關于S-半正規子群＊

朱志遠，鄒慧慧

（1.濰坊學院，山東 濰坊 261061；2.濰坊廣文中學，山東 濰坊 261041）

從某一特殊子群出發來研究原群的結構是有限群研究的一種重要方法，其中通過推廣正規子群為擬正規子群，半正規子群，弱擬正規子群等來研究群的結構是近年來有限群研究的熱點。

首先介紹本文用到的一些基本概念。G總表示一個有限群。G的子群H 稱為擬正規的，如果HK＝KH，?K≤G成立。H稱為s-擬正規的，如果H與G的所有Syiow子群可交換。作為擬正規，s-擬正規概念的推廣，陳重穆在文獻[2]中引進了陳半正規，s-半正規子群的概念。G的子群H 稱為陳-半正規的，如果對任意的K≤G，只要（｜K｜，｜H｜）＝1，就有HK＝KH；H 稱為s-半正規的，如果對任意的P｜｜G｜，只要（p，｜H｜）＝1，就有HP＝PH，其中，p∈Sylp（G）。在本文中我們研究s-半正規子群對有限群可解與超可解性的影響。

1 定義及主要引理

定義1[2]群G的子群H 叫做在G內陳半正規，如果對G的每個子群K，凡滿足（｜H｜，｜K｜）＝1者，均有HK＝KH。如果再限制K為G的Sylow子群，則稱H為G的s-半正規子群。

引理1[2，7]設H為群G的陳-半正規（半正規）子群。（1）若H≤K≤G，則H 在K 內陳-半正規（s-半正規）。（2）若H為p-群，N為G的冪零正規子群，則HN／N在G／N內陳-半正規（S-半正規）。

引理2 設N≤G，K?G，則必有N的極大子群N1，使NK／K的極大子群為N1K／K。

證明 設M／K是NK／K的任一極大子群，則M是NK的極大子群。設N1是N的一個極大子群，且M∩N≤N1，由N∩K≤N∩M≤N1得，N∩K≤N1∩K。顯然N1∩K≤N∩K，故N∩K＝N1∩K。又由，｜N1K｜＝｜N1｜｜K｜／｜N1∩K｜＜｜N｜｜K｜／｜N∩K｜＝｜NK｜得，N1K＜NK 。但M＝M∩NK＝（M∩N）K≤N1K＜NK，由M是NK 的極大子群可得，M＝N1K。

引理3[4]G設是有限群，N是G的極小正規子群，則F（G）≤CG（N）。特別地，若N交換，則有N≤Z（F（G））。

引理4[5]設G是可解外超可解群，且G滿足置換條件，則Φ（G）＝1且

（1）G＝NM，N∩M＝1，M＜·G，N 是G 之唯一的極小正規子群，因而CG（N）＝N。

（2）N 是非循環的初等Abel2-群，N≠P2∈Syl2（G），因而22≤｜N｜＜｜P2｜。

引理5[9]（1）對任意｛p，q｝∈π（G），若G存在｛p，q｝-Hall子群，則G為可解群。

（2）若G存在2′-Hall子群和3′-Hall子群，則G為可解群。

2 主要結果

首先從群G的Sylow子群及Hall子群入手來研究群G的可解性。

定理1 設H為G的Hall子群，若G滿足下列條件之一，則G為可解群。

（1）H 可解，且對任意p∈π（G）＼π（H），有G的Sylow p-子群在G中s-半正規；

（2）H在G中有可解補K，H的所有Sylow子群均在G中s-半正規。

證明 （1）任取p1，p2∈π（G），。若p1，p2∈π（H），由于 H 為G 的可解 Hall子群，從而G有｛p1，p2｝-Hall子群。若p1，p2至少有一個不屬于π（H），不妨設p1?π（H），則G的Sylow 子群P1在G中s-半正規。于是，對P2∈Sylp2（G），有P1P2成群，且P1P2為G 的｛p1，p2｝-Hall子群。由引理5（1）知，G 為可解群。

