反比例函數中的面積問題解題策略

☉河南省新鄉市第十中學 郭 蕊

一般地，如圖1，過雙曲線上任一點A作x軸、y軸的垂線AM、AN，所得矩形AMON的面積為S=AM×AN=，又因為y=，所以xy=k，所以這就是說，過雙曲線上任一點，作x軸、y軸的垂線，所得矩形的面積為

這是反比例函數中的一個重要的結論，由此進行變式和拓展是每年中考的熱點，解答這類問題要注意轉化思想的應用，即將所求問題通過適當形式的轉化，將問題與題例中的面積問題建立聯系，現就其中的一些轉化策略舉例說明，供讀者參考.

一、對稱轉化

點評：本題考查待定系數法求反比例函數的解析式及反比例函數的圖像的對稱性.解題的關鍵是利用對稱性將兩個陰影部分面積的和轉化為正方形的面積.

二、等積轉化

解析：連接OA，OB，根據反比例函數幾何意義可知

因為l∥x軸，所以S△AOB=S△APB.

所以S△PAB＝S△PAC＋S△PBC＝S△OAC＋S△OBC＝3＋1＝4.

點評：本題通過平行，依據同底等高的三角形面積相等，將所求三角形的面積轉化為題例中的面積問題.

三、割補轉化

解析：過A點作AE⊥y軸，垂足為E.

點評：本題通過通過圖形的面積的加減，將無法直接計算的四邊形面積問題轉化為可計算的圖形的面積.

四、數量轉化

點評：本題通過添加輔助線，依據相關幾何知識將平行四邊形的面積與題例中的圖形面積之間建立聯系.

綜上，在解答有關面積問題時，如果無法直接計算，我們通常采用轉化的思想方法，即將不規則的圖形的面積轉化為規則的，可計算的圖形的面積.轉化思想是初中數學基本數學思想之一，轉化思想就是將不熟悉的數學問題轉化為熟悉的數學問題來解決的一種思想方法.通過不斷的轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范甚至模式化、簡單的問題.轉化思想在中學數學中無處不見，我們要不斷培養和訓練自覺的轉化意識，將有利于強化解決數學問題中的應變能力，提高思維能力和技能、技巧.