利用Radau偽譜法求解UCAV對地攻擊軌跡研究

王 鈾， 趙 輝， 惠百斌， 王 鋒， 胡 杰

(1.空軍工程大學航空航天工程學院，西安 710038; 2.中國人民解放軍95737部隊，重慶 402361;3.中國人民解放軍94857部隊，安徽 蕪湖 241007)

0 引言

當無人作戰飛機采用人工控制攻擊方式時，由于通信鏈路存在固有延遲，并可能在復雜電磁環境下受到干擾，因此，攻擊的可靠性和及時性受到嚴重影響。未來信息化條件下使用無人機進行空中作戰時，無人作戰飛機(UCAV)一旦確定攻擊目標之后，應該根據當前的飛行條件、作戰環境等諸多因素自主確定作戰過程，自動解算發射諸元及發射軌跡控制，實施自主攻擊作戰。這樣，可以有效地避免由于人為參與作戰過程造成作戰時機延誤和差錯，充分發揮無人機作戰的主要特點和優勢。因此，研究無人作戰飛機自主攻擊技術，體現了未來無人作戰飛機的發展方向。

軌跡規劃技術是實現UCAV自主攻擊的關鍵技術。目前，國內外對其進行了大量的研究，主要包括:人工勢場法、路圖法、智能計算方法、基于采樣的規劃方法、最優控制法等［1－4］。近幾年來，偽譜方法在最優控制問題的數值解法方面［5］，特別是飛行器軌跡優化方面變得逐漸流行，并逐漸成為研究熱點［1，6－9］。常見的偽譜方法包括:Chebshev偽譜法(CPM)、Legendre偽譜法(LPM)、Gauss偽譜法(GPM)以及Radau偽譜法(RPM)。Radau偽譜法因其具有簡單的結構、較高的精度、指數性的收斂速度，以及在處理連續時間最優控制問題上具有優勢等特點得到了快速發展。考慮UCAV對地攻擊需要在滿足各種復雜約束的基礎上規劃出一條連續并且可行的最優軌跡，采用Radau偽譜法來求解UCAV對地攻擊軌跡。

1 Radau偽譜法的基本原理

RPM求解最優控制問題的基本思路為:將未知的狀態變量和控制變量在一系列Legendre-Gauss-Radau(LGR)點(LGR 點為多項式 Pn－1(τ)+Pn(τ)的零點，其中，Pn(τ)為n階Legendre多項式)上離散化，然后采用Lagrange插值多項式來逼近真實的狀態變量與控制變量，再通過對狀態變量求導來代替動力學微分方程。這樣，連續系統最優控制問題被轉化為受一系列代數約束的參數優化問題［9］。

1.1 最優控制問題的一般框架

考慮Mayer型性能指標函數的一般最優控制問題

式中:J為性能指標;X(t)∈Rn，為狀態變量;U(t)∈Rm，為控制變量，為微分方程約束條件;C［X(t)，U(t)，t］∈Rs，為狀態變量和控制變量的約束條件;φ［X(t0)，t0，X(tf)，tf］∈Rφ，為邊界約束條件;t為時間。

1.2 Radau 偽譜法

最優控制問題的時間區間為t∈［t0，tf］，采用偽譜法需要將時間區間轉換到τ∈［－1，+1］。將t∈［t0，tf］分成 K 個網格，且?t∈［tk－1，tk］，k=1，…，K，t0＜ t1＜…＜tK=tf，做如下映射變換

容易推出

用RPM偽譜法處理連續最優控制問題時，需要在一系列的離散點上對狀態變量進行全局插值多項式逼近。狀態變量在第k個(k∈［1，…，K］)網格處可以近似表示為

與狀態變量不同的是，控制變量在1，…，K－1個網格處用如下的Nk階Lagrange多項式來逼近

式中，k∈［1，…，K －1］。

因為終端時間tf沒被配置，第K個網格的控制變量用如下的(Nk－1)階Lagrange多項式近似表示為

式中，k=K。

性能指標函數可以近似表示為

將式(9)代入式(1)中動力學微分方程式，并在LGR點上進行離散，可得

式(1)中，不等式約束在第 k個(k∈［1，…，K］)網格用Nk個LGR點離散化處理，得

式(1)中，邊界條件約束可以近似表示為

為保證網點的連續性，需滿足下列條件

至此，連續系統最優控制問題被轉化為受一系列代數約束的參數優化問題，可以采用非線性規劃的方法進行求解。

2 空對地攻擊軌跡規劃問題數學建模

2.1 UCAV三自由度(3-DOF)質點模型

地理坐標系下，UCAV的質點運動學方程［10］為

航跡坐標系下，UCAV的質點動力學方程［10］為

式(14)和式(15)中:(x，y，h)表示UCAV在地理坐標系中的經度、緯度和高度;vu為UCAV的真空速;γ、ψ、α、μ分別為航跡傾角、航向角、迎角、滾轉角;m為UCAV的質量;g為重力加速度;T=δTmax，為發動機推力，δ∈［0，1］，為油門位置;Tmax為發動機最大可用推力;D=0.為阻力;，為升力;(Wx，Wy，Wz)和分別為風速和風力加速度沿坐標軸的分量。