（2）任取p，q∈π（G）。

（i）若p∈π（H），令P∈Sylp（H），Q∈Sylq（G），則P在G 中s-半正規，從而PQ成群。于是G有｛p，q｝-Hall子群PQ。

（ii）若p?π（H），此時，若q∈π（H），則該情形轉化為上述情形（i）。若q?π（H），則p，q∈π（K）。由于K 可解，于是K 存在｛p，q｝-Hall子群K1，顯然K1也是G的｛p，q｝-Hall子群。

從而G總存在｛p，q｝-Hall子群。由引理5（1）知，g為可解群。

定理2 若｛2，3｝∈π（G），且對素數p≠2，3，G的Sylow p-子群均在G中s-半正規，則G為可解群。

證明 令π（G）＝｛2，3，p1，p2，…，pn｝，且設Pi∈Sylpi（G），其中i＝1，2，…，n。P∈Syl2（G），Q∈Syl3（G）。由假設條件知，QP1成群，且QP1為G的｛3，p1｝-Hall子群。再由P2在G中s-半正規知，QP1P2為G的｛3，p1，p2｝-Hall子群。如此不難得出，G 有2′-Hall子群QP1P2…Pn。同理，G 有3′-Hall子群PP1P2…Pn。因此，由引理5（2）知，G為可解群。

在下面幾個定理中。我們主要從極大子群的角度來研究群G的超可解性。

定理3 設M為G的具有素數冪指數的子群，若M的所有Sylow子群及它的Sylow子群的極大子群在G中s-半正規，則G為超可解群。

證明 令G為極小階反例。

設｛p1，p2，…，pn｝是｜G｜的素因子集合，取Pi∈Sylpi（G），i＝1，2，…，n。由條件不妨設｜G∶M｜＝pr1，r≥1，則Pi∈Sylpi（M），i＝2，…，n。再取Q1∈Sylp1（M）。因為P2在G 中s-半正規，故P1P2成群，且P1P2為G的Hall子群。而對P3∈Sylp3（G），有P3∈Sylp3（M），由P3在G中s-半正規，得P1P2P3做成G的Hall子群。由此不難看到G有一切可能階的Hall子群，故G為可解群。

設N是G的極小正規子群，由引理1與引理2知，MN／N的Sylow子群及它的Sylow子群的極大子群在G／N中s-半正規，且易知｛Q1N／N，P2N／N，…，PnN／N｝是MN／N的一個Sylow 系。由G的極小性得，G／N超可解。于是G／N是可解的外超可解群，從G＝NA而有引理4的性質，其中A＜·G。若N不是p1-群，不妨設N是p2-群，則N≤P2，從而P2＝P2∩G＝P2∩NA＝N（P2∩A）。此時必有p2的一個極大子群T2，使得N≤T2，若否，N包含在P2的任一極大子群之中，則N≤Φ（P2），由P2＝N（P2∩A）得P2＝P2∩A，即P2≤A。于是N≤P2≤A，矛盾。由T2，P3…，Pn在G 中s-半正規，得K＝P1T2P3…Pn為G的一個極大子群，且｜G∶K｜＝p2，N≤K。于是G＝KN，｜N∶N∩K｜＝｜NK∶K｜＝｜G∶K｜＝p2。由N的極小性知K∩N＝1，從而｜N｜＝p2，故G為超可解群，矛盾。若N是p1-群，則N≤P1，此時必有P1的一個極大子群T1，使得N≤T1，于是L＝T1P2P3…Pn為G的一個極大子群，且｜G∶K｜＝p2，N≤L。同上可得｜N｜＝p1，故G為超可解群，矛盾。

推論1 群G有指數為素數的子群H，若H的所有Sylow子群及它的Sylow子群的極大子群在G中s-半正規，則G為超可解群。

定理4 設群G滿足置換條件，若G的Sylow2-子群的極大子群在G中s-半正規，則G為超可解群。

證明 設G為極小階反例。

由于G滿足置換條件，故G可解。對任意1≠K?G，若2?π（G／K），則G／K為滿足置換條件的奇階群，由文獻[8]可知，G／K 超可解。若2∈π（G／K），G／K 滿足假設條件，由歸納假設，G／K 超可解。這樣，G為可解-外超可解群。由引理4，G＝NM，N∩M＝1，M＜·G。N是G之唯一的極小正規子群。

