基于優先度的概率區間型決策

2012-07-24 09:34:32高峰記王海英

統計與決策 2012年4期

高峰記，王海英

（解放軍后勤指揮學院后勤管理系，北京 100858）

0 引言

研究不確定條件下的決策原理和方法，歷來是決策論的中心內容，所謂不確定性，是指由于存在決策者不可控的因素，決策方案執行的結果存在多種可能性。

在概率區間型決策中，文獻[1]給出了基于期望值極值的“好中求好”，“壞中求好”，“現實主義”等決策方法，文獻[2]給出了統計優勢法決策法。文獻[4]給出了優序法文獻[5]給出了模擬法，非線性轉換法，線性轉換法等決策方法。文獻[6]給出了這類決策的Bayes決策法。下面我們用一種非常簡便的算法計算出期望值區間，并給出方案優先度的概念及其算法，然后在此基礎上給出新的決策方法。

1 概率區間型決策的定義及性質

定義1 設決策問題面臨B1,B2,…,Bn等n個自然狀態，其發生的概率分別為p1,p2,…,pn。假若⑴B1,B2,…,Bn構成完備事件組，即p1+p2+…+pn=1；⑵B1,B2,…,Bn發生的概率p1,p2,…,pn不能完全確定，但可以判定這些概率分別位于區間之上，即…,n))稱這種類型的決策問題為概率區間型決策。

性質1 在概率區間型決策中，如果自然狀態Bj(j=1,2,…,n)發生的概率

在引入概率區間型決策的概念后，傳統決策理論中的確定型決策，風險型決策和不確定型決策都可以看成是概率區間型決策的特殊情況。

可見，概率區間決策可以用一種模式來描述決策問題可能面臨的不同狀態，它的提出對于決策理論的研究與發展起到了重要的推進作用。

2 決策方法

在決策中，假設決策方案Ai（i=1,2,…,m）在自然狀態Bj（j=1,2,…,n）下的益損值為aij，則求Ai的期望值的最大值與最小值問題，可以轉化成如下線性規劃：max或

該線性規劃問題的求解不需要用一般的線性規劃求解方法求解，下面可以給出了一種非常簡便的求解方法。求方案Ai的極大期望值的計算方法：

第四步：令r=j*，計算:

求方案Ai的極小期望值的計算方法與求極大期望值的計算方法基本一致，只需將第二步和第四步中的max換成min即可。

定義2 若-∞＜a≤b＜+∞，則稱[a,b]為有界閉區間數；若-∞＜a＜b＜+∞，則稱[a,b]為有界真閉區間數；若0≤a≤b＜+∞，則稱[a,b]為非負有界閉區間數。

定義3 設[a-,a+]，[b-,b+]為有界閉區間數，定義如下運算：

（1）[a-,a+]=[b-,b+]?a-=b-,a+=b+

（2）[a-,a+]+[b-,b+]=[a-+b-,a++b+]

（3）[a-,a+]-[b-,b+]=[a--b+,a+-b-]

（4）[a-,a+]×[b-,b+]=[min(a-b-,a-b+,a+b-,a+b+),max(a-b-,a-b+,a+b-,a+b+)]

特別地，a×[b-,b+]=[min(ab-,ab+),max(ab-,ab+)]

定義4 設[a-,a+]，[b-,b+]為有界閉區間數，X是[a-,a+]上的隨機變量，Y是[b-,b+]上的隨機變量，定義[a-,a+]≥[b-,b+]的可能度（記為P{[a-,a+]≥[b-,b+]}）為X≥Y的概率。即P{[a-,a+]≥[b-,b+]}=P{X≥Y}。特別地，如果[a-,a+]，[b-,b+]都退化成一點，設[a-,a+]=a，[b-,b+]=b（a，b為實數），則a＞b時，P{X≥Y}=1；a=b時，P{X≥Y}=0.5；a＜b時，P{X≥Y}=0。

定義5 如果決策方案A的期望值區間數為[a-,a+]，決策方案B的期望值區間數為[b-,b+]，方案A優于方案B的優先度為P(A＞B)＝P{[a-,a+]≥[b-,b+]}。定義6 如果決策方案A與B比較的結果是P(A＞B)=1，則稱B為拙劣方案。

性質2 設[a-,a+]，[b-,b+]是兩個有界閉區間數，其中至少有一個是有界真閉區間數，X在 [a-,a+]上服從均勻分布，Y在[b-,b+]上服從均勻分布，則：

證明當a-≥b+和b-≥a+時結論顯然成立。

圖1 a-＜ b-＜ a+＜ b+

圖2 b-＜ a-＜ a+＜ b+

當a-≤b-＜a+≤b+時（如圖1）：

當b-≤a-＜a+≤b+時（如圖2）：

當b-≤a-＜b+≤a+或a-≤b-＜b+≤a+時，同理可證。

性質3P(A?B)＋P(B?A)＝1

性質4 當[a-,a+]=[b-,b+]時，P([a-,a+]≥[b-,b+])=0.5

依據兩方案A、B的優先度P(A?B)，給出如下決策方法：

第一步，根據所給信息，計算方案Ai(i=1,2,…,m)的期望值極值，從而得出期望值所對應的區間數；

第二步，借助方案的期望值區間數，計算方案進行兩兩比較的優先度cij=P(Ai?Aj)，從而得到優先度矩陣C（在比較的過程中如果發現拙劣方案，可以將拙劣方案刪除）：

第三步，計算方案Ai(i=1,2,…,m)的總優先度最后根據總優先度P(Ai)的大小對方案進行排序。

3 概率區間型決策的應用

某后勤單位準備生產一種新產品，現已擬制出三個備選方案：①建立新車間大量生產（A1）；②改造原有車間達到中等產量（A2）；③利用原有車間設備小批試產（A3）。市場對該產品的需求情況存在如下四種可能：①暢銷（B1）；②需求偏好（B2）；③需求稍差（B3）；④滯銷（B4）。這三個方案在四種自然狀態下的每月利潤如表1。