“以退求進”的教學思考

☉安徽省六安第一中學 陸學政

☉安徽省六安第一中學 謝貽海

“以退求進”的教學思考

☉安徽省六安第一中學 陸學政

☉安徽省六安第一中學 謝貽海

陸學政：中學數學高級教師（2002年破格），安徽省特級教師（2012年元月），安徽省中學數學教學專業委員會理事，六安市學科帶頭人，2000年獲安徽省高中數學優質課比賽一等獎（第二名）及全國二等獎，2001年獲安徽省第二屆教壇新星評比高中數學第一名，獲安徽省“教壇新星”稱號，2009年獲六安市“模范教師”稱號，近幾年在CN刊物發表論文20篇.

笛卡兒說，遇到任何一個“真理”都不能輕易接受，除非它可以分解為許多個小的、令我深信無疑的事實；波利亞說，如果我們想不起別的，可以試驗這個不熟悉的論斷的某個特例.這其中都蘊涵著一個重要的思維策略：以退求進.華羅庚教授更是明確指出，善于“退”，足夠地“退”，退到最原始而不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅.

從哲學的角度，“以退求進”的策略體現了特殊與一般、偶然與必然、個性與共性、具體與抽象、現象與本質的辯證統一.陌生的、抽象的、復雜的、一般性的問題，往往都包含著某些熟悉的、具體的、簡單的、特殊性的成分，而對這些成分的分析往往容易得多，同時它們也具有一定的代表性、啟示性.因此，通過科學地“退”，通過分析這些具有代表性的事例，從中尋求規律與聯系，進而找到原問題的解決途徑，是數學學習中經常采用的方法.

關于“退”的策略很多，如：由復雜退到簡單、由一般退到特殊、由正面退到反面、由高維退到低維、由動退到靜、由不等退到等，由果退到因，等等，這里不再贅述.筆者認為，比“退”的策略更重要的是，教師在教學中如何自如地利用“退”，如何有效地引導學生“退”，如何最終實現使學生學會“退”.以下談談筆者對這些問題的初步思考.

一、理解數學，理解學生，才能自如“用退”

“以退求進”，不僅是一種解題策略，而且也是一種教學策略.從數學學科的角度，數學具有高度的抽象性，因此學生對數學問題的理解與掌握往往不可能一蹴而就；從現代認知心理學的角度，數學思維過程是一種信息加工過程，一般需要經歷觀察與實驗、歸納與演繹、比較與分類、分析與綜合、抽象與概括等幾個環節，才能到達思維的終點；從學生年齡特征的角度，中學生思維水平的發展需要經歷從具體形象思維到以經驗型為主的抽象邏輯思維，再到以理論型為主的抽象邏輯思維的過程，這是一個不斷積累、緩慢提高的過程.這些因素都要求教師在教學中必須自如地“用退”.

如何才能自如地“用退”？關鍵是教師自身要先“退”，善“退”，“退”到問題的起點，退到學生的現有認知水平.這就要求教師理解數學，理解學生.教師要能用“退”的眼光審視數學問題，準確把握數學問題的來龍去脈、深刻理解數學問題的實質，只有教師自己對數學的內容、思想、方法有較高水平的理解，才可能在教學中自覺地把數學的精神傳達給學生，才能為學生學習過程中的“再發現”創造條件；教師要能用“退”的眼光審視學生的知識能力基礎，審視學生的心理發展水平，審視學生的思維特點和過程，特別是審視學生學習中可能遇到的障礙及其成因，這樣才能明晰為什么要退，退到什么地方，進而采取合理的教學措施引導學生的數學思維活動，實現“低耗能，高回報”.

案例1 “數列與函數關系”的教學

這是“數列的概念與簡單表示法（第一課時）”的一個教學環節，也是本節課的難點.在實際教學中，經常見到教師直接引導學生分析序號與項的對應關系及特征，得出數列的函數本質.這樣的教學，缺乏學生的主動建構，實質上是一種“告訴教學”，就像“從帽子里掏出一只兔子”.究其原因，主要是教師沒有用“退”的眼光審視數列與函數的關系以及學生的認知特點.函數本身是中學數學最抽象的概念之一，而用函數的觀點理解數列則更為抽象.若總是在抽象層面思考，沒有具體的例證，數學就會變得空洞，學生的思維也需要經歷從具體到抽象的過程.那么，什么樣的具體例證能夠承載數列與函數本質上的統一呢？是數列與函數的表示方法，二者都有表格、圖像、式子等不同的表示方法，不同的表示方法又具有內在的統一性：自變量與因變量、序號與項對應關系中的存在唯一性（映射）特征，這就是教學的生長點.

有了上述理解，實施“以退為進”的教學策略也就非常自如了.

1.退——嘗試用不同的方法表示一個具體的數列

問題1：對于具體數列，僅用記號{an}并不能反映該數列的實際內涵，那么，有哪些方法可以表示呢？如數列2，4，6，8，….請同學們自己動手，嘗試用多種方法表示這個數列.

