極坐標(biāo)系下二重積分計(jì)算的參數(shù)范圍的確定

曹兆龍

（鹽城工學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，江蘇 鹽城 224002）

極坐標(biāo)系下二重積分計(jì)算的參數(shù)范圍的確定

曹兆龍

（鹽城工學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，江蘇 鹽城 224002）

本文探討了二重積分在極坐標(biāo)系下的計(jì)算過(guò)程中參數(shù)范圍如何確定的問(wèn)題，并用例題進(jìn)行了說(shuō)明.關(guān)鍵詞：二重積分；極坐標(biāo)；劃線法

常見(jiàn)的二重積分的計(jì)算方法主要是在直角坐標(biāo)系或在極坐標(biāo)系下將二重積分化為二次積分，但在極坐標(biāo)系下將二重積分化為二次積分，經(jīng)常以一些單位圓，或標(biāo)準(zhǔn)圓為例題進(jìn)行講解，導(dǎo)致部分同學(xué)對(duì)一些運(yùn)用極坐標(biāo)系下計(jì)算的習(xí)題積分限的確定難以把握.本人在教學(xué)實(shí)踐中，運(yùn)用劃線的方法，幫助同學(xué)正確的確定積分的上下限.劃線法主要是針對(duì)內(nèi)層積分，在極坐標(biāo)系下，規(guī)定從極點(diǎn)向外劃線，先于積分區(qū)域邊界相交的為積分下限，后與積分區(qū)域邊界相交的為積分上限.

當(dāng)二重積分出現(xiàn)以下兩種情況（1）積分區(qū)域用極坐標(biāo)表示比較簡(jiǎn)單時(shí)或（2）被積函數(shù)用極坐標(biāo)表示比較簡(jiǎn)單時(shí)，我們需要考慮采用極坐標(biāo)來(lái)計(jì)算二重積分.直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化到極坐標(biāo)下來(lái)計(jì)算，要注意三個(gè)轉(zhuǎn)換：一是被積函數(shù)的轉(zhuǎn)換，這個(gè)問(wèn)題只要將x=ρc o s θ,y=ρs i n θ代入原來(lái)的被積函數(shù)f(x,y)即可；二是面積元素的轉(zhuǎn)換，這只要將d σ或d x d y換成ρd ρd θ就可以了；三是直角坐標(biāo)系下積分限的轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)系下的積分限，這個(gè)是最難的，我們這篇文章主要是通過(guò)一些不典型的習(xí)題幫助同學(xué)學(xué)會(huì)如何正確地確定極坐標(biāo)系下的積分限.

先回顧一下二重積分在極坐標(biāo)下先對(duì)ρ后對(duì)θ，是如何確定積分的上下限的.

圖1

先確定θ的變化范圍，即看積分區(qū)域D被哪兩條從極點(diǎn)O發(fā)出的射線夾住，我們就以小的作為θ的積分下限，大的作為θ的積分上限.如圖1中的積分區(qū)域D被射線θ=α，θ=β夾住，故α≤θ≤β.

然后開(kāi)始用劃線法幫助確定ρ的范圍（一般可以用θ的函數(shù)表示）.用任意的φ∈[α,β]，將φ固定，從極點(diǎn)作該極角，從極點(diǎn)O引出的另一條射線穿過(guò)積分區(qū)域，只允許該射線與積分區(qū)域至多有兩個(gè)交點(diǎn)（若交點(diǎn)多于兩個(gè)，則積分區(qū)域需要分割），觀察：與積分區(qū)域先交的交點(diǎn)落在哪一條曲線上，則該曲線作為ρ的積分下限，與積分區(qū)域后交的交點(diǎn)落在哪一條曲線上，則該曲線作為ρ的積分上限.這樣我們就可以將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)系下的二次積分.如圖1中的積分區(qū)域D首先與邊界曲線ρ=φ1(θ)相交，然后與邊界曲線ρ=φ2(θ)相交，故φ1(θ)≤ρ≤φ2(θ).

下面舉例說(shuō)明：

思路探索：被積函數(shù)含有x2+y2，積分區(qū)域D也與圓或圓弧有關(guān)，故想到可以利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分.

解 積分區(qū)域D如圖2所示，利用劃線法幫助確定積分的限.首先，我們從積分區(qū)域的函數(shù)表達(dá)式和圖形可以得出參數(shù)θ的范圍，然后我們從極點(diǎn)O作一些射線，發(fā)現(xiàn)從極點(diǎn)發(fā)出的射線與積分區(qū)域先相交交點(diǎn)始終就是極點(diǎn)本身，而后相交的一個(gè)交點(diǎn)則落在圓(a>0)上，利用

圖2

極坐標(biāo)，D可以表示為

例2求由曲面x2+y2=2 a x,a z=x2+y2(a>0)及平面z=0所圍成立體的體積.

思路探索：由題意可知，所求立體的體積為一曲頂柱體的體積，可用二重積分計(jì)算，關(guān)鍵是要確定柱體的曲頂以及坐標(biāo)平面的投影區(qū)域.

解 x2+y2=2 a x是一母線平行于z軸的圓柱面，顧可知所圍立體是一曲頂柱體，其頂為拋物面z=(x2+y2).立體在x O y面上的投影區(qū)域Dxy為：x2+y2≤2 a x.如圖3所示.

我們首先可以確定參數(shù)θ的范圍，然后用劃線法確定參數(shù)r的范圍，發(fā)現(xiàn)從極點(diǎn)發(fā)出的射線與積分區(qū)域先相交的交點(diǎn)始終就是極點(diǎn)本身，而后相交的交點(diǎn)則落在圓x2+y2=2 a x上，將該圓方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.故極坐標(biāo)系下積分區(qū)域表示為：

圖3

〔1〕同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2002.86-90.

〔2〕彭輝.高等數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)[M].北京:新華出版社,2008.552.

O 172.2

A

1673-260 X（2012）09-0013-02