再談帶電微粒在復合場中的運動問題

魏 強

（屏山縣中學校 四川 宜賓 645350）

文獻［1］中就部分教師和學生對帶電粒子在復合場中運動這一類問題存在的錯誤理解和認識舉了一例，并做了詳盡的分析.題目如下.

題目：一電荷量為q的小球固定在與水平面平行的足夠大的勻強磁場中，如圖1所示.若勻強磁場的磁感應強度為B，小球的質量為m，自由釋放后，試分析小球的運動情況并求出其下落的高度.

圖1

錯解：小球自由釋放，在重力作用下開始運動.在運動過程中，小球受到重力和洛倫茲力作用.在這兩個力的作用下，重力改變物體的速度大小，洛倫茲力不斷改變速度的方向.當小球運動到某一位置的時候，重力和洛倫茲力剛好等大反向時，物體開始做勻速直線運動.則有

又因為小球在運動過程中，洛倫茲力不做功，由機械能守恒定律有

解得

文中作者就定性地對小球運動到最低點的受力情況進行了分析，并指出了小球在最低點處不可能做勻速直線運動.但就此得出此題所給條件不足，不能求出小球在最低點運動的速度和下落高度.筆者不敢茍同.

不妨從微分方程入手來研究這一問題，不但可以定量地得出小球的運動情況，還可以求出小球在最低點運動的速度和下落高度.

正解：以小球下落點為坐標原點建立xOy坐標系，如圖2所示.任選小球下落過程中的一點P.根據牛頓第二定律建立小球的運動微分方程

圖2

式（1）對時間t積分，得

其中C為常量，根據初始條件，t＝0時

化簡為

將（3）式代入（2）式得

該對應齊次方程的通解為

非齊次方程的特解設為

代入（4）式得

所以

該非齊次方程的通解為

將其對時間求導得

根據初始條件，t＝0時，x＝0，x·＝0得

式（2）對時間t積分得

由初始條件，t＝0時，x·＝0，y＝0得

代入（5）式得

將（6）式代入（1）式得

該齊次方程通解為

非齊次方程的特解設為

代入（7）式得

該非齊次方程的通解為

上式求導得

根據初始條件，t＝0時，y·＝0，y＝0得

最后得到了帶電小球的運動方程

從帶電小球的運動方程中，可以看出小球的運動具有周期性的，由數學方法求周期.可從運動方程中得到

將小球的運動方程（8）、（9）式變形可得

討論：（1）由小球在y軸上的運動方程為

可知，只有當cosqBt＝－1時，y取最大值，即為m

也?就是小球下落的最大高度.

由＝π得，小球的運動時間為

此時的速度也可用求導的方法求出

速度方向沿x軸方向.

此時的洛倫茲力為f洛＝qv合B＝2mg，方向豎直向上.可見，小球的合力不為零，不可能做勻速直線運動.也可據此求出小球下落的高度

圖3

從（8）式與（9）式中消去t可得到軌道方程，根據（8）式與（9）式作t，x，y的數值表后也可得到y與x的函數關系，從而可得到小球的運動軌道如圖3所示.

1 胡均宇.關于帶電粒子在復合場中運動的題目誤解分析.物理通報，2010（3）：43～44