令P∈Syl2（M），則PN∈Syl2（G）。取P1為PN 的包含P 的極大子群，由于｜N｜＝2α，α＞1，從而P＜P1。由M 可解，可令M＝M2′P。其中M2′為M 的Hall 2′-子群。由P1在G中s-半正規知，M2′P1成群。于是，M＝M2′P＜M2′P1＜M2′PN＝G。這與M為極大子群矛盾。從而極小反例不存在，G為超可解群。

定理5 設M＜·G，｜G∶M｜＝p（p為素數），且M在G中s-半正規，若G滿足下列條件之一，則G為超可解群。

（1）M 為循環群。

（2）M 為冪零群，且F（G）≤M。

證明 由條件知M總是冪零群，則由文獻[6]中定理4知，G為可解群。

（1）設N是G的任一極小正規子群，則N為初等交換群。若N∩M＝1，則G＝MN。從而｜N｜＝｜G∶M｜＝p，且有G／N?M超可解。從而G超可解。若N∩M≠1。假設NM＝G。由于N∩M?M，N∩M?N。從而N∩M?MN＝G。由N的極小性知，N∩M＝N。于是N≤M，G＝M。矛盾。故NM＜G，此時M＝NM，從而N≤M。由M為循環群知，N亦為循環群，又N為初等交換群，從而｜N｜＝p。顯然G／N滿足定理條件，由歸納知，G／N超可解。因此，G為超可解群。

（2）若Φ（G）≠1，則M／Φ（G）＜·G／Φ（G），且F（G／Φ（G））＝F（G）／Φ（G）≤ M／Φ（G）。顯然 M／Φ（G）冪零且｜G／Φ（G）∶M／Φ（G）｜＝｜G∶M｜＝p。由引理1.1知M／Φ（G）在G／Φ（G）中s-半正規，由歸納，G／Φ（G）超可解。從而G為超可解群。

若Φ（G）＝1。由G可解知，F（G）＝N1×N2×…×Ns，其中，Ni（i＝1，2，…s）為G 的極小正規子群。由F（G）≤M 知，必存在Nk（1≤k≤s），使Nk≤M，于是G＝MNk。而M∩Nk?M，M∩Nk?Nk，從而有M∩Nk＝1。故G／Nk?M，由M冪零，顯然G／Nk超可解。又｜Nk｜＝｜G∶M｜＝p，因此G為超可解群。

[1]陳重穆.內外∑-群與極小非∑-群[M].重慶：西南師范大學出版社，1988.

[2]陳重穆.關于Srinivasan的一個定理[J].西南師范大學學報，1987，12（1）：1-4.

[3]Li Y，Wang Y.The influence of the properties of maximal subgroups on the structure of a finite group[J].數學進展，2007，36（5）：599-606.

[4]徐明曜，黃建華，李慧陵，等.有限群導引（上，下）[M].2版.北京：科學出版社，2001.

[5]郭秀云.有限群為超可解群的充要條件[J].數學雜志，1989，9（2）：161-164.

[6]趙艷萍，徐習明.關于有限群可解性的若干結果[J].青島大學學報，1995，8（3）：16-19.

[7]黎前修.極小子群與超可解性[J].數學雜志，1996，16（2）：129-132.

[8]Bray H G，Deskins W E，Johnson D，等.冪零與可解之間[M].張遠達，文志雄，朱德高，等，譯.武漢：武漢大學出版社，1988.

[9]Arad Z，Ward M B.New criteria for the solvability of finite groups[J].J Algebra，1982，77（1）：234.

[10]陳順民，張良才.關于超可解群的若干結果[J].南京師大學報：自然科學版，2005，8（2）：33-37.