基于改進遺傳算法的敏捷衛星姿態路徑規劃

劉富鈺， 崔培玲

0 引言

從航天應用需求分析可知，很多航天任務要求衛星具有快速姿態機動能力，此類衛星稱為敏捷衛星。利用敏捷姿態機動能力，在測繪領域可實現同軌立體成像;在空間對抗領域，可實現攻擊載荷的快速瞄準，提高快速反應能力。世界各航天大國意識到敏捷衛星快速機動所具有的戰略價值，都紛紛發展敏捷衛星。國際上具有敏捷姿態機動能力的代表性衛星有Pleiades，IKonos，Bilsat，WorldView等。快速姿態機動控制作為敏捷衛星的關鍵技術之一，日益為學者們所關注。控制力矩陀螺(Control Moment Gyro，CMG)因其輸出力矩大、響應速度快等優點，成為敏捷衛星實現快速機動的理想執行機構［1］。相比單框架 CMG，雙框架 CMG(Double Gimbal CMG，DGCMG)具有操縱奇異問題不突出，能夠提供最多的控制自由度，系統冗余性好，可用最少的單機實現航天器的三軸姿態控制等優點［2］。早在20世紀70年代，國外DGCMG已進入工程應用階段。三正交安裝的DGCMG被成功應用于空天實驗室(Skylab)［3］;而目前在軌的國際空間站(ISS)采用了四平行構型的 DGCMG［4］。

目前基于CMG的航天器姿態控制已經有一些研究成果［5－7］。現有的姿態控制系統通常是將控制律和操縱律獨立設計。控制律在計算指令力矩時并不考慮可能帶來的CMG奇異問題，將奇異問題的避免和逃離完全交予操縱律處理，這樣難以從全局的角度對CMG的奇異問題進行回避。而一種有效的奇異回避方法是在整個機動過程中考慮航天器和CMG的綜合模型進行路徑規劃［8－9］。此外，在衛星大角度姿態機動的任務中，如果直接使用常規的控制器進行控制，由于初始的誤差較大，容易造成執行機構飽和，并且不容易實現初末角速度均不為零的機動。因此，需要對敏捷衛星機動的路徑進行規劃，使其在快速完成機動任務的同時，盡量避免CMG系統陷入奇異狀態。文獻［8－9］將應用單框架CMG的衛星姿態路徑規劃問題轉換為最優控制問題，再分別采用Legendre偽光譜和傅里葉基變換的方法進行求解。但是，它們獲得的路徑均為局部最優解［10］。

由于遺傳算法不受求解空間的限制，不必要求連續性、導數存在和單峰等假設，以及其固有的并行性，使其在路徑規劃問題上得到廣泛的研究［11－13］。但傳統遺傳算法仍存在諸如搜索時間長，易陷入局部最優等缺點。針對這些缺點，文獻［14－15］提出了具有自適應變化交叉概率和變異概率的遺傳算法。此外，文獻［11－13］在進行路徑規劃時只要求路徑本身平滑，不要求其導數平滑。而在基于DGCMG的敏捷衛星的機動過程中，為了保證DGCMG的安全運行，要求指令力矩平滑，即要求姿態機動路徑的一階導數和二階導數平滑。

本文研究了一種改進的遺傳算法對基于DGCMG的敏捷衛星的姿態路徑進行離線規劃，為姿態跟蹤控制器進行跟蹤控制完成整體姿態機動任務打下基礎。根據敏捷衛星姿態機動的特點，采用啟發式方法生成初始種群，從而提高遺傳算法的搜索效率;然后，在考慮控制輸入有界、執行機構飽和、奇異測度約束和星體角速度限制等約束的同時，將DGCMG消耗的能量作為適應度函數，從而保證 DGCMG的安全運行，使DGCMG遠離奇異狀態;同時，引入了自適應交叉率和變異率的方法，較好地處理傳統遺傳算法在全局搜索性能和收斂速度之間的矛盾;并根據敏捷衛星姿態機動路徑的一階導數和二階導數平滑的要求，對星體角速度及其角加速度提出平滑變異算子。

