i=1，2，…，l-1)是其它獨立成分對應的解混向量。則下述的約束函數有且只有在y=w*Tx時為真:

式中:J(y)為式(4)中描述的one-unit對照函數;g(y)是約束函數;h(y)和h(r)是分別約束輸出的獨立成分y和參考信號具有單位方差。式(10)實際上是一個約束優化問題，可通過拉格朗日乘數法求解。

1.3 參考信號的建立

約束獨立成分分析方法中的參考信號應該滿足兩個要求:① 反映待提取信號的特征。該要求為獨立成分分析方法中參考信號存在的根本原因。即，參考信號要包含應用對象的先驗信息。此處僅需要參考信號反映待提取信號的特征，非待提取信號本身。該特性對建立參考信號具有重要的指導意義。② 參考信號是非高斯性信號或者可以轉換為非高斯性信號。約束獨立成分算法以獨立成分分析算法為基礎。而獨立成分分析以數據的非高斯為基礎，對照函數非高斯性(負熵)最大化求解。約束條件(參考信號)的加入只是改變并且能夠改變算法的收斂方向。因此，約束條件要能夠轉化為以非高斯性(負熵)為因子(自變量)的等式或不等式影響算法的收斂。

在機械故障診斷領域，有些先驗知識為已知的，如齒輪的嚙合頻率，滾動軸承的特征頻率等。這些都可以作為約束獨立成分分析(cICA)的約束條件。約束獨立成分分析中的參考信號不必和感興趣的信號完全相同，也沒有必要完全相同，否則cICA方法就失去了意義。在機械故障診斷中，故障往往表現為一系列有規律的沖擊。比如，工況穩定時滾動軸承的故障表現為頻率恒定的沖擊序列。因此可以把沖擊的周期作為約束條件，使cICA算法收斂于故障信號，即將感興趣信號對應的參考信號處置為單位方波而其它的區域置為零。

可以看出，這種參考信號建立方法由于其包含了被提取信號的周期，滿足參考信號建立的第一個要求。又因為它是一列方波序列。該參考信號為非高斯性信號，滿足約束獨立成分分析對參考信號要求的第二個條件。這種建立參考信號的方法稱為脈沖法。此方法本質上是一種時域形狀特征約束，已經在醫學工程特別是腦電圖(ECG)、腦磁圖(EEG)中有比較成功的應用［11-13］。James等［14］已經指出:參考信號的形狀應盡可能與被抽取信號一致，或者每個方波的初相位應該與被抽取信號的初相位一致。例如，在機械故障診斷中，如果要設計一個方波脈沖序列作參考信號，欲抽取一個50 Hz的旋轉頻率，只需要在用相關函數度量的情況下，每(1/50)s/(1/2 000)s=40個抽樣點要有一個波峰相關(這里抽樣頻率假設為2 000 Hz)。至于cICA算法中的閾值參數選擇問題，已有比較詳盡的討論［11-15］，此處不再贅述。

2 計算機仿真及分析

計算機仿真的目的是用cICA方法從合成的混合信號中抽取出故障信號。圖1是源信號的時域波形。源信號s1是一個鋸齒波。源信號s2是一內圈故障的滾動軸承信號，來自Randall［16］的故障軸承模型。它綜合考慮了滾動軸承的結構形狀、公差、幅調、滑移和表面破壞的因素。該模型在文獻［16-18］中已成功應用。s3是一個高斯白噪聲信號。隨機產生一個混合矩陣A，上述三個信號按式(1)混合。圖2為可觀測的3個混合信號的時域波形。

實際工作中滾動軸承型號與轉速是已知的，因此其特征頻率可通過公式計算或查表法獲得［19］。現產生一方波序列，使其周期等于模擬故障軸承的特征頻率，并以此為參考信號。用均方誤差作為參考信號和提取信號的相似性測度。圖3(a)為一個周期等于滾動軸承內圈通過周期的方波序列，并以此為參考信號，圖3(b)為對應的提取信號y的時域波形。

