語言混合加權平均距離測度及其在決策中的應用

崔松巖，彭定洪，李楠楠

(1.浙江海洋學院，浙江 舟山 316000;2.哈爾濱理工大學管理學院，哈爾濱 150040)

0 引言

在實際的決策過程中，由于決策問題本身的復雜性和決策環境的模糊性，專家就同一決策問題不能給出方案的精確的數字信息，而是可能使用語言短語給出方案的語言決策信息[1,2]。鑒于語言變量有利于減輕決策過程中決策者的認知壓力，利于決策者把握事物的真實狀態等優點，對語言評價信息的研究引起了國內外眾多專家的重視，并取得大量的研究成果。

距離測度是用于區分兩個對象差異的重要工具之一。目前，諸多學者對模糊集、區間數、直覺模糊數、語言變量[3,4]等的距離測度進行了深入研究，并廣泛應用到決策、數據挖掘、模式識別等諸多領域。標準漢明距離，加權漢明距離是應用最為廣泛的距離測度，它們分別由算術算術平均、加權平均集結而成。最近，受有序加權平均(OWA)算子[5]啟發，XU與CHEN[6]提出了有序加權距離測度，該距離測度具有OWA優良性質，因此得到了廣泛關注及進一步研究。針對語言變量間的距離，XU[3]定義了兩個語言變量的偏離度概念，Merigó與CASANOVAS[4]提出了語言加權平均距離測度(LOWA)。眾所周知，加權平均算子(WA)與有序加權平均算子(OWA)的本質區別在權重向量的確定，前者權重用于反映決策者對變量重要程度的判斷，而后者則強調變量的序權重用于反映不同的決策策略(規則)或決策者的決策態度。因此，為兼顧加權平均與有序加權平均各自優勢，本文在文獻[4]基礎上提出一種語言混合加權平均距離測度，并簡要分析它的優良性質，據此依據理想點思想，給出一種多屬性決策方法。

1 預備知識

令S={sα|α=0,1,2,...,τ}為一個具有奇數個元素的語言術語集，它滿足以下特征[1]：(1)有序性：sα＞sβ當α＞β；(2)存在逆算子：Neg(sα)=sβ，其中α+β=τ；(3)最大值：如果i≥j，那么max(si,sj)=si，(4)最小值：如果i≥j，那么min(si,sj)=sj。

例如語言術語集S可以定義如下：

S={s0=極差，s1=非常差，s2=差，s3=稍差，s4=一般，s5=稍好，s6=好，s7=非常好，s8=極好}。

為了避免運算過程中的信息損失，文獻[2,3]將離散語言術語集 S 拓展為連續語言術語集Sˉ={sα|α∈[0,τ]}。當sα∈S，稱sα為原始術語，否則，稱sα為虛擬術語。通常，原始術語用于決策者判斷，虛擬術語用于運算。

2 混合加權語言距離測度

定義 1[4]令X=(sX1,sX2,...,sXn)與Y=(sY1,sY2,...,sYn)為表征對象X與Y的兩組語言變量集，則一個語言有序加權平均距離(LOWAD)測度是一個具有相關權重向量w=(w1,w2,...,wn)，滿足的映射LOWAD:Sn×Sn→S：

其中(σ(1),σ(2),...,σ(n))為(1,2,...,n)具有|sXσ(j-1)sYσ(j-1)|≥ |sXσ(j)sYσ(j)|特點的排列。

如果定義一個排序ε:(1,2,...,n)→(1,2,...,n)為σ:(1,2,...,n)→(1,2,...,n) 的 逆[7]， |sXj-sYj| 為{|sXj-sYj|,j=1,2,...,n}中第ε(j)大元素，則式(1)也可表示為：

定義2 令X=(sX1,sX2,...,sXn)與Y=(sY1,sY2,...,sYn)為表征對象X與Y的兩組語言變量集，則一個語言加權平均距離(LWAD)測度是一個具有重要性權重向量ω=(ω1,ω2,...,ωn)，滿足的映射LWAD:Sn×Sn→S：

顯然，語言加權平均距離(LWAD)測度與語言有序加權平均距離(LOWD)測度的本質區別在權重向量的確定，前者權重用于反映決策者對語言距離分量重要程度的判斷，而后者則強調語言距離分量的序權重用于反映不同的決策策略(規則)或決策者的決策態度。因此，為兼顧加權平均與有序加權平均各自優勢，下面介紹一種語言混合加權距離測度。

定義3 令X=(sX1,sX2,...,sXn)與Y=(sY1,sY2,...,sYn)為表征對象X與Y的兩組語言變量集，則一個語言混合加權平均距離(LHWAD)測度是一個具有相關權重向量w=(w1,w2,...,wn)，滿足的映射LHWAD:Sn×Sn→S：

