基于Lambert轉移的虛交點軌道攔截優化

魏鵬濤，雷剛，郭洪娜，王明海

（1.第二炮兵工程大學906教研室，陜西西安 710025；2.中國人民解放軍96656部隊，北京 102208）

引言

美、俄等航天與軍事強國在近三十多年來從未中斷過軌道攔截衛星的研究與實驗，空間攔截與交會技術已成為一個國家航天技術發展水平的重要標志［1］。軌道攔截是軌道機動的一種。常規的軌道攔截模式一般就是尋求一種時間最快，或者能量消耗最省的過渡軌道，將機動航天器的初始軌道和目標航天器的軌道連接起來，且當機動航天器從初始軌道經過渡軌道運行到和目標軌道的交會點，目標航天器也運行到交會點，即實現機動航天器和目標航天器的交會。基于沖量方式的軌道攔截，過渡軌道也是一條開普勒軌道。

本文提出了在虛交點進行攔截的軌道攔截方式，以達到時間最短、能量最省的要求。

1 虛交點攔截

1.1 數學模型建立

記軌道機動航天器和目標航天器所在軌道分別為初始軌道和目標軌道，軌道攔截就是在初始軌道上尋找一個變軌點T，在目標軌道上尋找一個交會點J，并在兩點間設計一條攔截軌道L，要求機動航天器在t1時刻由T點實施軌道機動，然后沿攔截軌道運動到t2時刻與目標航天器交會于J點［2］。當交會點J確定，則目標航天器運行到攔截點的時間TH也就確定，即:

式中，MHJ為目標航天器在交會點J的平近點角；MH0為目標航天器初始時刻t0的平近點角；nH為目標航天器平均運動角速度。

首先定義兩航天器的軌道不共面情況下的“虛交點”。因為繞地球運行的航天器的軌道面都過地心，兩不共面的軌道在地球上投影時，就會有兩個交點，且兩交點與地心共線，即相位差π。定義在目標軌道上，目標先經過的虛交點為第1交點uH1，另外一個為第2交點uH2，兩者通稱虛交點。對應的機動航天器軌道上的虛交點分別記為uB1和uB2，如圖1所示。

圖1 虛交點攔截示意圖

若推力是沖量式，即速度在變軌點T瞬時增加，則攔截軌道L是開普勒軌道，若變軌點T和交會點J都確定，則攔截軌道唯一，即固定時間攔截。則:

式中，MBT為機動航天器在變軌點T的平近點角；MB0為機動航天器初始時刻t0的平近點角；nB為機動航天器在初始軌道上的平均運動角速度；MIJ為機動航天器在攔截軌道上交會點J的平近點角；MIT為機動航天器在攔截軌道上變軌點T的平近點角；nI為目標航天器在攔截軌道上的平均運動角速度。

能量總消耗為:

式中，vIT為機動航天器在攔截軌道上變軌點T的速度矢量；vBT為機動航天器在初始軌道上變軌點T的速度矢量。

1.2 虛交點坐標系下的攔截問題

由于所選擇攔截軌道和初始軌道在同一平面內，建立初始軌道下的近交點坐標系［3］如圖2所示。

圖2 近交點坐標系下的攔截軌道

1.3 虛交點的求取

將機動航天器軌道和目標航天器軌道投影到地球所在的球面上，如圖3所示。虛交點可以用該點的緯度幅角u=ω+f表示，其大小只和兩軌道的軌道傾角i、升交點赤經Ω有關。

圖3 虛交點與i，Ω的關系示意圖

由球面三角形的相鄰四元素公式得:

式中，下標B表示機動航天器初始軌道參數；下標H表示目標航天器軌道參數。可見只要保持兩軌道軌道面不變化，虛交點的緯度幅角就保持不變。欲實現在虛交點對目標實現軌道攔截，調整機動航天器在虛交點的軌道高度即可。

2 應用普適變量法解決Lambert問題

求解Lambert問題可以歸結為求解高斯問題，高斯問題是指:給定航天器所處軌道上的兩個位置點1和2，其對應的位置矢量分別為r1和r2，以及衛星從點1運動到點2所經歷的時間Δt和運動方向，求衛星在1，2兩點的速度v1，v2［4-6］。

定義普適變量為:

可以得到航天器位置矢徑的普適公式:

由式（5）、式（6）可得飛行時間的普適公式為:

式中，c0為積分常數；a，e分別為追蹤航天器轉移軌道的半長軸和偏心率。

利用普適變量和斯達姆夫函數［7-9］C（z）和S（z）所表示的拉格朗日系數如下:

斯達姆夫函數C（z）和S（z）為:

式中，z=α χ2，α=1/a，r1=|r1|，r2=|r2|。

追蹤器始末位置矢量之間的真近點角為:

動量矩的根為:

設

令

由拉格朗日系數可得v1，v2表達式為:

3 仿真分析

假設初始軌道和目標軌道參數如表1所示。

表1 軌道參數

由表1可得第1虛交點緯度幅角為:uB=47.303 8°，uH=25.108 2°。選擇初始軌道初始時刻后不同位置為變軌點，需要的速度沖量如圖4所示。

圖4 不同變軌點進行軌道轉移需要的速度沖量

由圖4分析可知，對于在同一虛交點攔截并且攔截時間一定的情況下，在初始時刻進行攔截最省能量。因此，應該在初始時刻進行變軌，從而在第1虛交點對目標進行攔截。優化攔截軌道參數如下:長半軸7 020.63 km；偏心率0.18；軌道傾角30°；升交點赤經30°；近地點幅角230.565 1°；真近點角109.434 9°。在第1虛交點實現軌道攔截所需速度增量為1.417 6 km/s，攔截時間為1 403.412 3 s。利用STK可視化仿真，可得到攔截的過程仿真如圖5所示。

圖5 攔截過程仿真

從以上仿真可以看出，采用虛交點方式可以有效地對目標進行攔截。

4 結束語

針對軌道異面攔截需要較大的速度沖量，本文提出了基于虛交點的軌道攔截方法，攔截軌道和初始軌道在一個平面上，有助于節省能量。并以空間機動攔截某一目標為例，仿真了此算法的可行性。對于固定時間攔截問題，可以選擇合適的變軌點，以較小的能量實現對目標的攔截。

［1］王會利.空間作戰攔截軌道設計與優化［D］.西安:西北工業大學，2007.

［2］徐曉靜.有限推力下航天器軌道機動的最優控制研究［D］.北京:裝備指揮技術學院，2006.

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［4］李生猛，朱戰霞.基于Lambert理論的多脈沖快速軌道交會研究［J］.計算機仿真，2009，26（11）:80-83.

［5］梁新剛，楊滌.有限推力下時間最優軌道轉移［J］.航天控制，2007，25（1）:46-51.

［6］林琪，來嘉哲.空間交會對接仿真技術研究［J］.裝備指揮技術學院學報，2008，19（5）:53-57.

［7］林來興.空間交會對接技術［M］.北京:國防工業出版社，1995:4-6.

［8］宋旭民，陳勇.基于多圈Lambert轉移的空間交會方法研究［J］.裝備指揮技術學院學報，2010，21（3）:67-70.

［9］竺苗龍，竺致文，竺雪君.繞地飛行航天器最佳發射軌道理論及其他問題的研究［M］.北京:中國宇航出版社，2011.