為更清楚地分析已提取出的信號，對抽取出的信號做包絡譜分析。圖4為圖3(b)中信號y的包絡頻譜圖，從圖4看出，在118.3 Hz處的兩邊等間距(16.67 Hz)地分布著100 Hz與135 Hz。這是內圈故障頻率被轉頻調制的典型特征。因此，利用cICA方法正確地提取出了故障信號。

圖5是混合信號x1(相當于一路傳感器信號，這里假設為傳感器1)和提取信號的包絡頻譜比較圖。從圖5中看出，提取信號的包絡頻譜僅包含了故障信號的信息，而傳感器1的包絡頻譜圖中故障信號的頻譜不明顯，并且包含了其它一些頻率成分。這表明，約束獨立成分分析由于僅僅提取了感興趣的故障信號，因此它的包絡頻譜比傳感器信號的包絡頻譜更加“干凈”和清楚。

如果用不正確的參考信號作為約束條件。例如使參考信號的頻率f=0.3fp(fp是滾動軸承的內圈通過頻率)。圖6是利用cICA方法的抽取結果。結果顯示:此時沒有抽取出正確的故障信號。反復的實驗表明，只有正確的參考信號才能提取出感興趣的故障信號，不正確的參考信號無法提取出故障信號。

圖6 不正確的參考信號和提取信號y的時域波形以及y的包絡頻譜Fig.6 Time waveforms of the improper reference signal and the extracted signal y，and the corresponding envelope-spectrum graph of the extracted signal y

3 滾動軸承實驗及分析

實驗數據來自上海交通大學機械系統與振動國家重點實驗室。滾動軸承振動測試臺和傳感器布置如圖7所示。該試驗臺由交流電機驅動，通過聯軸器帶動轉子運轉。在測試過程中，滾動軸承的外圈固定在實驗臺架上，內圈隨工作軸同步轉動。試驗軸承型號為GB6203，內圈用電火花加工方法加工一弧長×長×寬=0.5×0.5×4(單位:mm)的故障。軸承試件如圖8所示。工作軸的轉速為720 r/min，經查表計算，軸承的內圈特征頻率為59.4 Hz。四個傳聲器的位置如圖8所示。信號采集系統用丹麥 B.K公司的 PULSE 6530C，采樣頻率為66 kHz。

四個傳聲器測得的聲信號為可觀測的混合信號。假設在故障診斷中希望從傳感器信號中判斷滾動軸承是否發生故障。為使用約束獨立成分分析方法，與前面仿真相同，一個頻率等于滾動軸承內圈通過頻率(fip=59.4 Hz)的方波序列作為參考信號，算法的輸出結果示于圖9中。從抽取信號y的包絡頻譜可以看出，內圈故障頻率(60.01 Hz)被轉頻(12.06 Hz)所調制。這表明，故障信號被正確地提取出來了。

如果約束條件使用了不正確的參考信號，例如，使參考信號的周期等于滾動軸承內圈故障周期的0.15倍。則可得cICA算法的輸出如圖10所示。從圖10的包絡頻譜圖中看出，此時軸承的內圈故障信號并沒有被提取出來。這表明，不正確的參考信號無法提取出正確的故障信號。這是因為約束條件(參考信號)中沒有包含感興趣信號的特征所致。

4 結論

本文研究了約束獨立成分分析方法及其在滾動軸承故障診斷中的應用。綜上所述，結論如下:

(1)約束獨立成分分析中的參考信號只需要反映被提取信號的特征即可，不必要與被提取信號完全相同。

(2)只有正確的參考信號(反映故障信號的特征)才能提取出需要的故障信號;反之則不能。

(3)仿真表明，高斯性噪音信號在約束獨立成分分析中不影響故障信號的提取。

(4)通過約束獨立成分分析方法提取出的信號包絡頻譜比傳感器信號的包絡頻譜更加“干凈”和清楚。

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