設計意圖：由于簡單、具體數列的表示具有很強的實踐性，因此學生可以自主操作.在此過程中，教師重點巡查進展情況，鼓勵學生用不同的方法表示，更重要的是對學生的表示結果及時給予恰當反饋：肯定成果、指出不足、修正錯誤.

如，有學生列表如下：

教師提醒：這里，數列的項在變化，其實還有一個量在伴隨著它而變化，你能找出來嗎？

引導學生完善表格，得到：

又如，有學生作圖如下：

教師（含而不露）：這是用圖形的方法表示數列.用數軸表示數，很好的主意！請同學們按照此法，把數列8，6，4，2，…在數軸上表示出來.

（學生動手后，馬上發現與數列2，4，6，8，…圖示的結果完全相同）

教師（及時追問）：兩個不同的數列，表示結果完全一樣，顯然不行.問題出在哪里？請同學們先獨立思考，然后相互交流一下看法，并找出解決問題的辦法.

指導學生改進圖形（項與相應的序號必須“捆綁”，因此必須利用二維坐標表示），得到：

圖1

2.進——提煉不同表示法的共性，自然聯系到函數

問題2：這三種表示法都涉及哪些量？它們之間有什么關系？這種關系有什么共同特征？你以前見過類似的情況嗎？

問題3：已知數列{an}的通項公式為an=2n－1.

①寫出該數列的首項、第4項.

②63是該數列的第幾項？

③126是否為該數列的項？為什么？

④嘗試分析這個數列的性質.

設計意圖：在問題2中，學生充分調動觀察、比較、分析、概括等各種思維方式，不斷接近問題的本質，自主感受到數列與函數的“姻親”關系，進而將函數的概念、函數的三要素進行“遷移”，得到函數與數列的共同特征和區別.然后通過問題3的具體練習，進一步加深了學生對數列的函數背景的認識與理解.

為了讓學生理解抽象的數學結論，“以退求進”，先設置一個學生熟悉的具體情境，把抽象結論寓于其中，使學生經歷一個從具體到抽象的過程，學生對數學原理的理解也就變得自然了，數學也就變得具體、形象而生動了.這正是培養學生數學思維能力的“不二法門”.

二、精心設計，激發思維，才能有效“引退”

如果說案例1中的“以進求退”對學生來說是以一種“不露痕跡”的方式進行的，那么更多的“以退求進”則是一種“明目張膽”的形式，要明確地引導學生“退”，讓學生通過“退”感受問題的背景，通過“退”揭示問題的實質，通過“退”實現問題的解決，感覺“退”帶來的變化，體驗“退”帶來的力量.這是學生學習過程中必須經歷的理解、模仿階段，也是充分體現教師教學主體作用的階段，需要教師有效“引退”.

如何才能有效地“引退”？關鍵是教師要提好的問題、精心設計教學過程，以激發學生的思維.提出的問題要反映當前學習內容的本質，要在學生思維的最近發展區內，這樣才能形成認知沖突，使學生的心理保持積極的、適度的求知傾向；教學過程必須讓學生有充分的獨立思考空間，有足夠的思維參與度.這里要注意兩點：一是“引退”的方式，若將待解決問題作為“終點”，退回去的初始狀態作為“起點”，應盡量采用“終點——起點——終點”的“引退”方式.“起點”最好不是教師主動提供的，而是學生在教師引導下的主動獲得；二是“引退”的“度”，“退”不是對思維層次的降低，不是簡單地把知識分解為一些沒有內在聯系的片段，不是忽略內涵與知識整體中的那些綜合的思想和策略，不是把高認知要求的數學任務轉化為低水平的任務，否則，“退”就失去了最根本的目的——促進學生的思維發展.

案例2 “坐標平面上兩點間距離公式”的推導

與針對“點到直線距離公式推導”的教學設計討論的“紅紅火火”相比，對“兩點間距離公式推導”的教學設計的討論則顯得異常冷清，可能覺得它很簡單，沒有多少思考的價值吧，對此筆者有不同的看法.“兩點間距離公式”的推導，體現了“一維與二維”的辯證關系及化歸思想，也是培養學生“以數示形，以形促數，數形結合”思想的較好機會，因此具有很高的教學價值.公式推導的關鍵是，如何引導學生通過探究，自主構造出以P1P2為斜邊的直角三角形.學生只學過數軸上兩點間的距離公式，這是一維的問題，而平面上兩點間距離是二維問題，一維是二維的特殊情況，二維又是一維的推廣.因此，應該將二維問題先“退”到一維的情況；同時考慮到個體的差異性，可能有的學生對數軸上兩點間的距離公式也沒有牢固掌握，于是作為教學預案，將數軸上其中一點固定為原點（對應實數0），這時，又“退”到數軸上一點到原點的距離，即實數絕對值的幾何意義，這就是公式推導的“起點”.

教學設計如下：

1.退——平面到數軸

問題1：你認為什么是平面上兩點P1，P2距離的特殊情況？

設計意圖：教師“引退”，讓學生自己思考“特例”，確定研究的起點.如果有困難，教師可適當啟發.學生可能形象地說出“P1P2是水平線段或鉛垂線段時最特殊”，這時教師引導學生利用平移將其歸結到坐標軸（x軸或y軸）上.

