用相對速度解決圓心是動點的圓周運動的動力學問題

趙燦冬

（靖江高級中學 江蘇 泰州 214500）

【例1】如圖1所示，質量為M的光滑半圓形凹槽放在光滑水平面上，凹槽的半徑為R，質量為m的小球從凹槽的左側最高點由靜止釋放，求當小球滑至凹槽的最低點時，小球對凹槽的壓力.

圖1

解析：根據動量守恒定律的相關知識可知，小球的運動軌跡不是圓，但小球相對于半圓形凹槽的運動是一個圓.所以本題可以以半圓形凹槽為參考系來解決問題.

首先計算小球運動到最低點時，小球和半圓形凹槽的速度.

當小球滾到凹槽的最低點時，根據水平方向動量守恒

根據機械能守恒

當小球滾到凹槽的最低時

式中v相是小球相對于半圓凹槽的相對速度.答案是肯定的，但疑問是有的.

為什么可以用相對速度來計算？

本題在求解的過程中，有一個問題沒有說清：相對于半圓形凹槽做圓周運動就一定可以這樣列式求解嗎？回答是否定的，因為在本題中還有一個隱藏的條件：當小球在最低點時，圓弧槽的加速度為零.

分析半圓形凹槽的受力可知，在水平方向半圓形凹槽不受力的作用，所以其加速度為零.而小球相對于半圓形凹槽做圓周運動，此時，相對于半圓形凹槽，其相對加速度

所以，球對地加速度

因此本題可以用相對速度計算向心力來求解的關鍵是半圓形凹槽的加速度為零，而不是選擇了半圓形凹槽為參考系.實際上，由于在整個過程中，半圓形凹槽做變速運動，不是真正良好的慣性系.本題不需要選擇其為參考系，只要根據運動的相對性和加速度的牽連關系求出小球的對地加速度即可求解.

有些情況下，物體可以相對于一個有加速度的另一物體做圓周運動，這時也可以根據牽連關系求解.

圖2

【例2】如圖2所示，用長為l的輕繩a和b豎直懸掛質量均為m的小球A和B，某時刻，突然給球A一個水平向左的沖量I后，求此時繩a和繩b的張力.

錯解：因為B球相對于A球做圓周運動，所以B球的加速度為

分析B球的受力，根據牛頓第二定律

解出

分析球B的受力，根據牛頓第二定律

解出

再對球A受力分析，根據牛頓第二定律

解出

2005年江蘇高考的最后一道題在參考答案中就注意到了這一問題，并給出了說明.

【例3】如圖3所示，三個質量均為m的彈性小球用兩根長均為L的輕繩連成一條直線而靜止在光滑水平面上.現給中間的小球B一個初速度v0，方向與繩垂直.小球相互碰撞時無機械能損失，輕繩不可伸長.求當三個小球處在同一直線上時，繩中的拉力F的大小.

圖3

解析：當三個小球再次處在同一直線上時，則由動量守恒定律和機械能守恒定律，得

以后三球還會處于同一直線，三球的速度回復到初始狀態

小球A和C均以半徑L繞小球B做圓周運動，在兩種情況下，當三個小球處在同一直線上時，以小球B為參考系（小球B的加速度為零，為慣性參考系），小球A（C）相對于小球B的速度均為

所以，此時繩中拉力大小為

本題特別強調了小球B的加速度為零這一特殊條件.

用這一方法可以求例1中小球在任意位置的速度嗎？回答是肯定的，只是比較繁.

圖4

例1解法2：設小球在某時刻和球心的連線與水平方向夾角為θ，如圖4（a）所示.

此時，半圓形凹槽的速度大小為vM，小球的速度大小為vm，小球速度的水平分量大小為vmx，豎直分量大小為vmy，如圖4（b）.

根據小球相對于半圓形凹槽的速度沿圓弧的切線方向，可得

根據水平方向動量守恒

根據機械能守恒

可得

由圖4（b）可知

解得

設半圓形凹槽對小球的作用力為N，則半圓形凹槽的加速度為

沿半徑方向的分量為

所以小球對地沿半徑方向的加速度為

分析小球的受力，在沿半徑方向，根據牛頓第二定律得

解得

用相對速度解決動圓心的圓周運動問題拓寬了解題的思路，但是要注意分清圓心的加速度，這一點是關鍵.