1 基于DGCMG的敏捷衛星動力學模型

1.1 衛星動力學建模

本文采用基于誤差四元數的衛星運動學模型和動力學模型，定義衛星本體系相對于慣性系的姿態四元數為{q0(t) q(t)}，期望姿態四元數為{qd0(t) qd(t)}。誤差四元數{qe0(t) qe(t)}為

DGCMG通過改變其轉子的角動量方向產生所需的控制力矩，定義hcmg為DGCMG的總角動量，根據角動量定理，DGCMG的輸出力矩為

由于一般敏捷衛星的剛性較好，不考慮其柔性特性，則根據歐拉定理可得到基于誤差四元數的衛星運動學和動力學模型分別為［16］

式中:J為衛星的轉動慣量矩陣;u=Tcmg∈R3為指令力矩;Td∈R3為干擾力矩。

1.2 DGCMG構型及奇異性描述

為了實現敏捷衛星的三軸姿態控制，本文選擇2個DGCMG組成的正交構型。其構型坐標如圖1所示。

圖1 2－DGCMG正交構型示意圖Fig.1 Two DGCMG orthogonal configuration

圖1中:Xb、Yb和Zb為沿衛星本體系3個坐標軸的單位向量，三者相互正交;xi、yi和zi分別為沿第i個DGCMG的外框架軸、轉子軸和內框架軸的單位向量(i=1，2);αi為第 i個 DGCMG 的內框架角;βi為第i個DGCMG的外框架角;令h0為DGCMG角動量大小。根據坐標系定義，DGCMG系統的角動量在本體系的三軸分量為

通過式(6)可以得到2－DGCMG正交構型DGCMG輸出力矩表達式為

所謂奇異問題是指DGCMG在某種框架角向量δ的配置下，所能提供的力矩正交于期望的控制力矩，失去在該方向的輸出力矩能力。表示奇異程度大小的奇異度量為［16］

式中，d為大于零的標量，d=0表示DGCMG系統完全陷入奇異狀態，d越大表明DGCMG系統距奇異狀態越遠。

2 基于改進遺傳算法的敏捷衛星姿態路徑規劃

為了提高遺傳算法的搜索效率，本文采用浮點數編碼，并結合敏捷衛星大角度姿態機動的特點，采用啟發式方法生成初始種群;然后，在考慮敏捷衛星多種物理限制的同時，以DGCMG消耗的能量作為適應度函數，從而保證DGCMG的安全運行，使DGCMG遠離奇異狀態;同時，引入自適應交叉率和變異率的方法，并針對基于DGCMG敏捷衛星姿態路徑的一階導數和二階導數平滑的要求，對星體角速度及其角加速度提出平滑變異算子。

1)染色體的編碼。

二進制編碼是遺傳算法最為常用的編碼方式，但二進制編碼過于冗長，降低了搜索效率，并不適用于路徑規劃。浮點數編碼相對于二進制編碼更適合解決多維問題，且具有精度高、實現簡單、計算量小等優點［11］，因此，本文采用浮點數編碼。其結構為(qe，1，qe，2，…，qe，n)，其中 qe，1和 qe，n分別表示起始姿態和目標姿態四元數的矢量部分，qe，i(i=1，2，…，n －1)表示路徑上除兩端點以外某一中間點的姿態四元數矢量部分。路徑長度n通過仿真時間，即根據衛星的機動能力指標確定出的期望機動時間T和仿真步長Ts進行確定，n=T/Ts。

2)初始種群的確定。

針對傳統遺傳算法隨機生成初始種群所帶來的搜索效率低等缺點，本文采取啟發式方法生成初始種群。首先根據已知的路徑起始點 qe，1，目標點 qe，n，星體的初始角速度ω0，期望角速度ωd和期望角加速度結合動力學模型求出 qe，2，qe，n－2和 qe，n－1。qe，3到 qe，n－3由以下幾種規則生成初始種群。

