坐標變換在求空間閉體體積中的應用

2012-08-28 01:41:16貴州省凱里學院附屬中學吳秀吉王祖美

中學數學雜志 2012年15期

☉貴州省凱里學院附屬中學吳秀吉王祖美

坐標變換在求空間閉體體積中的應用

☉貴州省凱里學院附屬中學吳秀吉王祖美

在高中數學的學習中，我們已經學習過長方體，正方體，棱柱，棱錐，圓柱，圓錐等，要求它們的體積我們只要知道它們的底面積和高并代入已有公式就很容易求得.對于底面面積比較難求這一類閉體，沒有一般的公式和方法.本文以平面截球所得截面是圓，球心與圓心的連線垂直于截面為基礎，利用坐標伸縮變換為橋梁對此問題進行研究并得出結果.

一、下面給出文［1］中3個命題，并就命題1，2給出證明過程

命題2［1］：在平面內，夾在兩平行直線間的兩個平面圖形，被平行于這兩條直線的任意直線所截，如果截得一個圖形的線段長總是另一個圖形線段長的k倍，那么這個圖形的面積是另一個圖形面積的k倍.

證明：設夾在兩平行線l1，l2的封閉曲線C，C′，且垂直于l1，l2的垂線段長為b，現將［0，b］內任意插入（n－1）個點：x1，x2，…，xn－1.為了便于書寫，令x0=0，xn=b，使

此分法表示為T.此分法將［0，b］分成n個小區間：

第k個小區間［xk－1，xk］的長為Δxk=xk－xk－1.第k個小區間［xk－1，xk］上任取一點ξk（xk－1≤ξk≤xk）.以ξk所在的線段長為f（ξk），則以f（ξk）為長以Δxk為寬的矩形面積f（ξk）Δxk應是“第k個小曲邊梯形的面積”ΔAk的近似值，即ΔAk≈f（ξk）Δxk，其中（k=1，2，…，n）.顯然，當Δxk越小，其近似程度越好.將n個矩形的面積加起來，應該是“封閉曲線C所圍成面積”的近似值，即