盤點有關折疊問題

☉河南省滑縣棗村中心學校 李玉春

盤點有關折疊問題

☉河南省滑縣棗村中心學校 李玉春

折疊問題在近幾年的中考中屢屢出現，試題靈活多變，用以考查學生的抽象思維能力，已成為中考題型的一朵奇葩，而有些同學解題時感到十分困惑.其實折疊的圖形基本上就是我們學過的一些特殊圖形如：直角三角形、平行四邊形、矩形.涉及的知識點無非就是全等形、對稱、勾股定理等.要想快速、準確地解決有關折疊的問題，我認為應注意以下幾個方面.

一、注意分析題中折疊前后的變量與不變量，特別是不變量

例1（2012年江蘇宿遷市）如圖1，將一張矩形紙片ABCD沿EF折疊，使頂點C，D分別落在點C′，D′處，C′E交AF于點G. 若∠CEF=70°，則∠GFD′=______°.

解題思路：先根據“兩直線平行，內錯角相等”求出∠GFE的大小，再利用“兩直線平行，同旁內角互補”求出∠DFE的大小，然后根據折疊后圖形的形狀與大小沒有改變，得到∠EFD′的大小，最后利用角的差的意義即可解答.

圖1

解答過程：因為四邊形ABCD是矩形，

所以AD∥BC.

所以∠GFE=CEF=70°，∠CEF+∠EFD=180°.

所以∠EFD=110°.

由折疊可知∠EFD′=∠EFD=110°，

故∠GFD′=∠EFD′－∠GFE=110°－70°=40°.

所以答案為40.

點評：本題的命制為了降低難度，將問題改為求角度，這就大大地方便了考生最短時間內快速求解，這也能算得上是命題的一種新的嘗試.

二、要注意利用對稱性尋求等量關系，注意矩形與直角三角形中直角的條件，計算時可用勾股定理尋求數量關系

例2（2012年福建南平市）如圖2，正方形紙片ABCD的邊長為3，點E、F分別在邊BC、CD上，將AB、AD分別沿AE、AF折疊，點B、D恰好都落在點G處，已知BE=1，則EF的長為（ ）.

圖2

解題思路：由折疊可知EF=BE+DF.設DF為x，用x的式子表示出EF和CF，然后在Rt△EFC中根據勾股定理列出方程，解之即可.

解答過程：因為折疊，所以EG=BE=1，FG=DF.

點評：折疊后圖形的形狀與大小沒有改變，這是解決本題的關鍵所在.另外，如何綜合地利用所學勾股定理求相關的線段的長度是正確解答的基礎.

三、注意發現圖中的全等圖形，利用全等圖形的性質提供某些條件用來解題

圖3

例3 （2012年四川資陽市）如圖3，在△ABC中，∠C=90°，將△ABC沿直線MN翻折后，頂點C恰好落在AB邊上的點D處，已知MN∥AB，MC=6，NC=2，則四邊形MABN的面積是（ ）.

解題思路：四邊形MABN的面積=△ABC的面積-△CMN的面積.

規律總結：將△ABC沿直線MN翻折后可得到全等圖形，靈活運用△ABC的中位線的性質得到邊與邊之間的關系.

例4 （2012年湖北荊門市）如圖4，已知正方形ABCD的對角線長為2，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長為（ ）.

圖4

解題思路：圖中陰影部分由四個三角形組成，其周長由兩部分組成，一部分是直線EF下方的正方形邊長的一部分，另一部分是直線EF上方的正方形邊長折疊后的部分.這兩部分的和正好是正方形的周長.

答案：C

點評：折疊前后的圖形是全等圖形.把分散的集中、零碎的湊整，用整體的方法思考問題.

總之，通常情況下，考查折疊知識都是利用矩形的折疊，求相關線段的長度，利用到勾股定理、方程等知識.解決折疊問題，關鍵是抓住以下幾點：（1）抓住折疊本質：①折起部分與重合部分是全等的；②點與點重合產生垂直平分線，線與線重合產生角平分線.（2）結合三角形全等、勾股定理，設出恰當的未知數，運用勾股定理解決.