井筒套管對井間電磁成像測井信號傳輸的影響

陸 洪 劉 菊 陳林如

（中國電波傳播研究所，山東 青島266107）

引 言

井間電磁成像測井［1－5］是近年來發展起來的一種通過測量井間傳播的電磁信號反演得到井間地層構造、儲層和油、氣分布的二維乃至三維的電阻率分布的方法，它是傳統測井技術的重大發展。井間電磁成像測井是將低頻電磁發射和接收陣列裝置分別放置于2口已完鉆的井中，發射信號的頻率范圍為5～1 000Hz，井間距離一般小于1km，通過改變發射天線和接收陣列天線在井中的深度，獲得收發天線相對不同位置時，接收信號的幅度與相位的一系列測量值，然后根據這些測量數據，反演出井間地層導電率的空間分布。此種測井技術所用的發射天線一般采用繞制在坡莫合金做成的芯棒上的線圈，芯棒順井筒垂直放置，接收傳感器亦采用繞制在磁芯上的線圈，磁棒放置在垂直或水平方向接收磁場，由于測量距離遠大于發射線圈與接收線圈的尺寸，故天線可理想化為磁偶極子。

很多鉆井完鉆后，為了防止坍塌，會加裝井筒套管，套管的材質可能是鋼質的，也可能是玻璃纖維的，加裝套管，特別是鋼質套管后，套管會對發射天線起屏蔽作用，使接收信號大為減弱，本文試圖針對此問題定量地分析套管的材料、尺寸，以及測井工作頻率對接收信號的影響。

1 問題的物理模型

為了使研究的問題能用解析方法分析，以及突出井筒套管對信號傳輸的影響，本文將所研究的物理問題理想化為如圖1所示的模型。

圖1 井筒套管模型示意圖

其要點是：1）地層的電導率分布是均勻的；

2）井筒的套管是無限長圓柱形；

3）發射天線是位于井筒中央ρ＝0，

z＝0處的垂直磁偶極子。在此物理模型下，區域1是井筒中的泥漿層，電導率記為σ1，磁導率為μ0，區域2是套管管壁，電導率記為σ2，磁導率記為μr2μ0，最外層是均勻地層，電導率記為σ3，磁導率為.

在此模型下，由于地層的旋轉對稱性，各個區域的電磁場僅有Hρ、Hz和Eφ三個分量，且它們應滿足麥克斯韋方程。取時諧因子為e－jωt，電磁場用磁赫茲矢量位 Πm表示［6］，令

則赫茲矢量位Πmi在各個區域應滿足赫姆荷茲方程

式中：M＝I·S·N是激勵源的有效磁矩；S是線圈的面積；N為線圈有匝數；ki為電磁波在第i區中的傳播波數，可以表示為

2 各個區域電磁場的解析表達式

在圖1所示的物理模型下，由于方位的對稱性，可以判斷在各個區域，Πmi應僅有一個z分量，且它對方位φ是對稱的。故可知，在此坐標下，電場和磁場可分別表示為

將拉氏算子▽2在柱坐標下展開，考慮到位函數對方位的對稱性，式（2）可改寫為

在區域2和3中，并沒有場源，式（5）的右端應為0.令Πiz＝Z（z）Fi（ρ），代入式（5）分離變量后可得

式（6）中的解可取為e±jλz，因為Eiφ在各個區域的分界面上應連續，故位函數對z的變化應同步，故三個區域內位函數對z的變化都取一組。考慮到在區域1內，場源位于z＝0處，故在z＝0處，式（6）的右端應出現奇點，故可取

式（7）是典型的零階貝塞爾方程，它的解應是圓柱函數。在區域3，ρ≥d，應該只有從井筒中激勵場源產生的向外傳播的電磁場，故應取

在區域2中，a≤ρ≤d，應同時有向外和向內傳播的二個波，故可取

區域1包含場源，當觀察點無限接近場源，套管及井筒外的介質對觀察點的場應沒有多大影響，此時位函數應接近于全部介質參數都與區域1中參數一樣的均勻空間中的位函數。而均勻空間中磁偶極子產生的位函數已知為

當實際存在管壁和周圍不同介質時，井筒內的電磁場除了場源產生的向外輻射場外，還應有由反射產生的局部場，故應取

由此，三個區域的電磁場位函數分別表示為

由此得出在各個區域的電場分量可表示為

由分界面上Eφ和Hz的連續性可得

由式（27）和式（29）可解得

式中

將式（30）和（31）代入式（26）和（28）可解得

式中

特別地當套管不存在，即區域2的媒質參數與區域3完全一樣，即γ2＝γ3，μr2＝1，此時可看出，KA＝1，KB＝0.

