再談人起立過程中地面是否做功問題

項其杰

（江蘇省太倉市高級中學(xué) 江蘇 蘇州 215400）

“起立”這個動作人們每天都要做很多次，但對于此過程中地面是否對人做功這個問題，不少人都會認為：地面對人有支持力作用，人起立過程中重心又上升了一段距離，因此地面對人做了功.其實，問題在于對功的認識并不到位，因而不能給出正確的回答.

下面，筆者從兩個不同的角度對該問題進行分析，并對地面在該過程中到底起到怎樣的作用做一些初步的探索.

1 突出位移——深入理解功的概念

在高中物理教材中對功是這樣定義的：如果一個物體受到力的作用，并在力的方向上發(fā)生一段位移，這個力就對物體做了功.這句話的主語是“物體”，因而對于定義中的“位移”，自然也就很容易被人理解成是“物體的位移”.其實，這里的“位移”應(yīng)該是指“力的作用點的位移”，它不能被簡單地看成是“物體的位移”.

圖1

圖2

如圖1和圖2所示，兩圖中物體均在拉力F的作用下沿水平面運動，且拉力的大小和方向均保持不變.圖1中拉力作用點的位移與物體的位移相等，而圖2中拉力作用點的位移s′＝2scos，與物體的位2移并不相等.事實上，對于單個質(zhì)點來說，“物體的位移”與“力的作用點的位移”是統(tǒng)一的.但是，當(dāng)物體不能看作質(zhì)點時，功的概念中的所指位移就只能是“力的作用點的位移”.人在起立過程中，由于軀干與腿和腳等部分的運動并不相同，人不能再當(dāng)成一個質(zhì)點來處理，而應(yīng)該對腳部（支持力的作用點所在處）進行研究；但是腳又始終沒動，因此支持力的“作用點的位移”為零，地面對人自然也就沒有做功.

從功能關(guān)系的角度來講，如果地面對人做了功，那么地面的能量就會有所減少，轉(zhuǎn)化為人的機械能.但實際上地面的能量并沒有發(fā)生任何變化，可見地面并未對人做功.一個不爭的事實是：無論如何也不可能不用做任何的“努力”，而僅僅指望著地面會自發(fā)地對人做功，從而使人能夠站立起來.

2 構(gòu)建模型——創(chuàng)新分析在人起立過程中到底誰對人做功

既然人起立過程中，地面并未對人做功，那么到底是什么力對人做功了呢？又是什么形式的能量轉(zhuǎn)化為人的機械能呢？借助下面兩個力學(xué)模型，可以說明問題.

如圖3所示，人起立之前呈曲膝下蹲姿勢，可設(shè)膝關(guān)節(jié)彎曲的角度為θ.起立過程中由于大、小腿部的肌群收縮，對膝關(guān)節(jié)產(chǎn)生作用力，可近似認為它們的合力F的方向水平向左.很明顯，在人起立過程中力F對人做了正功，從而將人體內(nèi)的化學(xué)能一部分轉(zhuǎn)化為人的機械能（另一部分轉(zhuǎn)化為內(nèi)能）.

圖3

在圖3的基礎(chǔ)上進一步將力學(xué)模型抽象，可得到如圖4所示的簡化模型：人腿相當(dāng)于一根處于壓縮狀態(tài)的彈簧，上半身和腳部則分別相當(dāng)于質(zhì)量為m1和m2的兩個物體A和B.人起立時腿部肌群的作用力做功的過程，就相當(dāng)于模型4中彈簧恢復(fù)形變的過程.此時彈簧的彈力對外做正功，將彈性勢能轉(zhuǎn)化為m1的機械能，這就相當(dāng)于人腿部肌群的作用力做功時，將人體內(nèi)的化學(xué)能一部分轉(zhuǎn)化成了人的機械能.

圖4

可見，在人起立過程中對人做功的實際上是人的內(nèi)力.其實，關(guān)于人的內(nèi)力做功的例子還有很多，如跳高、跳遠、跑步、蹦床、蕩秋千、爬桿、騎自行車等過程，人的內(nèi)力均對人做了正功.

筆者也見到有些人利用動能定理的知識來判斷，過程如下.

式中W外為外力功，WFN為支持力的功，WG為重力功，ΔEk≥0，又因為人起立過程中重力做負功，故

所以他們得出結(jié)論WFN＞0，即支持力對人做正功.

