一種新的LMS自適應濾波算法分析仿真研究

賀洪江，王春霞

（河北工程大學信息與電氣工程學院，河北邯鄲 056038）

0 引言

最小均方（LMS）算法是由Widrow和Hoff兩人在1960年提出的，由于其計算復雜度低、易于實現等優點［1］，廣泛應用于自適應控制、系統辨識、信號處理和噪聲抵消等領域，同時自適應濾波器在通信、雷達、工業控制、地震預報及生物醫學電子學等領域也已經有了越來越廣泛的應用。初始收斂速度、對時變系統跟蹤能力、穩態誤差以及抗噪聲干擾能力是衡量LMS算法優劣的重要性能指標［2，3］。傳統LMS算法中固定步長的取值不同會影響算法的性能。減小步長取值可以降低穩態誤差，但會降低算法的收斂速度和對時變系統的跟蹤能力;增大步長取值可以提高收斂速度，但會增大穩態誤差。傳統的固定步長的LMS算法的大收斂速度和小穩態誤差不能同時滿足，這就要求在收斂速度和穩態誤差2個性能指標之間權衡。為此，人們提出了多種變步長 LMS 自適應濾波算法［3～10］。

文獻［4］中提出的SVSLMS算法的收斂速度較快，但在自適應穩態階段的步長變化較大，穩態誤差也較大。文獻［5］中提出的G-SVSLMS算法是在SVSLMS的基礎上進行了改進，穩態步長變化比較緩慢，收斂速度也較快。文獻［6］提出一種新的變步長函數，具有在初始階段和未知系統時變時步長自動增大而在穩態時步長很小的特點，但收斂速度需要進一步提高。SVSLMS和G-SVSLMS算法的步長受誤差調節，抗噪聲能力比較低。

本文算法采用輸入信號與誤差信號不相關的特點，用誤差信號的自相關時間均值來調節步長，并用絕對估計誤差的擾動量以更新自適應濾波器的抽頭向量，算法性能較上述算法有較大的優越性。

1 自適應濾波算法原理

LMS算法的基本原理是基于最速下降法，即沿著權值的梯度估值的負方向搜索，達到權值最優，實現濾波器的輸出信號與期望輸出信號之間的LMS誤差。自適應濾波的原理框圖［7］如圖1所示。

圖1 自適應濾波器原理框圖Fig 1 Principle diagram of adaptive filter

圖1中，x（n）為n時刻的輸入信號矢量;y（n）為輸出信號;v（n）為噪聲信號;d（n）為期望輸出信號;e（n）為d（n）和y（n）之間的誤差信號估計;通過誤差信號e（n）調節自適應濾波器抽頭權向量，使自適應濾波器收斂至穩定狀態。基于最速下降法的LMS算法公式［8］如下

式中w（n）為n時刻N階自適應濾波器的權系數;μ為控制穩定性和收斂性能的參量即步長因子。LMS算法收斂時，步長因子μ的取值范圍為:0＜μ＜1/λmax，λmax為輸入信號自相關矩陣的最大特征值。

2 新的變步長LMS算法與性能分析

變步長LMS算法的基本思想［9，10］是:在初始收斂階段或者系統參數發生時變的時候，最優權值與自適應濾波器的權值相距較遠，為了保證能有較快的收斂速度和對時變系統的跟蹤速度，選取較大的步長μ;在算法接近收斂時，濾波器的權值接近最優權值，為了減少算法的穩態誤差，選取較小的步長μ。基于這種思想，本文在前人研究的基礎上，通過在步長參數μ（n）與誤差信號e（n）之間建立一種新的非線性函數關系來調節步長，提出一種新的變步長LMS算法，本文算法步長因子函數和權系數更新公式如下

式中α為控制函數形狀的常數，決定曲線上升的快慢;β為控制函數取值范圍的常數。α，β分別變化時步長因子μ（n）和誤差e（n）的關系曲線如圖2和圖3所示。

圖2 α=1，β變化時μ（n）與e（n）的關系曲線Fig 2 Relation curves with μ（n）and e（n）when α =1 and different β

圖3 β=1，α變化時μ（n）與e（n）的關系曲線Fig 3 Relation curves with μ（n）and e（n）when β =1 and different α

由圖2可知，當α固定時，β取值越大，步長初始值也越大，收斂速度也越快，同時穩態誤差也越大;β取值越小，步長初始值也越小，收斂速度也越慢，穩態誤差也越小。由圖3可知，當β固定時，α取值變化時也具有同樣的特點，同時，在|e（n）|＞1.3時步長變化不明顯，但α越大時步長也越大，收斂速度也越快。e（n）趨近于0時，步長變化也較緩慢。由以上分析可知，新算法穩態時步長變化平滑，克服了SVSLMS算法e（n）接近0時步長變化太大的缺點。算法性能由α和β共同決定，當要求較快的收斂速度時，2個參數的取值都應該較大，當要求較小的穩態誤差時，2個參數的取值都應該較小，在實際應用中根據環境的不同來確定最佳取值。