①為了使能量趨于最小，qe→0是一個單調遞增或遞減的過程，本文基于此啟發式地產生部分初始種群。具體為

② 由于 qe，2和 qe，n－2已知，如果不考慮奇異點，這兩點的連線是長度最短、最平滑的一條路徑，本文基于此啟發式地產生部分初始種群。

③由于最快的衛星姿態大角度機動速度變化通常包括加速和減速階段，且S型函數導數的曲線與此相似。因此，本文基于此啟發式地產生初始種群，具體為

式中，t∈(0，Ta)，Ta為大于 T的一個適當的數。

3)適應度函數選取。

現存的操縱律，如廣義魯棒偽逆操縱律，在避免奇異時通常會引入CMG框架的空轉運動。而這些空轉運動將增加CMG消耗的能量。因此，為了保證DGCMG的安全運行，使DGCMG遠離奇異狀態，將DGCMG消耗的能量作為適應度函數。通常，人們采用控制輸入的范數估計消耗的能量。但由于敏捷衛星的角速度較大，相對DGCMG的框架角速度不容忽視，因此僅用控制輸入的范數不能準確地估計DGCMG消耗的能量。采用式(15)對DGCMG消耗的能量進行估計。

實際應用中，敏捷衛星受到多種物理限制，如控制輸入有界、執行機構飽和、奇異測度約束和星體角速度限制，分別被描述為

為了在滿足敏捷衛星多項約束條件的同時，又使得DGCMG消耗的能量最小，設計適應度函數為

式中:Nnum為路徑Ij的不可行點數，即超出各種物理限制點的總數，若Nnum=0，表示Ij為可行路徑;inf(1)為一個適當的正數。式(20)表示當路徑Ij不可行時，在其總能量上施加懲罰項。

4)遺傳操作。

交叉概率和變異概率在整個進化過程中保持不變，是導致遺傳算法性能下降的重要原因。為了提高種群的多樣性，保證算法的收斂性和快速性，本文引入了自適應交叉率和變異率的方法。并且，針對基于DGCMG敏捷衛星姿態路徑的一階導數和二階導數平滑的要求，對星體角速度及其角加速度提出平滑變異算子。

選擇:采取的選擇算子直接將適應度函數值最大的N/2個個體選入下一代，N為種群規模。

交叉:交叉算子產生的子代由兩部分組成:第一部分等于選擇算子選擇的N/2個個體;第二部分由選擇算子選擇的N/2個個體作為父代交叉而成。本文采取如文獻［11］所示的交叉過程。

遺傳算法的參數中交叉概率和變異概率的選擇是遺傳算法行為和性能的關鍵所在，直接影響算法的收斂性能。本文采取如下自適應交叉率［14］

式中:g表示遺傳代數;G表示最大遺傳代數。

式中:Fmax表示最大適應度值;Fmin表示最小適應度值;表示平均適應度值;F(I)取F(Ii)和F(Ij)之間的較

大值;Ii和Ij為兩個待交叉的個體。通過分析不難看出，這種交叉率能夠保證在迭代初期，交叉率較大，從而加快進化的速度，避免遺傳算法陷入遲鈍狀態。同時，它還能保證在迭代后期，交叉率較低，并逐步減小至一常量，從而保證平滑收斂。

變異:執行變異算子時，先在路徑中隨機選擇一個除起始點 qe，1，目標點 qe，n和由初始條件計算的 qe2、qen－2和 qen－1以外的節點，再根據選中的隨機數找到相應的節點位置，選定后進行變異操作。采取的自適應變異率［15］為

式中，Pm_max為預設置的最大變異概率;Pm_min為預設置的最小變異概率;Pm(g)為g代種群個體Ii的變異概率。隨著遺傳代數g的增加，此種變異概率能逐漸減小，從而使得種群迅速集中。另外，對于劣質個體，變異率會較大，而優秀個體的變異率會較小。

