Kalman濾波和EM算法對M-to-M信道的參數估計

李新年

（伊犁師范學院 文理系，新疆 奎屯 833200）

Kalman濾波和EM算法對M-to-M信道的參數估計

李新年

（伊犁師范學院 文理系，新疆 奎屯 833200）

本文將在隨機微分方程(S D E)建立的M-t o-M狀態空間模型基礎上，通過對該線性模型進行離散化，然后利用離散K a l m a n濾波對其狀態空間進行估計，最后，再利用基于濾波的E M算法對該離散空間模型參數進行估計.

EM算法；Kalman濾波；M-to-M;隨機微分方程

1 M-to-M隨機狀態空間模型

對于M-t o-M信道，有很多種隨機形式可用于同相和正交分量所得到的狀態空間表達式，具體選擇主要取決于實際應用.由此我們將選擇更為一般的線性狀態空間模型，通常隨機狀態空間表達式為:

其中：X(t)=[XI(t)TXQ(t)T]T

其中y(t)為信號的觀測值，X(t)為可變的同相和正交分量，v(t)為連續時間下的觀測噪聲.

2 M-to-M信道模型的離散化

下面將利用E M算法和K a l m a n濾波器，通過估計M-t o-M信道模型參數和狀態來描述整個過程.下面我們對模型進行離散化[6]:

下標k屬于序集{0,1,…},xk∈R2n為離散時間狀態限量，yk∈R1為離散時間觀測向量，ωk∈R2為離散時間時間狀態噪聲，vk∈R2為離散時間觀測噪聲，Ak=Φ(tk+1,tk)，其中Φ(t,t0)為(25)式的基本矩陣，

噪聲過程ωk和vk假定為獨立零均值和單位方差的高斯過程.

系統參數θk={Ak,Bk,Ck,Dk}和狀態是未知的，但可以利用基于濾波的E M算法，從獲得的觀測信號YN={y1,y2,…,yN}數據估計出來確定參數，再利用K a l m a n濾波器估計出信道狀態.

3 信道參數的確定

基于濾波的E M算法通過一組K a l m a n濾波器獲得高斯狀態空間模型的一個極大似然參數估計(簡稱M L E),令θk= {Ak,Bk,Ck,Dk}表示(3)中的系統參數，{Pθ：θk∈Θ}表示由系統參

k數θk誘導的一組概率測度，其中Θ為θk所在的參數空間R2n×2n×R2n×2×R2n×R2.E M算法由已知的數據Yk計算系統參數θk的M L估計，E步由所給完全數據來估計對數似然函數的條件期望

其中θk表示在時間k時估計的系統參數，極大化后發現：

求期望和對其進行極大化，一直這樣進行下去，模型參數序列收斂到實際參數.E M算法描述如下：

其中E（·）表示期望算子.(6)式為模型(3)中的每一次迭代都給出了E M參數估計，而且，因為)在θk和是連續的，在似然曲面上E M算法收斂到一個駐點，從而參數可以通過條件期望計算出來[6]：

ei為歐幾里得空間中的單位向量，例如考慮2 n=2時：

估計得出：

其中T r（·）為矩陣的跡，在(9)式中r(1)i和N(1)i滿足下列遞歸式：

4 結論

系統參數θk={Ak,Bk,Ck,Dk}用E M算法進行估計，即可估計出M-t o-M隨機狀態空間模型系統參數.由于K a l m a n濾波器和E M算法均可由計算機編程實現，因而接下來工作將通過實驗模擬現實場景，通過實驗比對來驗證K a l m a n濾波器和E M算法對M-t o-M隨機狀態空間模型系統參數估計，這將是一個非常有意義的工作.

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O 241.8

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1673-260 X（2012）09-0019-03本文將在隨機微分方程(S D E)建立的M-t o-M狀態空間模型基礎上，通過對該線性模型進行離散化，然后利用離散K a l m a n濾波對其狀態空間進行估計，最后，再利用基于濾波的E M算法對該離散空間模型參數進行估計.