式（4）中的kγ（n）（|e（n）|－|e（n－1）|）為本文算法絕對估計誤差的擾動量。傳統算法采用隨機梯度調整抽頭權向量，每次迭代時的估計誤差e（n）的正負并不確定，抽頭權向量的調整只能圍繞w0震蕩。本文用絕對估計誤差能更好地表示估計信號偏離期望信號的程度，擾動量可以對w（n）進行正反向調節來加快算法的初始收斂速度。通過γ（n）擾動量幅度因子，把擾動量對w（n）的調節控制在一個最佳水平。γ（n）以式（5）的指數形式衰減，其中，p＜1。在迭代次數比較少時，擾動量對w（n）的影響較大，隨著迭代次數的增加，γ（n）趨近于0，e（n）的波動幾乎不會對w（n）造成影響，從而使穩態誤差抑制在較低的水平。為了加強算法的抗噪性能，本文算法中用式（3）的誤差向量自相關值e（n）e（n－1）來調節步長。設自適應濾波器抽頭權向量的維納解為w0，令Δw=w（n）－w0為n時刻權系數矢量與最佳值之差，期望信號的介入噪聲為ξ（n），與x（n）不相關，則有

由式（6）、式（7）得

設噪聲功率為σ2，由系統特性可知

由式（12）和式（13）可知，誤差自相關函數只與輸入信號有關，而與噪聲無關。SVSLMS算法用誤差調節步長，GSVSLMS算法用誤差功率調節步長，導致在低信噪比條件下性能惡化。本文算法的噪聲抑制能力優于上述算法。

3 算法仿真結果分析比較

3.1 仿真條件

1）自適應濾波器階數L=2;

2）未知系統的 FIR 系數為w1=［0.8，0.5］T;

3）參考輸入信號x（n）是均值為0，方差為1的高斯白噪聲;

4）v（n）為與x（n）不相關的高斯白噪聲，其均值為0，方差為1;

5）在本文實驗條件下對三種算法進行了大量的仿真，測定了三種算法性能最優時的參數取值范圍，參數取值如下:SVSLMS算法中α=150，β=0.07;G-SVSLMS算法中α=450，β=0.06;本文算法中α=1500，β=0.05，γ（0）=0.4，p=0.4;

6）采樣點數為1000，分別做500次獨立仿真，然后通過求其統計平均，得出學習曲線。

3.2 仿真結果分析比較

本文算法和SVSLMS算法及G-SVSLMS算法收斂曲線的比較如圖4所示。

圖4 三種不同算法收斂曲線Fig 4 Convergence curve of three different algorithm

圖4中的三條收斂曲線從上到下依次為SVSLMS算法、G-SVSLMS算法和本文算法的收斂曲線。由圖3可知，本文算法的收斂速度快于SVSLMS算法和G-SVSLMS算法，穩態誤差小于SVSLMS算法和G-SVSLMS算法的穩態均方誤差較接近，本文算法有效抑制了隨機噪聲對信號的干擾，在綜合性能上優于SVSLMS算法和G-SVSLMS算法，驗證了前文對算法性能的分析。

4 系統發生時變時算法分析

系統發生時變時的總采樣點數為1000，系統在第500個采樣點時刻未知系統發生時變，未知系統的FIR系數由原來的w1=［0.8，0.5］T變為w2=［0.7，0.5，0.2］T，做500次獨立仿真，求其統計平均，得出系統發生時變時本文算法收斂曲線如圖5所示。

圖5 本文算法發生時變時收斂曲線Fig 5 Convergence curve when this algorithm have time-varying

由圖可以看出:本文算法在系統發生時變時同樣具有很快的收斂速度，因此，本文算法在綜合性能上優于SVSLMS算法和G-SVSLMS算法的同時仍具有較好地對時變系統的跟蹤能力。

5 結論

本文通過在步長因子與誤差信號之間建立一種新的非線性函數數，同時引入絕對估計的擾動量，提出了一種新的變步長LMS自適應濾波算法，較好地解決了收斂速度和穩態誤差之間的矛盾。理論分析與仿真驗證顯示，本文算法不僅初始收斂速度、穩態誤差和抗噪性能均優于傳統的幾種算法，而且具有較好的對時變系統的跟蹤能力。

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