再談人起立過程中地面是否做功問題

項其杰

（江蘇省太倉市高級中學 江蘇 蘇州 215400）

“起立”這個動作人們每天都要做很多次，但對于此過程中地面是否對人做功這個問題，不少人都會認為：地面對人有支持力作用，人起立過程中重心又上升了一段距離，因此地面對人做了功.其實，問題在于對功的認識并不到位，因而不能給出正確的回答.

下面，筆者從兩個不同的角度對該問題進行分析，并對地面在該過程中到底起到怎樣的作用做一些初步的探索.

1 突出位移——深入理解功的概念

在高中物理教材中對功是這樣定義的：如果一個物體受到力的作用，并在力的方向上發生一段位移，這個力就對物體做了功.這句話的主語是“物體”，因而對于定義中的“位移”，自然也就很容易被人理解成是“物體的位移”.其實，這里的“位移”應該是指“力的作用點的位移”，它不能被簡單地看成是“物體的位移”.

圖1

圖2

如圖1和圖2所示，兩圖中物體均在拉力F的作用下沿水平面運動，且拉力的大小和方向均保持不變.圖1中拉力作用點的位移與物體的位移相等，而圖2中拉力作用點的位移s′＝2scos，與物體的位2移并不相等.事實上，對于單個質點來說，“物體的位移”與“力的作用點的位移”是統一的.但是，當物體不能看作質點時，功的概念中的所指位移就只能是“力的作用點的位移”.人在起立過程中，由于軀干與腿和腳等部分的運動并不相同，人不能再當成一個質點來處理，而應該對腳部（支持力的作用點所在處）進行研究；但是腳又始終沒動，因此支持力的“作用點的位移”為零，地面對人自然也就沒有做功.

從功能關系的角度來講，如果地面對人做了功，那么地面的能量就會有所減少，轉化為人的機械能.但實際上地面的能量并沒有發生任何變化，可見地面并未對人做功.一個不爭的事實是：無論如何也不可能不用做任何的“努力”，而僅僅指望著地面會自發地對人做功，從而使人能夠站立起來.

2 構建模型——創新分析在人起立過程中到底誰對人做功

既然人起立過程中，地面并未對人做功，那么到底是什么力對人做功了呢？又是什么形式的能量轉化為人的機械能呢？借助下面兩個力學模型，可以說明問題.

如圖3所示，人起立之前呈曲膝下蹲姿勢，可設膝關節彎曲的角度為θ.起立過程中由于大、小腿部的肌群收縮，對膝關節產生作用力，可近似認為它們的合力F的方向水平向左.很明顯，在人起立過程中力F對人做了正功，從而將人體內的化學能一部分轉化為人的機械能（另一部分轉化為內能）.

圖3

在圖3的基礎上進一步將力學模型抽象，可得到如圖4所示的簡化模型：人腿相當于一根處于壓縮狀態的彈簧，上半身和腳部則分別相當于質量為m1和m2的兩個物體A和B.人起立時腿部肌群的作用力做功的過程，就相當于模型4中彈簧恢復形變的過程.此時彈簧的彈力對外做正功，將彈性勢能轉化為m1的機械能，這就相當于人腿部肌群的作用力做功時，將人體內的化學能一部分轉化成了人的機械能.

圖4

可見，在人起立過程中對人做功的實際上是人的內力.其實，關于人的內力做功的例子還有很多，如跳高、跳遠、跑步、蹦床、蕩秋千、爬桿、騎自行車等過程，人的內力均對人做了正功.

筆者也見到有些人利用動能定理的知識來判斷，過程如下.

式中W外為外力功，WFN為支持力的功，WG為重力功，ΔEk≥0，又因為人起立過程中重力做負功，故

所以他們得出結論WFN＞0，即支持力對人做正功.

得出這一錯誤結論的原因主要是不了解質點組的動能定理，其表達式為W外＋W內＝ΔEk，即質點組動能的增量在數值上等于一切外力所做功與一切內力所做功的代數和.在高中物理教材中所講的動能定理其實是指單個質點的情況，而對單個質點來說，所有的力均為外力；因此久而久之，很多人就容易以偏概全，誤以為質點組動能的增量在數值上也等于合外力所做的功，從而利用W外＝ΔEk來進行判斷；殊不知質點組動能的改變完全可以通過內力做功來實現.

3 拓展思維——初步探索地面在人起立過程中所起的作用

既然人起立過程中對人做功的是人的內力，而非地面，那為什么人又總要在腳著地時才容易站起來呢？若腳不著地人還能“站起來”嗎？地面在人起立過程中到底起到什么樣的作用呢？借助圖4所示的簡化模型，可以進行一些初步的探索.

由于人在一次起立過程中最多能夠轉化多少能量出來是由他自身的能力決定的，對于一個確定的人來說，可以近似地認為該能量是一定的.對應到圖4所示的模型中，不妨就可以設彈簧彈性勢能為某一個定值Ep.如果人腳著地，那么圖4中B的速度可認為始終為零，人起立過程中彈性勢能Ep就全部轉化為A的機械能.如果人腳不著地，且不借助其他外力，A又會獲得多少機械能、多大的速度呢？

為了更好地計算A獲得的機械能以及速度的大小，以人的質心為參照建立坐標系（非慣性系）.由于地球引力的作用，該質心會以加速度g自由下落.因而在這一坐標系中，A和B除受到自身的重力m1g和m2g之外，還要分別受到向上的慣性力F1＊＝m1g和F2＊＝m2g；A和B組成的系統還應滿足動量守恒.

設彈簧恢復形變時A和B在質心系中的速度分別為v1和v2，利用動量守恒和能量的知識，可列出下列兩個方程

解方程組可得到A的動能Ek以及它在質心系中的上升速度v1分別為

很顯然Ek＜Ep，說明此時人上半身獲得的機械能小于腳著地時的情況.

若再進一步設彈簧恢復形變所需的時間為Δt，則該過程中質心的速度變化量為Δv＝gΔt.由此可求出A此時相對于地面的速度為

對不同的人來說，Ep和Δt的取值一般是不同的.因此，上式中A的對地速度v就可能為正值、負值或為零.若v＞0，則表示人的質心雖然向下運動，但人的上半身A的對地速度卻是向上的.那么在地面上的其他觀察者看來，該人看上去就好像在向上“站起來”.若v＝0，則該人看上去就好像在同一高度上“滯空”了一段時間.

央視第10套節目在2008年7月12日做過一臺節目——“體育科學·超級飛人”.科學家分析了邁克爾·喬丹的罰球線起跳扣籃視頻.如圖5中所示，在起跳升高時，喬丹的身體并不是完全舒展開的，到達最高點后，在即將要開始下落時，通過肌肉的力量將略微縮起的身體完全舒展開，使得他的上身可以保持短暫的高度停留（仔細觀察圖5中的中間三個姿勢，其頭部幾乎處于同一高度上），視覺上就好像人“停滯”在空中一樣.

圖5

由此可見，在人腳不著地，且不借助其他外力的情況下，即使是像喬丹這樣最優秀的籃球運動員也只能做到短暫的滯空，即v＝0的情形；普通人要想做到v＞0的情形，那幾乎是不可能的.到此，就不難發現：在人起立過程中，地面雖不對人做功，但正是由于地面的作用，才使得更多的能量轉化為人上半身的機械能，人自然也就更容易站起來了.

1 漆安慎，杜嬋英.力學基礎.北京：高等教育出版社，1982

2 丁英偉.人走路時靜摩擦力做功嗎.物理教學探討，2006（21）

3 劉勝.淺析幾種內力做功問題.物理教學探討，2010（6）