基于高階累積量實現數字調相信號調制識別

孫鋼燦 王忠勇 劉正威

（鄭州大學信息工程學院，河南 鄭州450001）

引 言

通信信號調制識別是認知無線電的重要組成部分，一直是研究熱點和難點［1－11］。基于統計量特征值的方法是調制識別領域的重要研究方向，Nandi［5］使用2階矩特征值實現調制識別，Dobre［4］總結了基于2、3和4階矩特征值的調制識別方法。高階累積量相對高階矩具有抑制高斯噪聲的優點，張賢達［12］對累積量的計算和性質進行了研究。Swami［6］應用累積量特征值分類常用數字通信信號，陳衛東［7］和Hsiao－Chun［9］研究了基于4階累積量的抑制多徑干擾的調制識別方法，馮祥［8］提出一種將1個4階累積量值和1個6階累積量值相結合的調制識別方法，Orlic［10－11］提出了基于1個6階累積量值的調制識別方法。這些研究表明：高階累積量相對于高階矩具有抑制高斯噪聲優點。

本文介紹了基于高階累積量構造調制識別特征值的方法，推導出了該特征值抑制多徑干擾性能的一般表達式，證明累積量階數越高，特征值抑制多徑干擾的性能越好。基于此原因，提出了完全基于6階累積量的調制識別分類特征值，給出了進行MPSK信號調制方式識別的方法。試驗證明：6階累積量特征值的抑制多徑信道干擾能力要遠高于4階累積量，抑制高斯噪聲的性能4階累積量要優于6階累積量，通過分析試驗數據給出了不同信道情況下4、6階累積量分類特征值的選擇方法。

1 基于高階累積量的調制識別特征值抑制多徑干擾性能分析

給出經過多徑信道信號的數學模型；采用累積量值相除的方法，構造出消除信道特性影響的調制方式識別特征值；分析比較不同階累積量特征值抑制多徑干擾性能。

多徑信道建模為有限沖激響應（FIR）模型，其沖激響應表示為

式中：信道FIR模型的階數為L＋1；hi（i＝0，1，…，L）是濾波器的抽頭系數。

在接收機匹配濾波器輸出端得到的碼元同步采樣復信號序列表示為

式中：x（i）為第i個發送碼元序列，對MPSK信號x∈｛exp（j2π（m－1）／M｝，假設x（k）是獨立分布的隨機過程，且均值為0；h（i）為第i條路徑的沖激響應；L＋1為多徑數；n（k）是均值為零、方差為σ2的復高斯白噪聲；N為觀測到的碼元個數；假設h（0）＝1，且為主徑信道傳輸系數；E為主徑信號平均功率；θ是未知的載波相位偏差。

設信號序列x（i）的p（偶數）階累積量表示為cx，pq（l1，l2，…，lp），其中l1，l2，…，lp表 示 每個序列的時延值，q（q≤p／2）表示取共軛的序列個數。

考慮到發送碼元序列x（i）是獨立同分布的，所以其高階累積量只有在l1＝l2＝…＝lp＝0時有非零值，此處令

利用高階累積量函數的可加性質、高斯噪聲高階累積量值為零的性質，結合式（2）、（3）可得

式中：cr，pq表示過多徑信道后序列r（k）的p階累積量；l1＝l2＝…＝lp＝0；q為取共軛的序列個數。采用式（4）的累積量值，通過q值不同的兩個累積量值相除，得到消除信道特性影響的調制識別特征值：

式中f為調制方式分類特征值。

從式（5）可以看出：只有1條路徑時，多徑數L＋1為1，信道的影響能通過取模后約去，也就是和沒經過信道信號的特征值相等。當多徑信道環境下，通過多徑信道后的高階累積量因為多徑信道影響而不和調制信號發送序列的高階累積量相等。原因是累積量表達式中取共軛的序列個數不同，多徑信道對計算出的累積量值的影響表現為多個復數求和形式，取模后不再相等，多徑信道將會對調制識別特征值計算結果產生影響。

同時可以觀察到：式（5）中信道抽頭系數hi的指數值和累積量階數是相等的。假設最大徑的沖激響應系數為1，其他徑的沖激響應系數都要小于1.所以，當累積量階數越大時，通過高次冪的運算，其他徑相對最大徑的值將變小。在滿足時，可以忽略多徑影響。

