淺析來自生活中的一次函數問題

☉河南省淮陽第一高級中學 王寸真

淺析來自生活中的一次函數問題

☉河南省淮陽第一高級中學 王寸真

一元一次函數在我們的日常生活中應用十分廣泛，當人們在社會生活中從事買賣特別是消費活動時，若其中涉及變量的線性依存關系，則可利用一元一次函數解決問題．例如，當我們購物、租用車輛、入住旅館時，經營者為達到宣傳、促銷或其他目的，往往會為我們提供兩種或多種付款方案或優惠辦法．這時我們應三思而后行，深入發掘自己的數學知識，做出明智的選擇．可以利用一次函數來指導購物，既鍛煉了數學頭腦、發散了思維，又節省了錢財、杜絕了浪費，真是一舉兩得啊！利用一次函數關系式，同學們可以解決很多生活中的實際問題，舉例說明如下．

一、依法納稅問題

例1 依法納稅是每個公民應盡的義務．從2008年3月1日起，新修改后的《中華人民共和國個人所得稅法》規定，公民每月收入不超過2000元，不需交稅；超過2000元的部分為全月應納稅所得額，都應納稅，且根據超過部分的多少按不同的稅率納稅，詳細的稅率如下表：

級別 全月應納稅所得額 稅率（%）1不超過500元的 5 2 超過500元至2000元的部分 10 3 超過2000元至5000元的部分 15 4 超過5000元至20000元的部分 20………

（1）某工廠一名工人2008年3月的收入為2400元，問他應交稅款多少元．

（2）設x表示公民每月收入（單位：元），y表示應交稅款（單位：元），當2500≤x≤4000時，請寫出y關于x的函數關系式．

（3）某公司一名職員2008年4月應交稅款120元，問該月他的收入是多少元．

解：（1）該工人3月的收入2400元中，應納稅的部分是400元，按納稅的稅率表，他應交納稅款400×5%=20（元）．

（2）當2500≤x≤4000時，其中2000元不用納稅，應納稅的部分在500元至2000元之間，其中500元按5%交納，剩余部分按10%交納，于是，有y=［（x-2000）-500］×10%+500×5%=（x-2500）×10%+25，即y關于x的函數關系式為y=（x-2500）×10%+25=0．1x-225（2500≤x≤4000）．

（3）根據（2）可知，當收入為2500元至4000元之間時，納稅額在25元至175元之間，于是，由該職員納稅款120元，可知他的收入肯定在2500元至4000元之間．

設他的收入為z元，由（2）可得（z-2500）×10%+25=120，解得z=3450，故該職員2008年4月的收入為3450元．

評析：我國的稅收是取之于民，用之于民，公民有納稅的義務，通過本題的考查，使學生進行了稅收知識的教育．本題以修改后的新《個人所得稅》規定為背景，通過建構分段函數的數學模型，對不同范圍內的月工薪進行計算，得出有關數據．

二、抗震救災問題

例2“5·12”汶川地震發生后，某天廣安先后有兩批自愿者救援隊分別乘客車和出租車沿相同路線從廣安趕往重災區平武救援，圖1表示其行駛過程中路程隨時間的變化圖像．

（1）根據圖像，請分別寫出客車和出租車行駛過程中路程與時間之間的函數關系式（不寫出自變量的取值范圍）．

（2）求客車和出租車行駛的速度分別是多少．

（3）試求出出租車出發后多長時間趕上客車．

解：（1）客車行駛過程中路程與時間的函數關系式為y＝40x；

出租車行駛過程中路程與時間的函數關系式為y＝100（x－2）．（2）客車行駛的速度為40千米／時，出租車行駛的速度為100千米／時．

圖1

評析：行程問題是一個常規的問題，而新課標下的行程問題，與原來行程問題的應用題完全不同，往往與圖像、圖形、表格等結合在一起，不僅考查了學生的數學知識，而且考查了學生的識圖能力和數形結合的數學思想．

三、調運方案問題

例3 抗震救災中，某縣糧食局為了保證庫存糧食的安全，

壇決定將甲、乙兩個倉庫的糧食，全部轉移到具有較強抗震功能的A、B兩倉庫.已知甲庫有糧食100噸，乙庫有糧食80噸，而A庫的容量為70噸，B庫的容量為110噸.從甲、乙兩庫到A、B兩庫的路程和運費如下表（表中“元/（噸·千米）”表示每噸糧食運送1千米所需人民幣）.

路程（千米）運費（元/（噸·千米））甲庫 乙庫 甲庫 乙庫A庫 20 15 12 12 B庫 25 20 10 8

（1）若甲庫運往A庫糧食x噸，請寫出將糧食運往A、B兩庫的總運費y（元）與x（噸）的函數關系式.

（2）當甲、乙兩庫各運往A、B兩庫多少噸糧食時，總運費最省，這時總運費是多少？

解：（1）依題意有：

（2）上述一次函數中k=－30＜0，

所以y隨x的增大而減小.

所以當x=70噸時，總運費最省.

最省時的總運費為－30×70+39200=37100（元）.

答：從甲庫運往A庫70噸糧食，往B庫運送30噸糧食，從乙庫運往B庫80噸糧食時，總運費最省為37100元.

評析：最優化問題是生活中常遇到的問題，人們要對各種方案有所選擇和決策.上述問題是通過構建一次函數的數學模型的方法，利用一次函數的增減性，求出函數最大值或最小值，最后從數據中得出最優化方案.

學生最感興趣的是用函數知識解決發生在身邊的實例，一次函數是一種重要的函數，運用一次函數可以解決日常生產、生活中的實際問題.我們要靈活運用所學知識來解決實際問題，特別要有把實際問題通過建立函數模型的能力和運用數形結合的思想來解決的意識.