其中ε(??)為一個排列函數，ω=(ω1,ω2,...,ωn)是|sXjsYj|重要性權重，且滿足

定理1語言加權平均距離(LWAD)是混合加權語言距離的特殊形式。

定理2有加權平均距離(LOWAD)是混合加權語言距離的特殊形式。

從定理1與2可知，LHWAD測度泛化了LOWAD測度(1)與LWAD測度(3)，因此它兼顧了集結過程中的重要性權重與反應決策策略或決策者態度的序權重。

混合加權語言距離測度有以下性質：

（1）冪等性如果|sXjsYj|=d,j=1,2,...,n，則:

（2）介值性

（3）單調性令Z=(sZ1,sZ2,...,sZn)，如果所有|sXjsZj|,j=1,2,...,n，則:

（4）對稱性

語言距離分量的排序與其序權重向量的確定是混合加權語言距離測度的關鍵。從一般的排序角度來看，混合加權語言距離(LHWAD)可分為降序LHWAD(D-LHWAD)測度與升序LHWAD(A-LHWAD)測度。設D-LHWAD的序權重為w+j，A-LHWAD的序權重為w-j，則w+j與w-j具有如下關系

對于降序LHWAD測度的序權重向量的確定，最常用且簡潔的方法式利用語言量化方法獲取[8]，

其中參數α為決策策略參數，它通過不同的決策策略語言取值來反應介于“所有”與“至少一個”間距離分量需要被滿足不同的決策策略，常見的決策策略及它們相應的參數α取值[9]如表1所示。

表1 決策策略及其參數取值

3 基于LHWAD測度的多屬性決策方法

對于多屬性決策問題，設m個備選方案Ai(i=1,..,m)依據n個屬性xj(j=1,…,n)進行優選或排序，其中屬性重要性權重為滿足方案的屬性值用語言術語形式表達。

下面給出一種基于語言混合加權距離測度的多屬性決策方法，具體步驟如下：

（1）確定正負理想解

（2）確定決策策略，求取序權重向量

根據實際決策情況，利用語言術語確定決策策略參數α，進而利用式(11)與(12)確定D-LHWAD序權重，利用D-LHWAD與A-LHWAD序權重間關系確定A-LHWAD序權重。

（3）確定正負區分度

根據接近正理想解，遠離負理想解為優思想，即距離正理想解越小，距離負理想解越大性能越好。分別利用式

(4)獲取決策方案Ai與正/負理想解的正/負語言區分度：

（4）確定方案貼近度

根據方案同時接近正理想解，遠離負理想解為優原理，構造語言貼近度：

（5）方案排序

根據語言貼近度LCi對方案Ai進行選擇排序。

4 算例

考慮某個風險投資企業進行項目投資問題，對5個備選企業A1～A5依據4個評價屬性：風險因素(C1)、社會政治影響因素(C2)、環境影響因素(C3)和成長因素(C4)進行排序。為簡單起見，假設屬性權重向量為ω=(ω1,ω2,ω3,ω4)=(0.1,0.3,0.2,0.4)，每個備選方案對屬性的滿足程度用語言術語集{s0,s1,s2,s3,s4,s5,s6}={極差,非常差,差,一般,好,非常好,極好}表示，所得的語言評估矩陣為:

下面根據本文所提出的方法進行求解：

步驟1分別利用式(13)和(14)確定正理想方案與負理想方案。

步驟2根據實際情況，確定決策策略參數α=2，即考慮“很多”指標，進而利用式(11)與(12)確定序權重向量。

步驟3分別利用式(15)和(16)，獲取各方案正負語言區分度

步驟4利用式(17)得到各方案語言貼近度

步驟5根據所得貼近度，對決策方案進行排序。

A3?A2?A4?A1?A5，A3為最優備選方案。

為了證實該法的有效性與優越性，我們再次將語言加權平均距(LWAD)離測度與語言有序加權平均距離(LOWAD)測度應用到本文所提方法中，其結果如表2所示。

表2 不同語言距離下的決策結果比較

顯然，采用三種語言距離測度獲取的排序結果基本一致，其最優備選方案均為A3，除采用LWAD獲取的結果A4與A2出現逆序，表明該方法的有效性。值得注意的是不同的決策策略得出的序權重向量會對排序結果產生影響，決策策略應根據實際需求選擇。

5 結論

本文在語言有序加權平均距離測度[4]基礎上，提出了一種混合加權語言距離測度，該距離測度不僅能考慮每個數據自身的重要性程度，而且還能體現該數據所在位置的重要性程度，因而泛化了語言加權距離測度與語言有序加權距離測度，分析了該距離測度的一些優良性質。進而提出了一種多屬性決策方法，并通過實例驗證了該方法的有效性與可行性。

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