MEMS傳感器隨機誤差分析*

于麗杰，高宗余

（北京聯合大學自動化學院，北京 100101）

0 引言

慣性導航系統（INS）能夠高速地輸出加速度和角速度。然而其精度會隨著時間而退化，主要是由于不同的誤差源，如，傳感器噪聲、漂移、偏差及刻度因子等的不穩定造成。這些誤差隨著在慣導校正算法中數據積分的積累，將會引起航向誤差。因此，對傳感器誤差的建模與估計變得異常重要。本文主要討論隨機誤差建模，采用功率譜密度（PSD）與Allan方差對MEMS-INS隨機過程進行分析。

Allan方差技術最初是為了研究精密儀器的頻率穩定性而在19世紀60年代發展產生的［1］，它有助于識別存在于測量儀器中的誤差種類與大小。由于慣性傳感器與這類儀器的類似性，這一方法已經應用于慣性傳感器的隨機誤差特性分析中［2］。

與其他的隨機誤差分析方法相比，如，自相關分析法需要長時間采集精密儀器靜態數據，之后在一定條件下才能獲得所需結果［3］，采集時間甚至超過儀器壽命，Allan方差法可直接實時進行計算，計算簡單，應用范圍較大。

本文應用Allan方差法對MEMS傳感器進行特性描述。首先對數據采用Allan方差法獲得其特性曲線，此后通過對曲線分析以獲得存在于數據集中的隨機誤差的種類和大小，最后對隨機誤差進行識別、建模、計算出其系數。

1方法

1.1 功率譜密度

功率譜密度（PSD）的主要特點在于描述時間序列的頻譜特性，是一種分析數據和表示數據特性的方法，同時對隨機誤差模型的建立有重要作用。通過對一系列樣本的自相關函數估值進行傅立葉變換可計算其相應的PSD。PSD和信號的自相關函數是通過傅立葉變換進行轉換，如下式所示

式中S（ω）為PSD，K（τ）為自相關函數。

1.2 Allan方差

在Allan方差數據分析中，假設數據的不確定性是由誤差特性給出。每個誤差源協方差的大小是由數據估值得來。Allan方差的詳細描述和怎樣應用于時頻分析見參考文獻［2，4］。這里做簡要描述。假設在時間段τ0內采集N個樣本點構成數據點集，分別建立時間段為τ0，2τ0，…，nτ0，的數據點集，n＜（N－1）/2。假設 MEMS傳感器瞬時輸出為Ω（t），其相應的積分是角度（對陀螺輸出來說），如下式

由于在相關定義中［1］只是應用了角微分，故積分的下限沒有標出。傳感器的角以離散的方式t=kτ0，k=1，2，…，N給出，用更簡單的方式表示為

兩個時間間隔之間的平均角速率為

Allan方差為

上面的表達式稱之為Allan方差重疊法，能更好地適用于每個陀螺和加速度計。

1.3 PSD與Allan方差之間的關系

下式為PSD與Allan方差之間關系表達式

式中SΩ（f）為Ω（t）的PSD。式（7）通過Allan方差方程描述了隨機噪聲PSD的重要特性。并且說明在通過一個傳遞函數為sin4x/x2的濾波器時Allan方差與陀螺數據輸出中的總的誤差率呈正比。這一傳遞函數主要用于對點集進行操作。式（7）也說明濾波器的帶通是由τ來確定，因此，通過設定不同的τ值能夠確定不同的隨機過程。這里采用重對數圖來描述σ［4］。

1.4 Allan方差應用于誤差特性描述

Allan方差最主要的特性是能夠根據時頻域上不同噪聲在Allan方差圖上的斜率對噪聲進行分類。根據Allan方差的定義和結果在慣性傳感器中共有七類噪聲項，如圖1所示。具體到MEMS傳感器中共有5類基本的噪聲項，分別是角隨機游走、速率隨機游走、偏差不穩定性、量化噪聲和速率斜坡。由于相關噪聲和正弦噪聲對傳感器特性影響很小，因此，對其忽略。通常，隨機誤差依賴于設備類型、數據獲得環境及數據形式產生。如果噪聲是相對對立的，則每個Allan方差是各個噪聲源的平方和，即

