中考中有關動態圓問題解析

☉江蘇省南京市江寧區銅井初級中學 朱寶慶

圓一直是中考考核的重點內容，近年來有關圓的動態變化已成為中考熱門考點內容之一.在解題過程中只要抓住圖形的變化規律與變化特點，靈活運用多種知識不難解決問題.下面分幾種情況舉例分析.

一、有關圓的滾動過程中特殊點的路線長

在中考中圓的滾動變化時，常會求某些特殊點的運動的路線長，其求解方法是能夠描繪出該點運動過程的軌跡圖形.

例1（2011年甘肅蘭州市）已知一個半圓形工件，未搬動前如圖1所示，直徑平行于地面放置，搬動時為了保護圓弧部分不受損傷，先將半圓作如圖1所示的無滑動翻轉，使它的直徑緊貼地面，再將它沿地面平移50m，半圓的直徑為4m，則圓心O所經過的路線長是_______.（結果用π表示）

圖1

分析：圓的運動包括三個部分，第一部分圓心平行移動；第二部分圓心圍繞一點旋轉；第三部分圓心沿地面再次進行平行移動，所以圓心O經過的路線長為三部分之和.

點評：此類問題關鍵要分析、掌握所求點的運動變化軌跡，并運用圓的相關知識進行求解.在本題中圓心兩次圍繞點進行旋轉運動，根據它們各自特點進行求解.

二、有關圓的運動過程中圖形的位置關系

有關圓的位置關系是中考考點中的重點內容，此類問題中要注意分類討論思想的運用，考慮多種可能性的存在.

例2（2010年江蘇泰州市）如圖2在8×6的網格圖（每個小正方形的邊長均為1個單位長度）中，⊙A的半徑為2個單位長度，⊙B的半徑為1個單位長度，要使運動的⊙B與靜止的⊙A內切，應將⊙B由圖示位置向左平移_____個單位長度.

圖2

分析：本題主要考查圓與圓的位置關系，在⊙B的運動過程中，有兩次機會與⊙A相內切.當⊙B由圖示位置向左平移4個單位時，第一次內切；6個單位時，第二次內切，所以本題答案為4或6.

點評：在圓與圓的位置關系中，相切是比較重要的概念，是考查的重點內容，它包括外切與內切.本題由于大圓半徑為小圓半徑的2倍，所以在運動過程中相內切時有兩種可能，需要分類討論.

分析：本題考查直線與圓的位置關系，在圓的運動過程中，圓的位置及大小都在變化，滿足一定的變化規律.當圓與直線相切時，可以借助相似三角形的知識來求解線段的長度，最后根據線段長度和點運動的速度得到圓運動的時間.另外，在圓的運動過程中，圓有兩次機會與直線相切，所以本題需要分類討論進行求解.

但與工程管理專業的其他課程相比，該課程具有較強的專業知識綜合性和復雜性，知識體系具有顯著的系統性和抽象性。特別是對于一些砌體結構和鋼筋混凝土結構中構件的構造設計，這些需要靠實際工程經驗積累的，就需要學生具有一定的工程實踐經驗與體會，因此，這就給學生在工程結構課程中的學習帶來了一定的難度。

圖4

圖5

點評：本題結合圓的運動、直線與圓的位置關系與相似知識求解.本題圓的運動變化不僅是圓的位置發生變化，圓的半徑也同時變化，圖形的變化比較靈活.

三、有關圓滾動的路程

求圓滾動的路程也是中考常會出現的題型，解決此類問題要綜合分析圓在數學情境中的運動特點，結合幾何圖形性質綜合求解.

例4（2010年山東威海市）如圖6，在?ABCD中，∠DAB=60°，AB=15cm.已知⊙O的半徑等于3cm，AB，AD分別與⊙O相切于點E，F.⊙O在?ABCD內沿AB方向滾動，與BC邊相切時運動停止.試求⊙O滾過的路程.

分析：求圓滾動過的路程，只要求出兩圓心間的距離即可.由于圓與平行四邊形兩邊相切，所以過圓心作平行四邊形的一邊的垂線即可得出⊙O滾過的路程的線段.

因為AB，AD分別與⊙O相切于點E，F，

所以OE⊥AB，OE=3.

由∠DAB=60°可得∠OAE=30°.

圖7

因為AD∥BC，∠DAB=60°，所以 ∠ABC=120°.

設當運動停止時，⊙O與BC，AB分別相切于點M，N，連接ON，OB.

點評：把求圓的滾動路程問題轉化為求線段的長度，綜合運用平行四邊形、直線與圓相切、三角函數等相關知識求解，體現中考命題的綜合性特點.

綜上所述，解決與圓有關的滾動變化問題的關鍵要明確圓運動變化的特點，巧妙結合圖形性質特點綜合進行求解.