構造函數證明函數背景下的不等式的策略

☉云南省玉溪第一中學 武增明

構造函數證明函數背景下的不等式的策略

☉云南省玉溪第一中學 武增明

縱觀近幾年高考數學試題，可以看出，在函數背景下考查不等式的證明成為一種新的命題趨勢.我們知道，證明函數背景下的不等式的通法，是構造函數法.要解決好此類問題，關鍵是要構造好相應的函數.從哪里入手，怎么構造，如何構造出適當的、合理的、可行的、易操作的函數，許多同學找不到突破口，甚至感到無所適從.下面就此問題作一些探討，同時希望能幫助同仁把握這類試題的特點及規律，進行有針對性的復習，供參考.

一、轉化為f（a）+g（a）≥f（b）+g（b）型

尋找待證不等式的等價不等式，把等價不等式轉化為f（a）+g（a）≥f（b）+g（b）型，觀察此等價不等式左右兩邊的結構，構造函數h（x）=f（x）+g（x）.

例1 （2010年高考遼寧卷·文21）已知函數

（Ⅰ）討論函數f（x）的單調性；

（Ⅱ）設a≤－2，

證明：對任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）－f（x2）|≥4|x1－x2|.

分析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）不妨設x1＞x2＞0，由（Ⅰ）知，當a≤－2時，f（x）在（0，+∞）上是減函數，所以f（x1）＜f（x2），即f（x1）－f（x2）＜0，于是|f（x1）－f（x2）|≥4|x1－x2|?f（x2）－f（x1）≥4x1－4x2?f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1.觀察此不等式左右兩邊的結構特征，就會想到構造函數g（x）=f（x）+4x，接下來的工作只需證明函數g（x）=f（x）+4x在（0，+∞）上是減函數就可以了，這時只需要證明g′（x）≤0.

限于篇幅，具體證明過程在這里不再贅述.

點評：找到待證不等式的等價不等式f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1，觀察此等價不等式左右兩邊的結構特征，就想到構造函數g（x）=f（x）+4x，然后利用導數就可以輕松獲解.這是破解此類問題行之有效的思維途徑之一.

（Ⅰ）討論函數f（x）的單調性；

解答略，留給感興趣的讀者朋友去解答.

二、轉化為f（x）≥0（≤0）型

尋找待證不等式的等價不等式，使等價不等式的一端為0，形如f（x）≥0（≤0），由此構造函數g（x）=f（x）.

例3 （2011年高考遼寧卷·理21）已知函數

點評：（1）此種方法，直接移項作差構造函數，利用導數研究函數的單調性或極值進行證明，是常用的一般方法.（2）在這里，若出現g（0）≠0，而是g（0）=m＞0，也可以.同理，若要證明g（x）＜0，而g（0）≠0或g（n）≠0，而是得到g（n）=M＜0，亦即得到g（x）＜g（n）=M＜0，也得到圓滿獲證.

例4已知函數f（x）=ex－2x+2a.

（Ⅰ）求f（x）的單調區間與極值；

（Ⅱ）求證：當a＞ln2－1，且x＞0時，ex＞x2－2ax+1.

解答略，留給感興趣的讀者朋友去解答.

三、轉化為f（x）≥g（x）型

尋找待證不等式的等價不等式，把等價不等式轉化為f（x）≥g（x）型，由此構造兩個函數h（x）=f（x），u（x）=g（x）.接下來的工作是利用導數判斷函數h（x），u（x）的單調性，進而求出函數h（x），u（x）的最值或臨界值.具體證明過程略.

證明略，留給感興趣的讀者朋友去證明.

通過上述幾道例題，我們可以看出，函數背景下的不等式證明對學生來說有兩個主要的挑戰：一是要善于觀察待證不等式的等價不等式的結構特征，由等價不等式的結構特征去構造出相應的、適當的、合理的函數，將不等式證明的問題轉化為對函數的有關性質研究的問題；二是要掌握有關函數性質研究的知識，掌握對有關函數性質研究的方法，積累對有關函數性質研究的經驗.可以說，掌握好上述列舉的三種類型問題的探究思維途徑及思想方法，對函數背景下的不等式證明的問題就能很好解決了.