得出這一錯誤結(jié)論的原因主要是不了解質(zhì)點組的動能定理，其表達式為W外＋W內(nèi)＝ΔEk，即質(zhì)點組動能的增量在數(shù)值上等于一切外力所做功與一切內(nèi)力所做功的代數(shù)和.在高中物理教材中所講的動能定理其實是指單個質(zhì)點的情況，而對單個質(zhì)點來說，所有的力均為外力；因此久而久之，很多人就容易以偏概全，誤以為質(zhì)點組動能的增量在數(shù)值上也等于合外力所做的功，從而利用W外＝ΔEk來進行判斷；殊不知質(zhì)點組動能的改變完全可以通過內(nèi)力做功來實現(xiàn).

3 拓展思維——初步探索地面在人起立過程中所起的作用

既然人起立過程中對人做功的是人的內(nèi)力，而非地面，那為什么人又總要在腳著地時才容易站起來呢？若腳不著地人還能“站起來”嗎？地面在人起立過程中到底起到什么樣的作用呢？借助圖4所示的簡化模型，可以進行一些初步的探索.

由于人在一次起立過程中最多能夠轉(zhuǎn)化多少能量出來是由他自身的能力決定的，對于一個確定的人來說，可以近似地認為該能量是一定的.對應(yīng)到圖4所示的模型中，不妨就可以設(shè)彈簧彈性勢能為某一個定值Ep.如果人腳著地，那么圖4中B的速度可認為始終為零，人起立過程中彈性勢能Ep就全部轉(zhuǎn)化為A的機械能.如果人腳不著地，且不借助其他外力，A又會獲得多少機械能、多大的速度呢？

為了更好地計算A獲得的機械能以及速度的大小，以人的質(zhì)心為參照建立坐標(biāo)系（非慣性系）.由于地球引力的作用，該質(zhì)心會以加速度g自由下落.因而在這一坐標(biāo)系中，A和B除受到自身的重力m1g和m2g之外，還要分別受到向上的慣性力F1＊＝m1g和F2＊＝m2g；A和B組成的系統(tǒng)還應(yīng)滿足動量守恒.

設(shè)彈簧恢復(fù)形變時A和B在質(zhì)心系中的速度分別為v1和v2，利用動量守恒和能量的知識，可列出下列兩個方程

解方程組可得到A的動能Ek以及它在質(zhì)心系中的上升速度v1分別為

很顯然Ek＜Ep，說明此時人上半身獲得的機械能小于腳著地時的情況.

若再進一步設(shè)彈簧恢復(fù)形變所需的時間為Δt，則該過程中質(zhì)心的速度變化量為Δv＝gΔt.由此可求出A此時相對于地面的速度為

對不同的人來說，Ep和Δt的取值一般是不同的.因此，上式中A的對地速度v就可能為正值、負值或為零.若v＞0，則表示人的質(zhì)心雖然向下運動，但人的上半身A的對地速度卻是向上的.那么在地面上的其他觀察者看來，該人看上去就好像在向上“站起來”.若v＝0，則該人看上去就好像在同一高度上“滯空”了一段時間.

央視第10套節(jié)目在2008年7月12日做過一臺節(jié)目——“體育科學(xué)·超級飛人”.科學(xué)家分析了邁克爾·喬丹的罰球線起跳扣籃視頻.如圖5中所示，在起跳升高時，喬丹的身體并不是完全舒展開的，到達最高點后，在即將要開始下落時，通過肌肉的力量將略微縮起的身體完全舒展開，使得他的上身可以保持短暫的高度停留（仔細觀察圖5中的中間三個姿勢，其頭部幾乎處于同一高度上），視覺上就好像人“停滯”在空中一樣.

圖5

由此可見，在人腳不著地，且不借助其他外力的情況下，即使是像喬丹這樣最優(yōu)秀的籃球運動員也只能做到短暫的滯空，即v＝0的情形；普通人要想做到v＞0的情形，那幾乎是不可能的.到此，就不難發(fā)現(xiàn)：在人起立過程中，地面雖不對人做功，但正是由于地面的作用，才使得更多的能量轉(zhuǎn)化為人上半身的機械能，人自然也就更容易站起來了.

1 漆安慎，杜嬋英.力學(xué)基礎(chǔ).北京：高等教育出版社，1982

2 丁英偉.人走路時靜摩擦力做功嗎.物理教學(xué)探討，2006（21）

3 劉勝.淺析幾種內(nèi)力做功問題.物理教學(xué)探討，2010（6）