由于姿態機動過程中要求星體角速度和指令力矩都盡量平滑，因此針對星體角速度及其角加速度提出了平滑變異算子。具體思想是將某個比它相鄰兩點均小(大)的路徑點變異在其相鄰兩點之間。星體角加速度的平滑變異算子與星體角速度的平滑變異算子類似。這里僅以星體角速度的平滑變異算子進行說明。若路徑Ii的星體角速度處于上升階段，且第k點比其相鄰兩點均小(大)，采用如式(25)進行變異。

式中:x∈(0，1);ωe，k，i為路徑 Ii第 k 點的誤差角速度。

若路徑Ii的星體角速度處于下降階段，且第k點比其相鄰兩點均小(大)，則采用式(26)進行變異。

式中，x∈(0，1)。

在變異操作中，變異可能會使一些優秀個體被破壞掉，無法進入下一代。因此本文采用優秀個體保護法，即保留上一代最優秀的個體，使之直接進入下一代，這樣可增加算法的收斂性。

3 仿真結果分析

遺傳算法的種群規模為100個，最大遺傳代數為2000，最大變異概率為Pm_max=0.08，最小變異概率為Pm_min=0.03。

將兩種方法各運行10次，從中隨機選出3組解作為示例。圖2～圖7給出了第1組仿真結果。

圖2 姿態角Fig.2 Euler angle

圖3 星體角速度Fig.3 Angular velocity

圖4 指令力矩Fig.4 Command torque

圖5 DGCMG框架角速度Fig.5 Gimbal angle velocity of DGCMG

圖6 DGCMG框架角Fig.6 Gimbal angle of DGCMG

圖7 奇異測度Fig.7 Singularity measurement

從圖2可以看出，由于路徑的起始點和目標點是給定的，無論是改進的遺傳算法還是已有遺傳算法，都能到達目標姿態。從圖3～圖5可以看出，已有遺傳算法的星體角速度、指令力矩和框架角速度均超出了約束限制，且抖振較大;而采用本文方法得到的仿真結果均滿足約束限制，且曲線較為平滑。從圖7可以看出，兩種方法的奇異測度均高于奇異測度約束，而本文方法得到的最小奇異值高于已有遺傳算法得到的最小奇異值。

表1 采用已有遺傳算法的3組仿真結果Table 1 Three groups of simulation results using the existing genetic algorithm

表2 采用改進遺傳算法的3組仿真結果Table 2 Three groups of simulation results using the improved genetic algorithm

由此可見，在控制輸入有界、執行機構飽和、奇異測度約束和星體角速度限制等多種約束下，本文方法能夠規劃出滿足機動能力指標且能量較優的有效路徑。

4 結束語

對于以DGCMG作為執行機構的敏捷衛星，在其大角度姿態機動任務中，若直接采用常規控制器進行姿態控制，存在容易造成執行機構飽和，難以從全局角度回避CMGs的奇異等問題。針對此問題，本文研究了一種改進的遺傳算法對基于DGCMG的敏捷衛星的姿態路徑進行離線規劃，為姿態跟蹤控制器進行跟蹤控制、完成姿態整體機動任務打下基礎。本文采用浮點數編碼，并結合敏捷衛星大角度姿態機動的特點，采用啟發式方法生成初始種群，從而提高算法的搜索效率。在考慮敏捷衛星受到的多種物理限制的同時，以DGCMG消耗的能量作為適應度函數，保證DGCMG遠離奇異點。引入了自適應交叉率和變異率的方法，從而提高種群的多樣性，保證算法的收斂性和快速性。并對星體角速度及其角加速度提出平滑變異算子以保證衛星的星體角速度和指令力矩平滑。最后，利用該算法進行敏捷衛星姿態路徑規劃的數值仿真。仿真結果表明，在控制輸入有界、執行機構飽和、奇異測度約束和星體角速度限制等多種約束下，以本文算法尋求的路徑較好地滿足了機動能力指標，且能量較優。

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