2011年高考試題中應用開普勒定律解題賞析

王善鋒

（山東省鄒平縣第一中學，山東 鄒平 256200）

17世紀二十年代，開普勒這位身材瘦小、高度近視的科學巨人，面對模模糊糊、疊影重重的天象，聆聽到了天宇的和聲，揭示了約束行星運動的法則，給天庭立了法，把人們從盲目的對“天”的崇拜引向對天的探究.開普勒第三定律揭開了天文學研究的新紀元，為人類的發展立下了不朽的功勛.本文歸類分析2011年全國及各省市高考試卷中應用開普勒定律解題的問題，為今后復習這部分知識提供方便.應用開普勒定律解決同一中心天體問題，簡潔有效，能夠使問題得以簡化，因而在復習中要引起重視.

1 開普勒第三定律的基本認識

例1.（安徽卷第22題）（1）開普勒行星運動第三定律指出：行星繞太陽運動的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉周期T的二次方成正比，即是一個對所有行星都相同的常量.將行星繞太陽的運動按圓周運動處理，請你推導出太陽系中該常量k的表達式.已知引力常量為G，太陽的質量為M太.

（2）開普勒定律不僅適用于太陽系，它對一切具有中心天體的引力系統（如地月系統）都成立.經測定月地距離為3.84×108m，月球繞地球運動的周期為2.36×106s，試計算地球的質 M地.（G＝6.67×10－11Nm2／kg2，結果保留一位有效數字）

解析：（1）因行星繞太陽作勻速圓周運動，于是軌道的半長軸a即為軌道半徑r.根據萬有引力定律和牛頓第二定律有

（2）在月地系統中，設月球繞地球運動的軌道半徑為R，周期為T，由（2）式可得

解得 M地＝6×1024kg（M地＝5×1024kg也算對）.

點評：開普勒第三定律是由太陽系總結得到的，但對于同一中心天體形成的系統都是成立的.應用開普勒第三定律，要準確找到中心天體，從而確定常量.將運動軌道簡化為圓軌道時，用軌道半徑代替半長軸，而后應用開普勒第三定律，就能使問題得以解決.

2 開普勒第三定律認識同“中”衛（行）星問題

例2.（海南卷第12題）2011年4月10日，我國成功發射第8顆北斗導航衛星，建成以后北斗導航衛星系統將包含多個地球同步衛星，這有助于減少我國對GPS導航系統的依賴，GPS由運行周期為12小時的衛星群組成，設北斗星的同步衛星和GPS導航的軌道半徑分別為R1和R2，向心加速度分別為a1和a2，則R1∶R2＝________.a1：a2＝________（可用根式表示）.

點評：同“中”衛星具有相同的中心天體，開普第三定律成立，將它們的軌道簡化為圓軌道后，由軌道半徑就可確定周期，或由周期就可確定軌道半徑，從而找到問題的突破口，使問題得以解決.

3 開普勒第三定律對衛星追及問題的應用

例3.（重慶卷第21題）某行星和地球繞太陽公轉的軌道均可視為圓.每過N年，該行星會運行到日地連線的延長線上，如圖1所示.該行星與地球的公轉半徑比為

圖1

解析：從行星運行到日地連線的延長線上到下次再到日地連線延長線上，地球比該行星轉過的圓心角大2π，設行星的的周期為T，由此可知即，解得又地球與該行星都繞太陽轉，則根據開普勒第三定律得所以選項（B）正確.

點評：天體運動是天體在萬有引力的作用下做圓周運動，其角速度、線速度、加速度、周期在中心天體確定的情況下由軌道半徑決定.兩衛星繞同一中心天體運動，軌道半徑與周期關系由開普勒第三定律找到聯系.不同軌道上衛（行）星不可能直接追及相遇，但可以到達與中心天體的同一連線上，就可找到轉過的圓心角關系，進而找周期關系，從而使問題找到突破口.

4 開普勒第三定律結合特殊天體特點認知問題

例4.（全國新課標第19題）衛星電話信號需要通過地球同步衛星傳送.如果你與同學在地面上用衛星電話通話，則從你發出信號至對方接收到信號所需最短時間最接近于（可能用到的數據：月球繞地球運動的軌道半徑約為3.8×105km，運行周期約為27天，地球半徑約為6400 km，無線電信號的傳播速度為3×108m／s）

（A）0.1s. （B）0.25s. （C）0.5s. （D）1s.

解析：由于同步衛星與月球都是地球的衛星，根據開普勒第三定律得即兩通話的最短距離為從地球到同步衛星距離的2倍，即同步衛星高度的2倍，即同步衛星的軌道半徑減去地球半徑的2倍，所以有s＝2×（4.22×104－0.64×104）km＝7.16×104km，所需最短時間（B）選項對.

點評：月亮、同步衛星都是地球的衛星，它們的的周期已知，應且開普勒第三定律，可以確定它們軌道半徑之間的聯系，從而使問題得以突破.

5 開普勒第三定律在變軌問題中的應用

例5.（浙江卷第19題）為了探測X星球，載著登陸艙的探測飛船在該星球中心為圓心，半徑為r1的圓軌道上運動，周期為T1，總質量為m1.隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離星球更近的半徑為r2的圓軌道上運動，此時登陸艙的質量為m2則

（C）登陸艙在r1與r2軌道上運動時的速度大小之比為

（D）登陸艙在半徑為r2軌道上做圓周運動的周期為

點評：變軌就是通過變速，改變衛星原軌道所需的向心力，從而使衛星受到的引力與向心力不等而做離心或近心運動，實現變軌.變軌過程中，由于衛星始終繞同一天體運動，開普勒第三定律是認知軌道半徑與周期聯系的有效關系.理解離心與近心運動的本質，撐握向心力與萬有引力的關系，知道穩定運行時萬有引力提供衛星做圓周運動所需的向力，就能突破問題的障礙.