基于統計方法的NOPD耗能機理定量分析

崔致遠，吳九匯，陳花玲，李滌塵

(西安交通大學 機械工程學院，西安 710049)

非阻塞性微顆粒阻尼(NOPD)技術又稱粉體阻尼技術，是一種近些年發展起來的新型阻尼減振技術。它是在結構振動傳輸路徑上，加工一定數量的孔洞，在其中填充適當數量的金屬或非金屬球形顆粒(顆粒直徑范圍為0.005～0.5 mm)。隨著結構體的振動，粉體顆粒之間不斷撞擊和摩擦，不但有動量交換，而且能夠消耗系統的振動能，達到減振的目的。NOPD具有很多優點，比如:對原系統改動很小、幾乎不產生附加質量、顯著提高結構的阻尼比、能適用于惡劣環境、減振性能不會隨時間降低等，具有廣泛的應用前景［1－4］。

針對 NOPD的研究，此前多處于實驗分析階段［5－6］。隨著顆粒物質力學的發展，散體單元法(DEM)也已開始應用于NOPD的減振機理研究;基于內時理論的研究也有人涉及。散體單元法(DEM)是一種不連續數值方法模型，其優點在于能夠考慮散體中實際顆粒的組成結構，并能根據靜力學或動力學原理研究單個顆粒及其總和的性質，適用于模擬離散顆粒組合體在準靜態或動態條件下的變形過程［7－9］。文獻［10－11］結合NOPD的結構特點，構造了一種球體元模型，認為NOPD的耗能機理分為2種:一種為沖擊耗能，另一種為摩擦耗能。影響沖擊耗能的主要因素為彈性恢復系數，影響摩擦耗能的主要因素為摩擦系數和法向作用力。文獻通過計算機仿真得到NOPD阻尼機理的一般性結論，初步分析了顆粒填充率、顆粒大小等因素對能量耗散的影響。文獻［12］也由DEM理論出發，應用牛頓第二定律建立了單個顆粒的運動方程，提出了可由4個彈簧阻尼器和3個摩擦阻尼器代表的顆粒間的接觸簡化模型，根據赫茲接觸理論分析顆粒與顆粒及顆粒與結構之間的接觸關系，同時采用“盒式”計算的基本思想，簡化了顆粒間接觸判別算法，該方法在計算顆粒數較大的問題時，可節省大量計算時間。在上述理論指導下得出的計算機仿真結果顯示:系統響應隨著質量比的增加而減小，也隨著顆粒材料密度的增大而減小，與實驗結果具有較好的一致性。但是，當NOPD結構的微顆粒數目較多(超過1萬粒)，或者NOPD的結構較為復雜時，該模型的計算效率及精度顯得不令人滿意。

內蘊時間理論(簡稱內時理論)由Valanis等［13］提出，并用于描述耗散材料粘塑性過程的理論，內時理論是通過對由內變量表征的材料內部組織結構不可逆變化所滿足的熱力學約束條件的研究，得到內變量變化所必須滿足的規律，從而給出具體材料在具體條件下一條特定的不可逆熱力學變量的演變路徑。文獻［14］應用內時理論分析NOPD的結構響應，確定了材料的內時本構特性，建立起散粒體的增量型內時本構方程，并基于此給出了NOPD結構的有限元動力方程，并用New mark方法對動力方程進行了數值計算，結論認為NOPD阻尼對振幅較大結構的薄弱模態有較好的減振效果，計算結果與實驗結果具有較好的一致性。應用上述方法建立的NOPD模型，雖與實驗數據有較好的一致性，也具有一定的工程指導意義，但上述研究并未得出NOPD能量耗散的定量規律，顆粒直徑、材料密度及顆粒流體積比(顆粒體積/孔洞體積)對能量耗散率的具體影響依然不清楚。

顆粒物質理論中，將顆粒流分為彈性流(彈性準靜態顆粒流)和慣性流(慣性碰撞顆粒流)，其研究對象為處于相對簡單運動狀態的顆粒流。NOPD中顆粒的運動包含了擠壓、相對滑動、碰撞等，顯然運動形式更為復雜，簡單彈性流及慣性流的知識并不能直接應用到NOPD。本文借鑒了湍流的統計處理方法，從研究顆粒之間的能量耗散出發，以NOPD顆粒群整體作為研究對象，建立了顆粒流運動方程及能量方程，得到了NOPD單位質量、單位時間的能量耗散率與顆粒大小及顆粒流體積比等參數的相互關系，所得理論結果與已有實驗數據具有良好的一致性。