開方后為

其中，An可通過最小均方誤差檢測得到。

一個典型的Allan方差分析結果如圖1所示。然而，由于曲線的類似性，一些誤差無法通過特性曲線辨識，比如:閃爍噪聲就與量化噪聲有同樣的曲線圖，這主要是Allan方差法受限所致。因此，這類誤差需要通過改良的Allan方差法來進行分類［5］。

圖1 Allan方差類型圖Fig 1 Allan variance type map

2 實驗仿真

本文中實驗平臺為MEMS-INS/GPS組合，其主要器件為ADIS16350和GPS系統，本實驗主要對ADS16350中的三軸陀螺和三軸加速度計進行實驗，其中，ADIS16350傳感器特性參數參看文獻［6］。

這里以量化噪聲為例進行推導。量化噪聲主要由傳感器輸出特性的離散化造成，量化噪聲在振幅離散化過程中是固有的，它是通過數字化編碼引入模擬信號，是模擬輸入到數字輸出取整而產生。根據文獻［1］這一過程的PSD為

即

上式代入式（7）積分并開方得

圖2 Allan方差系數（以斜率為－1為曲線表示）Fig 2 Allan variance coefficient（result with slopes of－1）

由于篇幅所限，這里不對偏差不穩定性、隨機游走及速率斜坡進行具體推導。根據公式（5）首先對加速度和角速度進行積分得到速度和角度。根據上述Allan方差法得到不同時段相應的平均加速度和角速率。最后通過σ（τ）-τ的重對數圖來表示陀螺和加速度計的隨機噪聲的實驗結果，分別如圖3和圖4所示。這里先對圖3中陀螺x軸量化噪聲系數計算給出具體說明，如圖5所示（此實驗結果陀螺x軸在4 h所測數據）。

圖3 MEMS陀螺Allan方差結果Fig 3 MEMS Gyro Allan variance results

圖4 MEMS加速度Allan方差結果Fig 4 MEMS Accelerometer Allan variance results

圖5 x軸陀螺Allan方差結果Fig 5 x-axis gyro Allan variance result

表1 陀螺辨識誤差系數Tab 1 Gyro identification error coefficients

表2 加速度計的辨識誤差系數Tab 2 Accelerometer identification error coefficients

3 結論

利用Allan方差分析法對MEMS傳感器輸出數據進行分析，能夠有效地分離各主要隨機誤差源，可精確地確定各項誤差系數的大小。應用Allan方差分析法對實測數據研究表明:該方法有效辨識出MEMS傳感器各項誤差系數，從而對MEMS傳感器的性能做出較為客觀的評價，并且可與濾波算法相結合更好地為微慣性系統性能改善提供好的方法。

此外，這里的實驗中注意到數據采集時間越長其計算越精確，但隨著時間的增長其數據不穩定性也越高，這主要是MEMS傳感器隨著數據輸出時間的延長其溫度發生變化，導致輸出數據不穩定所致。

［1］Allan D W.Statistics of atomic frequency standards［C］//Proceedings of the IEEE International Symposium，New York，USA，1966:221－230.

［2］Ko R.Standard specification format guide and test procedure for single-axis interferometric fiber optic gyros［S］.IEEE Std，Canada，1972:952 －977.

［3］Hou H.Modeling inertial sensors errors using AV［D］.Calgary，Canada:Univ of Calgary，2004:182 －188.

［4］Wang J H，Gao Y.An intelligent MEMS IMU-based land vehicle navigation system enhanced by dynamics knowledge［C］//Proc of US ION 61st Ann Meeting，2005:27 －29.

［5］Mu Y J，Ko Jaepyung.An inexpensive and accurate absolute position sensor for driving assistance［J］.IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement，2008，57（4）:864 －873.

［6］Papoulis A.Probability，random variables，and stochastic process［M］3rd ed.McGraw-Hill，1977:212 －224.

［7］Lee G W.UAV flight test of GPS attitude determination system［C］//International Symposium on GNSS/GPS，Camb，2004:138－151.