通過分析，比較累積量階次不同帶來的抑制多徑性能不同。由矢量合成的性質可以得到

經過多徑信道后接收信號的高階累積量分類特征值等于發送端信號的分類特征值，而不受多徑信道影響。

設存在常數R使得下式成立

表1 惡化最嚴重情況下多徑信道幅度衰減系數取值

從上面的討論可以看出：隨著高階累積量階次的提高，抑制多徑干擾的能力有了很大程度的提高。

上面討論的是多徑惡化最嚴重的多徑信道情況，也是最嚴格的情況，實際多徑信道每個徑的幅度大小近似符合指數級數。設最大徑幅度為次最大徑幅度為為多徑信道衰減系數，可得出下一徑的幅度為其他徑幅度按等比數列關系依次類推。設存在常數R使得下式

所以，為計算方便給出下式

化簡后可得出

由無窮等比數列求和，可得出

當多徑信道幅度按指數衰減時，根據R取值的不同，累積量階數的不同，次最大徑和最大徑的關系如表2所示。

表2 指數衰減情況下多徑信道幅度衰減系數取值

由表2可看出：在R值一定的情況下，累積量階數越高，可處理的多徑信道的次最大徑幅度值越高。也就是說，在累積量階數提高時，分類特征值的抑制多徑干擾能力得到很大提高。

在實際應用中，可根據不同的多徑信道衰減模型，來討論高階累積量調制識別的抑制多徑干擾性能。

2 基于6階累積量的MPSK信號分類特征值

上面推導證明了累積量的階數提高可帶來抑制多徑干擾能力提高，下面通過一般意義上的累積量公式，結合MPSK信號相位分布，推導出MPSK信號6階累積量計算公式。然后，根據每個累積量取值情況和方差大小，構造調制識別特征值，給出調制識別具體方法。

根據矩－累積量公式［12］

內求和。零均值復隨機序列x（k）的6階累積量表示如下

式中：cum［·］表示累積量計算表達；x＊（k）表示對序列求共軛；q表示其中取共軛的序列個數，當q＝0時，表示所有序列都不取共軛。

根據高階累積量的性質，當所計算的序列獨立同分布，高階累積量只有在l1＝l2＝…＝lp＝0時有非零值，令cx，6q＝cx，6q（0，0，0，0，0，0）.由矩－累積量公式（18），可推導出以矩表示的6階累積量表達式。對于零均值平穩復隨機過程，奇數階矩為零，因此，化簡后得出以下結果。

式中：x（k）是零均值平穩隨機序列；E［·］表示求數學期望。

在實際計算時，采用時間平均值來估計統計平均值。當待識別調制信號x（k）為MPSK信號時，累積量表征了其星座圖分布情況。星座圖為Aexp（j2π（m－1）／M），m＝1，2，…，M，M 表示調制階數，取值為2，4，8等，A表示信號幅度。很容易得出不同階數MPSK信號的高階累積量值，如表3所示。

表3 MPSK信號的6階累積量值

根據上面的取值情況，構造特征向量如下：

通過下面的試驗證明：當信噪比惡化時cx，60的方差比其他6階累積量方差大，抑制高斯噪聲的性能相對比較差，所以式（24）中構造分類特征值沒有采用它。對不同調制階數MPSK信號，分類特征向量具有下列形式

選擇分類器時，可以使用簡單的歐式距離分類法，也可以用神經網絡分類器。分類器的設計不是本文研究重點，所以此處采用簡單直觀的歐式距離分類器，判決準則為

式中：Fr＝ ［fr，1，fr，2］表示接收信號序列中提取的分類特征向量；Fr－FM2表示接收信號分類特征向量和待選擇調制方式特征向量間距離。

3 計算機仿真

為了證明上面的理論推導結果，進行了算法性能仿真。待識別的調制方式為2PSK、4PSK、8PSK 3種，分別采用4階累積量分類特征值［7］和上面推導出的6階累積量特征值進行試驗，從兩個方面對兩種方法進行了仿真分析。首先，進行兩種方法的系統識別率試驗，觀察比較兩種方法抑制多徑性能和抑制高斯噪聲性能；然后，計算信號和噪聲的4、6階累積量特征值的方差，分析比較兩種方法抑制高斯噪聲性能。