1 NOPD振動模型的統計處理

本節基于湍流的耗能統計模型，根據顆粒流類流體性質，從顆粒流一般本構關系出發，借鑒局部各向同性湍流的耗能模型，得到了NOPD能量耗散率及能譜密度的表達式。

流體中，當雷諾數超過某臨界值時，層流變得不穩定，并開始向湍流過渡。湍流場中，湍動量及湍動能在雷諾應力作用下由均流傳遞到大渦，再由大渦逐級傳遞到小渦，最終在小渦中由于粘性作用耗散為熱。Kolmogorov［15］由此不僅提出局部各向同性的概念，還提出速度場結構函數D(r)的概念來描述該類湍流速度起伏強度的統計特征，并提出兩個著名假設:① 湍流能量傳遞過程中，能量耗散率ε與運動粘性系數ν是決定能量傳遞的兩個特征量，并通過無因次分析可確定湍流場的特征長度η和特征速度V;② 在慣性副區(r?η，r為湍流場中任意兩點間的距離，η為湍流特征尺寸)，湍流場的縱向速度關聯函數與運動粘性系數ν無關。

處于靜止或低速運動狀態下的顆粒流，各顆粒間相對運動不明顯，可認為各點處的速度近似等于一平均速度，表現出與一般流體相似的性質(類流體性)。而NOPD處于工作狀態時，其顆粒流在外界振動激勵下，各顆粒間發生明顯的相對運動，顆粒流內部發生對流［16］，隨激振頻率的增高，對流現象越明顯，不同速度的顆粒之間發生相互擠壓、摩擦、碰撞，部分顆粒將不再跟隨顆粒流整體一起運動，顆粒的運動狀態較運動初期顯得混亂無序，當NOPD達到工作平衡狀態時，以近似平均速度運動的顆粒流將被具有不同速度的顆粒取代，大量顆粒在振動激勵下以各自速度往復運動，呈現出一定的周期性。顆粒對流運動實際上是具有相同運動速度的顆粒組成的“相關層”之間有規則的剪切運動［17］，顆粒流內的動量傳遞便是由剪切運動導致的速度波動引起［18］。Taguchi［19－20］曾用顆粒湍流模型，用數值模擬方法研究湍流，其研究結果顯示:當振動強度超過某個臨界值時，顆粒發生流化，出現與完全發展的湍流類似的渦結構，并且，顆粒流中的能譜密度存在與湍流中類似的規律(即kolmogorov用于描述局部各向同性湍流的－5/3定律)。由此，振動顆粒流可看作局部各向同性。所以，本文中將采用湍流局部各向同性模型描述振動顆粒流。

顆粒流動的一般本構關系由文獻［23］用連續介質力學中一般方法得到:

其中，C為顆粒間粘滯力，φ0為顆粒材料靜止內摩擦角，p為接觸壓力，d為顆粒粒徑，ρs為顆粒密度，D為變形速度張量，I為張量D的不變量，kτ，kp，為與顆粒體積比ψ、顆粒流發生剪切變形的臨界體積比以及顆粒彈性恢復系數有關的應力系數，J2’=1/2trD2，kτ1=kp1tanφ1，kτ2=kp2tanφ2，φ1，φ2分別定義為滑動摩擦角和碰撞摩擦角。NOPD顆粒間存在法向粘滯力及切向摩擦力，但法向粘滯力的影響較小，一般不予考慮(C=0)，由于顆粒對流實際上是有規則的簡單剪切運動，即為簡單剪切流V1=U(y)，V2=V3=0，本構方程可簡化為:

其中速度梯度(dU/dy)零次項由顆粒之間靜態支撐作用引起;速度梯度線性項由顆粒之間的相對滑動和擠壓作用引起，該項可被看作耗散項，顆粒間通過相互擠壓、摩擦耗散外界能量，因此與能量耗散有關的參數為速度梯度線性項系數kp1ρsd3/2g1/2與kτ1ρsd3/2g1/2，其中kp1，kτ1為無因次量;速度梯度二次項是由顆粒間的碰撞和擴散作用引起，該項為對流擴散項，其作用是使能量在顆粒間重新分配，并不改變能量總和。

令ν=d3/2g1/2，并引入表征顆粒流特征參數:特征速度u與特征尺度η，通過無因次分析得到由ε與ν表示的特征參數表達式:

當兩點速度與其連線同向時，用Bdd(r)表示該兩點的速度關聯函數，稱為縱向關聯函數。依據相似假設，在局部各向同性區域內，Bdd(r)與等效運動粘性系數 ν 無關［15，24］，得到:

其中，βdd為(r/η)的普適函數，C1為常數，由實驗確定。

能譜密度也有類似定律，在振動強度較高的情況下有:

由式(4)、式(5)可發現，NOPD能量耗散率及能譜密度的表達式形式與湍流理論中Kolmogorov假設的相關結論一致，將通過實驗數據分析驗證該結論。

2 NOPD顆粒流的能量關系

從N－S方程出發，結合顆粒流一般本構關系，建立適應顆粒流動量守恒方程(廣義N－S方程)及能量守恒方程，分析NOPD工作狀態下的能量轉移、分布及耗散等狀態間的關系。

確定偏應力時，顆粒流一般本構關系中的速度梯度零次項是不重要的［25］，由無粘條件，可將本構關系式(1)寫為:

將式(6)代入N－S方程，令:

可得到不可壓縮條件下顆粒流的動量守恒方程(廣義N－S方程)和連續方程:

考慮連續方程，整理(9)式右邊第一項，得:

其中Ⅰ項為脈動運動中粘性切力做的功，即脈動速度產生的動能平均輸送項，表示脈動對平均流的影響;Ⅱ項為脈動運動中的能量耗損項，用ε表示。

3 NOPD顆粒流的能量關系數據分析

根據以上文中得到的NOPD能量耗散率表達式，結合已有實驗數據，畫出能量耗散率ε隨顆粒流體積比及顆粒大小等因素的變化曲線，將所得能量耗散率的變化規律與已有的相關結果進行對比。處于湍動平衡狀態的顆粒流，雖然整體上并不處于簡單剪切流狀態，但可認為其中某小部分顆粒群處于簡單剪切運動狀態。由無粘條件及簡單剪切流假設，公式(10)中Ⅱ項(能量耗散率ε)可表示如下:

圖1 三種不同顆粒直徑(d)的顆粒流在du/dy=100 s－1時，能量耗散率 ε隨顆粒體積比ψv的變化曲線Fig.1 Mean energy dissipation(ε)curve(log － log)for different values of volume ratio(ψv)，when d=1.8mm，d=1.1mm，d=0.5mm;du/dy=100 s－1.

圖2 三種不同體積比(ψv)顆粒流在du/dy=100 s－1時，能量耗散率ε隨顆粒直徑d的變化曲線Fig.2 Mean energy dissipation(ε)curve for different values of particle diameter(d)，when ψv=0.56，ψv=0.54，ψv=0.49，du/dy=100 s－1.

由圖1可見，在相同顆粒大小、相同速度梯度情況下，顆粒流體積比越高顆粒間發生的碰撞及摩擦越多，從而使NOPD的能量耗散率隨體積比的增加而平滑上漲;當顆粒流體積比超過60%時，NOPD的能量耗散率迅速增加，并趨于其最大值。在研究顆粒流體積比對NOPD阻尼效果影響的文獻中，也有相同的變化規律，即振動的耗散時間在顆粒流體積比超過60%時急劇減少，并趨于其最小值［27］。圖 2為在相同體積比時，NOPD的能量耗散率隨顆粒尺寸的增大而增加，體積比較高時，顆粒尺寸的增加會導致更加顯著的能量耗散率的變化。此前的研究結果也證實了該變化規律的正確性［6］。上述對比證明了利用湍流耗能模型分析NOPD耗能問題的可行性和正確性。

圖3所示，能譜密度E與頻率f的變化成反比。當振動強度較高時，顆粒間才會發生對流現象，此時顆粒相關層中的剪切運動比較低振動強度時更劇烈，從而導致更多的能量耗散。該現象與湍流由慣性區向耗能區的轉變過程極為相似。

圖3 ψv=0.56，d=1.1 mm 的干顆粒流，能譜密度E隨頻率f的變化曲線Fig.3 Energy spectral density(E)curve for different values of frequency(f)，when d=1.1mm，ψv=0.56.

4 結論

本文提出了一個分析NOPD能量耗散機理的定量模型，并得到了滿意的理論結果，結論表明:顆粒直徑越大、顆粒流體積比越高，NOPD的能量耗散率就越高;相同能量耗散率情況下，能譜密度隨著波數的增加而降低。能量耗散率的分析結果與參考文獻中的實驗數據有較好的一致性，說明湍流耗能模型對NOPD的耗能過程具有適用性。

該理論模型能更好的適應大量的顆粒及復雜結構條件下NOPD的耗能分析，對工程應用有一定的指導作用。該模型的建立，為更精確地分析NOPD耗能機理以及更好地指導工程應用開辟了一條新的思路。

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