再談帶電微粒在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題

魏 強(qiáng)

（屏山縣中學(xué)校 四川 宜賓 645350）

文獻(xiàn)［1］中就部分教師和學(xué)生對(duì)帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)這一類問題存在的錯(cuò)誤理解和認(rèn)識(shí)舉了一例，并做了詳盡的分析.題目如下.

題目：一電荷量為q的小球固定在與水平面平行的足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，如圖1所示.若勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，小球的質(zhì)量為m，自由釋放后，試分析小球的運(yùn)動(dòng)情況并求出其下落的高度.

圖1

錯(cuò)解：小球自由釋放，在重力作用下開始運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過程中，小球受到重力和洛倫茲力作用.在這兩個(gè)力的作用下，重力改變物體的速度大小，洛倫茲力不斷改變速度的方向.當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到某一位置的時(shí)候，重力和洛倫茲力剛好等大反向時(shí)，物體開始做勻速直線運(yùn)動(dòng).則有

又因?yàn)樾∏蛟谶\(yùn)動(dòng)過程中，洛倫茲力不做功，由機(jī)械能守恒定律有

解得

文中作者就定性地對(duì)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的受力情況進(jìn)行了分析，并指出了小球在最低點(diǎn)處不可能做勻速直線運(yùn)動(dòng).但就此得出此題所給條件不足，不能求出小球在最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度和下落高度.筆者不敢茍同.

不妨從微分方程入手來研究這一問題，不但可以定量地得出小球的運(yùn)動(dòng)情況，還可以求出小球在最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度和下落高度.

正解：以小球下落點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立xOy坐標(biāo)系，如圖2所示.任選小球下落過程中的一點(diǎn)P.根據(jù)牛頓第二定律建立小球的運(yùn)動(dòng)微分方程

圖2

式（1）對(duì)時(shí)間t積分，得

其中C為常量，根據(jù)初始條件，t＝0時(shí)

化簡(jiǎn)為

將（3）式代入（2）式得

該對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為

非齊次方程的特解設(shè)為

代入（4）式得

所以

該非齊次方程的通解為

將其對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得

根據(jù)初始條件，t＝0時(shí)，x＝0，x·＝0得

式（2）對(duì)時(shí)間t積分得

由初始條件，t＝0時(shí)，x·＝0，y＝0得

代入（5）式得

將（6）式代入（1）式得

該齊次方程通解為

非齊次方程的特解設(shè)為

代入（7）式得

該非齊次方程的通解為

上式求導(dǎo)得

根據(jù)初始條件，t＝0時(shí)，y·＝0，y＝0得

最后得到了帶電小球的運(yùn)動(dòng)方程

從帶電小球的運(yùn)動(dòng)方程中，可以看出小球的運(yùn)動(dòng)具有周期性的，由數(shù)學(xué)方法求周期.可從運(yùn)動(dòng)方程中得到

將小球的運(yùn)動(dòng)方程（8）、（9）式變形可得

討論：（1）由小球在y軸上的運(yùn)動(dòng)方程為

可知，只有當(dāng)cosqBt＝－1時(shí)，y取最大值，即為m

也?就是小球下落的最大高度.

由＝π得，小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

此時(shí)的速度也可用求導(dǎo)的方法求出

速度方向沿x軸方向.

此時(shí)的洛倫茲力為f洛＝qv合B＝2mg，方向豎直向上.可見，小球的合力不為零，不可能做勻速直線運(yùn)動(dòng).也可據(jù)此求出小球下落的高度

圖3

從（8）式與（9）式中消去t可得到軌道方程，根據(jù)（8）式與（9）式作t，x，y的數(shù)值表后也可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系，從而可得到小球的運(yùn)動(dòng)軌道如圖3所示.

1 胡均宇.關(guān)于帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的題目誤解分析.物理通報(bào)，2010（3）：43～44