3.1 系統識別率分析

識別率試驗中，試驗數據為碼元同步的復基帶信號，長度為4 000點。將噪聲和多徑影響等效加載到基帶信號上，信噪比為平均符號能量和噪聲能量比的dB值。為方便觀測實驗結果，給出識別率曲線圖1和圖2，兩圖所代表的試驗參數的范圍不同，橫坐標的含義也不同。

圖1中，縱坐標為識別率，橫坐標為信噪比變化情況。不同曲線類型分別代表4、6階累積量算法的識別性能，曲線上的不同標注符號代表不同信道衰減系數取值。信噪比的范圍為－5～20dB，每隔1 dB進行一次試驗，多徑信道幅度衰減系數值的范圍為0.55～0.85，采用3徑信道模型，多徑幅度值按指數級數衰減，每次試驗次最大徑信道衰減系數值減少0.05，延時分別為［0、6、15］個采樣間隔，相位值在0～2π內隨機生成。3種PSK調制方式每種生成400組待識別數據，最后統計識別準確率。

通過圖1可看出：識別率隨多徑信道衰減系數的減小而提高，同時隨信噪比提高識別性能也不斷提高。當采用6階累積量時，信道衰減系數取值在0.85、信噪比大于2dB時，整體的識別率就可達到近85%.而同樣情況下，4階累積量的識別率只能達到70%.4階累積量要達到85%以上的識別率，信道衰減系數的取值為小于等于0.75.從上面的觀測結論可看出6階累積量的抑制多徑信道干擾能力強于4階累積量，證明了理論推導結論。

從圖1中低信噪比的區域可看出：在低信噪比情況下4階累積量的性能優于6階累積量。

圖2中，縱坐標為識別率，橫坐標為信道多徑幅度衰減系數值。不同曲線類型分別代表4、6階累積量算法的識別結果，曲線上的不同標注符號代表不同信噪比取值。信噪比的范圍為－5～20dB，每隔5dB進行一次試驗，多徑信道幅度衰減系數值的范圍為0.4～1，圖中的每條曲線對應于不同的信噪比值，其他參數的設置同圖1.

通過觀察圖1、圖2看出：當信噪比大于5dB時，6階累積量多徑信道幅度衰減系數為0.75時，識別率可達到100%，通過式（17）可算出此時的R值是4.769 7。4階累積量多徑信道幅度衰減系數為0.65時，識別率可達到100%，此時的R 值是4.753 2.R值近似為5時，可認為累積量特征值可以克服多徑信道對分類性能的影響。所以，在不同信道情況下，設計抗多徑信道干擾的調制識別算法時，可根據表2選擇所需分類用的高階累積量階數。

通過圖2看出，4階累積量在低信噪比情況下（符號信噪比小于等于0dB時）識別性能好于6階累積量，當信噪比大于等于5dB時，6階累積量的識別性能明顯好于4階累積量。這一方面說明了6階累積量的抑制多徑能力優于4階累積量，驗證了前面的結論；另一方面說明在低信噪比情況下，4階累積量抑制高斯噪聲干擾性能優于6階累積量，下面通過特征值的方差分析造成這一現象的原因。

3.2 特征值的方差分析

雖然高階累積量理論上可以完全抑制高斯噪聲，但是由于試驗數據長度有限，以時間平均值代替統計平均值必然帶來偏差存在。高斯分布的隨機噪聲中，可能會出現幅度較大的復高斯噪聲，當累積量階數比較高時某些幅度較大的隨機噪聲值按冪運算增大，使得取均值之后仍然會比較大，因此，就會帶來累積量值的偏差。當信噪比低于0dB時，這種現象會變得明顯，信噪比越低時會變得越明顯。因為是時間均值代替統計均值產生的，所以增加樣本點數可以減小偏差值。

下面計算不同序列點數下噪聲累積量值的方差，分析高階累積量抑制復高斯噪聲干擾能力。累積量的方差值代表了調制分類特征值的方差，決定了調制分類的精度，因此，這等于給出累計量的序列點數與調制識別性能的關系。

因為噪聲序列和信號序列相互獨立，由累積量性質可得出

式中：x（k）為信號序列；n（k）為復高斯噪聲序列，二者相互獨立。加上高斯噪聲后序列的累積量等于相互獨立的信號和噪聲分別計算累積量的和。相互獨立的隨機變量和的方差等于方差的和，可得出