2.2 UCAV 對地攻擊的約束條件［1］

UCAV對地攻擊時，需要滿足的初始和終端位置、速度、姿態約束條件為

式(16)和式(17)分別為UCAV的初始和終端位置、速度、姿態約束，(xLAR，yLAR，hLAR)為攻擊軌跡末端武器投放參考點坐標，Δx、Δy和Δh為給定的允許偏差;下標“f”表示軌跡末端點的狀態。

UCAV在對地攻擊過程中，要求時刻滿足機動性能約束和環境約束條件，具體為

式中:X(t)=［x y h V γ ψ m］T∈R7，為狀態變量;t∈［t0，tf］，終端時間tf自由。滿足動力學微分方程約束(式(14)～式(15))

邊界條件(式(16)～式(17)、式(21))

以及不等式約束(式(18)～式(20))

3 系統仿真

率;mmin為攜帶最小安全燃油量的飛行器重量;nmax為飛行器所能承受的最大法向過載。

戰場環境通常包括地形、氣象禁飛區和敵方火力或探測威脅。通常UCAV使用制導炸彈對地攻擊是在中高空進行投放，因此本文不考慮撞地約束，僅討論后兩種約束。

氣象禁飛區的約束條件式為

式中:‖·‖2表示兩點之間的距離;(xNF，i，yNF，i)和 RNF，i分別為第i個氣象禁飛區的中心坐標及半徑。

敵方火力或探測威脅的約束條件式為

式中，(xNF，i，yNF，i，hNF，i)和 RT，i分別為第 i個威脅的中心坐標及作用半徑。

此外，UCAV攜帶的武器還存在著使用約束(包括投放時法向過載約束和滾轉角約束)，即

式中:nBomb_max和μBomb_min分別為投放時制導炸彈允許的最大法向過載和滾轉角;tf為終端時間;nu=(L+Tsin α)/mg，為載機法向過載。

2.3 目標函數

對于對地攻擊任務來說，一個重要的指標就是提升攻擊的時效性，即最小化攻擊時間，這對攻擊時敏目標尤為重要。時間最小性能指標為

2.4 最優控制問題框架

至此，軌跡規劃問題轉化為最優控制問題:尋找控制變量 U(t)=［α μ δ］T，最小化邁耶爾(Mayer)型性能指標(式(22))為

為了驗證文中所研究方法的有效性，對UCAV對地攻擊軌跡規劃過程進行仿真。仿真場景如下:UCAV從地理坐標系中(10，0，2)km點開始攻擊，初始速度v0=210 m/s，航跡角 γ0=0°，航向角 ψ0=60°，總質量 m=17680 kg，特征面積 S=49.24 m2，武器投放參考點坐標為(15，30，6)km，終端速度 vf=300 m/s，航跡角 γf=0°，航向角ψf=35°，飛機性能參數參見文獻［1］;由于實際作戰中存在許多不確定因素，為了提高武器命中概率，一種較好的做法是盡量靠近可攻擊區的中心。仿真中:武器投放參考點允許偏差為Δx=0、Δy=0、Δh=0;目標區中部署兩個地方火力威脅AA及一個氣象禁飛區WNF。具體見圖1。

仿真在PC機上進行，CPU為2.79 GHz，在Matlab環境下利用SNOPT軟件包進行求解。算例求得的滿足約束要求的最短時間為94.5156 s，運算時間為19.78 s，算法具有一定的實時性。從圖1～圖4中可以看出，生成的飛行軌跡比較平滑，不僅能靈活地避開威脅，而且能以規定的投放姿態和速度準確進入武器投放參考點(理論計算誤差為零)，而一般的航跡規劃只能滿足位置要求，而不能滿足終端速度、姿態要求。

圖1 UCAV對地攻擊最優攻擊軌跡Fig.1 Optimal air-to-ground attack trajectory

圖2 最優攻擊軌跡的速度曲線Fig.2 Time histories of velocity in optimal attack trajectory

圖3 最優攻擊軌跡的航跡傾角曲線Fig.3 Time histories of flight-path angle in optimal attack trajectory

圖4 最優攻擊軌跡的航跡偏角曲線Fig.4 Time histories of heading angle in optimal attack trajectory

4 結束語

本文構建了考慮多種約束的UCAV對地攻擊軌跡規劃模型，提出了一種基于Radau偽譜法(RPM)的求解策略，并闡述了最優控制問題的一般框架，為這一類最優控制問題的求解思路提供了參考。仿真結果表明，該方法能以較高的精度和速度生成滿足終端位置、速度、姿態要求，綜合考慮飛機平臺性能、燃油、氣象、火力或探測威脅、制導武器可攻擊區等各種復雜約束要求，連續并且真實可行的最優軌跡，對軌跡規劃問題的工程應用具有一定意義。

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