問題2：（1）當P1，P2是數軸上兩點的時候，設P1的坐標是x1，P2的坐標是x2，你能求出P1，P2的距離嗎？

如學生回答問題（1）有困難，教師可繼續設問（再“引退”）：

（2）你認為什么是數軸上兩點P1，P2距離的特殊情況？

（3）當P1是數軸原點的時候，你能求出P1，P2的距離嗎？進而返回解決問題（1）.

問題3：設平面上兩點P1（x1，y0），P2（x2，y0），你能求出P1，P2的距離嗎？若改為P1（x0，y1），P2（x0，y2）呢？

設計意圖：將數軸的情形遷移到與坐標軸平行（或重合）的情形，但本質并未改變（仍然是一維問題）.

2.進——數軸到平面

問題4：設平面上兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），你認為如何求出P1，P2的距離？

設計意圖：為最終解決一般情況下的平面上兩點間距離問題，引導學生利用化歸思想，在前面“退”的基礎上自行找到解決途徑（即構造以P1P2為斜邊的直角三角形）.

問題5：平面上兩點間距離公式對特殊情況也適用嗎？公式推導體現了什么樣的思考方法？

設計意圖：一方面旨在揭示公式的一般性與特殊性的關系，另一方面旨在揭示公式推導過程中蘊涵的思想方法，給學生以啟迪.

為了讓學生順利找到解題途徑，“以退為進”，引導學生考慮特殊的、具體的、簡單的情形，突出了新舊知識的聯系與轉化，使學生經歷一個從特殊到一般的過程，提高了學生的思維層次，培養了學生的思維能力.

三、指導應用，反思提升，才能實現“會退”

“引退”的目的是為了讓學生最終“會退”，因此，“引退”時問題設置的梯度應該由小逐漸變大，開放性越來越強，越來越強調學生的獨立思考，教師更多的是以指導者的身份出現，提供給學生典型素材加以訓練，指導學生及時總結，幫助學生反思提升.同時，“以退為進”的思考策略不是一朝一夕就能掌握的，教師要更多地指導學生在平時的學習中不斷嘗試，積累解題經驗，增加解題智慧，最終實現“會退”.

案例3 “共交點的直線系”的教學

教材先給出例子：求直線l1：3x+4y－2=0與直線l2：2x+y+2=0的交點坐標，然后在“探究”中提出：當λ變化時，方程3x+4y－2+λ（2x+y+2）=0表示什么圖形？圖形有何特點？

若從培養學生“會退”能力的角度出發，在符合學生認知基礎的前提下，教學設計完全可以靈活處理，以更加具有開放性的問題呈現教學過程：

給出式子：（3+2λ）x+（4+λ）y+2λ－2=0，其中實數λ在變化.

問題1：你如何理解這個式子？它是什么？

設計意圖：明確式子的“身份”，指導學生分別從數與形的角度加以理解，得出：它是一個關于x、y的二元一次方程，表示一條直線.

問題2：當實數λ變化時，直線也隨之變化，你覺得什么值得研究？如何研究？

設計意圖：這是一個較開放的問題，沒有研究的最終目標，更沒有研究的方法與途徑.學生只能靠自己原有的經驗和智慧進行思考.最終得出：研究直線的變化規律，可以先取λ的幾個特殊值，畫出相應的直線，試一試（培養學生“退”的意識）.

（在學生發現作出的幾條直線共點，進而通過解方程組解出交點坐標后）

問題3：問題解決了嗎？

設計意圖：引導學生從特殊回到一般，驗證所有這樣的直線均經過該點.

問題4：反思剛才的過程，從知識上、方法上你有哪些收獲？有沒有可以改進的地方？

問題5：還有什么值得研究的問題？

提出的問題越開放，對學生獨立思考能力、綜合思維能力的要求越高，對培養學生“會退”能力的鍛煉價值也就越大.當然，開放是相對的，問題的開放度也要量力而行，不能偏離教學的最終目標.

四、結語

教師能否自如“用退”，能否有效“引退”，學生是否“會退”，最終取決于教師的專業素養，取決于教師是否具有比較扎實的數學理論功底，取決于教師是否懂得教學方法，是否知道如何引導學生的數學學習，取決于教師能否自覺、主動地理解和把握學生的數學學習心理，并在此基礎上，研究和把握教學過程中教與學相互作用的基本規律.只有教師時刻加強專業學習，不斷提高專業水平，才能“退”得自覺，“退”得自主，“退”得自然，“退”得自如，學生才能真正感受到“退一步，海闊天空”.

1.普通高中課程標準實驗教科書（人教A版數學必修2）.北京：人民教育出版社，2011.

2.普通高中課程標準實驗教科書（人教A版數學必修5）.北京：人民教育出版社，2007.

3.曹才翰，章建躍.中學數學教學概論（第二版）.北京：北京師范大學出版社，2008.

4.曹才翰，章建躍.數學教育心理學（第二版）.北京：北京師范大學出版社，2007.

5.喻平.數學教學心理學.北京：北京師范大學出版社，2010.

6.羅增儒.數學解題學引論.西安：陜西師范大學出版社，2008.