3 套管外面場的分析討論

井筒外面場的解析表達式已求出，由于地層是有耗介質，這些積分表達式實際上收斂都較快，可以用數值積分方法算出，在數值積分前還可做一些簡化。首先因γi是λ的偶函數，且當λ是實數時，0≤argγi＜π／2，即在第一象限。故式（19）、（22）、（25）可分別改寫為

由于井筒一般較細，接收Eφ分量的電極無法放置在井筒內，實際中多選擇接收Hz分量。以下計算中，如無特別說明，激勵源的磁矩取M＝1 A·m2，接收天線位置z＝0m，井筒內一般填充有泥漿，電導率取σ1＝0.1S／m，地層電導率取σ3＝0.01S／m，取套管外半徑d＝0.1m.

3.1 套管壁厚的影響

假設套管是鋼制的，取σ2＝5×106S／m，μr2＝2 000.圖2為頻率10Hz，管壁厚度不同時，Hz的幅度與相位隨距離的變化。

從圖2可以看出管壁越厚，場強的衰減越大，管壁厚度每增加5mm，Hz的幅值大約減小27.03 dB，比平面波通過厚度為5mm的均勻介質的衰減e－0.005α2（－27.3dB）略小；在鋼制介質中10Hz電波的波長為10mm，即管壁厚度每增加5mm，電波的相位變化180度，從圖2（b）可以看出情況正是如此。

3.2 套管材質的影響

圖3為套管材質不同時，Hz的幅度隨距離的變化曲線，玻璃鋼的電導率為10－4S／m，相對磁導率取1，鋁的電導率為3.5×107S／m，相對磁導率也為1，裸井時，即認為σ2＝σ3＝0.01S／m，μr2＝μr3＝1.

從圖3可以看出，套管為玻璃鋼與裸井差異不大，信號幾乎無衰減地通過，鋁的屏蔽效果比鋼小，比玻璃鋼大。即在信號頻率相同的情況下，套管對信號的屏蔽取決于套管的電導率和磁導率。

3.3 工作頻率不同時場的分布

假設套管是鋼制的，取σ2＝5×106S／m，相對磁導率μr＝2 000.圖4為工作頻率不同時，Hz的幅度隨距離的變化。

假設套管是玻璃鋼的，取σ2＝10－4S／m，相對導磁率μr＝1.圖5為工作頻率不同時，Hz隨距離的變化。

從圖4和圖5可以看出有鋼制套管時，頻率高吸收大，裸井或玻璃鋼管在400m范圍內，因為是近區準靜場，即k3ρ≤1，場的幅度與頻率無關。

4.4 地層電導率

假設套管是鋼制的，取σ2＝5×106S／m，相對磁導率μr＝2 000.圖6為頻率10Hz，地層電導率σ3不同時，Hz隨距離的變化。

圖6 套管鋼制，地層電導率不同時Hz隨距離的變化

從圖6可以看出，隨著地層電導率的增大，Hz的幅度增大，但地層電導率在0.001～0.2S／m變化，距離在500m范圍內幅度的差異不是很明顯；相位與地層的電導率密切相關，可通過幅度與相位的總體變化，確定地層的電導率。

4 結 論

將發射天線看作位于無限長圓柱形井筒套管中央的垂直磁偶極子，建立了井間電磁成像測井信號傳輸的三層模型，井筒套管內外是分布均勻的柱狀介質，把電磁場用磁赫茲矢量位表示，推導了各個區域的電磁場積分表達式。最后用數值積分計算了不同情況下的電磁場分布，分析了套管電導率、厚度及測井工作頻率對測井信號幅度與相位的影響。得出以下結論：

1）套管對測井信號的屏蔽效果取決于套管材質的電導率與磁導率，應盡量選擇二者都小的材料，如玻璃鋼；

2）井筒套管壁厚的增加會增加對信號的屏蔽作用；

3）鐵磁性材料套管對高頻信號的衰減較大；

4）可從接收信號的幅度和相位中提取出地層的電導率信息。

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