式中var（·）表示方差值。由于MPSK信號累積量的方差值一般比較小［6］，所以當信噪比較低時式（29）可近似表示為

通過試驗，分別計算出MPSK信號的高階累積量方差和高斯噪聲的高階累積量方差，表4、表5和表6列出了試驗結果數據。

表4 MPSK信號累積量特征值的大樣本方差（序列長度：4 000點）

表5 高斯噪聲累積量特征值的大樣本方差（序列長度：4 000點）

表6 高斯噪聲累積量特征值的大樣本方差（序列長度：16 000點）

表4中列出的數值為MPSK信號4、6階累積量值的方差，試驗中，將MPSK信號幅度歸一化，采樣序列長度分別選擇4 000點，仿真次數為1 000次，然后對這1 000個特征值求方差無偏估計值。

從表4可看出：在沒有噪聲干擾的情況下，2PSK在兩種方法下方差值最優，近似為零。4PSK和8PSK信號都有些累積量的方差值較大，4階累積量中var（cx，41）值較大（4.1×10－3），6階累積量中var（cx，62）比較大（1×10－2），相比較4階累積量的方差要小些。通過表3可看出cx，63的取值比較大，為4A6，cx，42取值為 A4［7］，由式（24）可知：由于分母比較大，應用6階累積量可以使計算出特征向量的方差減小。通過上面的分析可看出：在沒有高斯噪聲干擾的情況下，4階和6階累積量分類識別特征值的方差特性近似。

表5和表6列出數值為復高斯噪聲4、6階累積量值的方差，試驗中，將MPSK信號幅度歸一化，根據信噪比值生成對應的復高斯噪聲，計算復高斯噪聲序列對應的累積量值，信噪比范圍為－10～5dB，每隔5dB計算一次。采樣序列長度分別選擇4 000點和16 000點，仿真次數為1 000次，然后對這1 000個特征值求方差，var（cn）表示復高斯噪聲累積量的方差。

通過表5和表6可看出：在信噪比等于5dB時，4階和6階累積量的方差都很小，說明此時取值比較穩定，不受高斯噪聲的影響。當信噪比下降到0dB時，方差都有些變大，6階累積量的方差要明顯比4階累積量大一個數量級，所以此時復高斯噪聲已經比較嚴重地影響了特征值取值，而4階累積量受到的影響相對較小。當信噪比降低到－5dB時，6階累積量的方差取值很大，說明基本已不能完成調制識別，此時4階累積量的方差也變大，說明其識別性能也受到很大影響。當信噪比降低到－10dB時，兩種方式累積量的方差都很大。

通過比較表5和6發現：用于計算累積量的序列點數比較少時方差值大，這說明可通過增加序列長度提高抑制高斯噪聲干擾性能，進而提高調制識別的準確率。

另外通過觀察表中6階累積量的方差發現，當信噪比惡化時，在4個6階累積量值中var（cn，60）最大，說明cn，60抑制復高斯干擾的性能最差，所以，我們在式（24）中構造分類特征值 ［fx，1，fx，2］時沒有選擇cr，60.

3.3 試驗結論

通過以上分析可看出：方差值觀測結果和識別率觀測結果是一致的。高階累積量應用于MPSK信號調制識別時，抑制高斯噪聲和抑制多徑干擾的能力因階數不同而不同。總體來說，階數越高抑制多徑干擾的能力越強，階數越低抑制高斯噪聲的能力越強。多徑信道情況下，優先選擇6階累積量特征值。在信噪比較低（小于0dB）時，則要優先選擇4階累積量。根據以上原則，結合實際的信道情況決定如何使用。

4 結 論

進行MPSK信號調制識別時，使用消除信道特性影響的高階累積量特征值可以抑制多徑干擾。通過推導多徑環境下信號的高階累積量調制識別特征值通式，對不同階累積量的抑制多徑干擾能力進行了分析，分析結果顯示累積量階數越高抑制多徑干擾能力越強。然后，推導出了MPSK信號6階累積量特征值計算公式，給出了調制識別方法。最后，通過仿真試驗證明上面推導出的結論。從試驗結果看出：提高累積量階數可以有效提高分類特征值抑制多徑干擾的性能。但是，在低信噪比下，提高累積量階數使算法抑制復高斯噪聲的能力變差。分析了產生這一現象的原因，給出了不同信道環境下選擇不同階特征值的方法。

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