基于帕累托分布的洪水貝葉斯分析

黎協銳

（梧州學院數理系，廣西 梧州 543002）

0 引言

研究汛期洪水水位的變化規律是應用水文學的一個重要內容，對洪水作出及時準確的預報預警是防洪減災工作的關鍵，作為防汛斗爭的“耳目”和“參謀”，為各級防汛抗旱部門正確作出防汛決策提供科學依據。洪水預報預警是預測江河未來洪水要素及其特征值的一門應用技術科學，是根據洪水形成和運動的規律，利用水文氣象數據資料，對未來一定時段內的洪水發展情況進行預測預報分析，是防洪抗災決策的重要依據，是一項重要的防洪非工程措施。根據洪水預報，可以事先對防洪工程(水庫、閘壩)進行合理調度，及時攔洪、泄洪、削減洪峰，與下游區間洪水錯峰，有效控制洪水。根據洪水預報，可以有計劃地運用分蓄洪區攔蓄超額洪水，犧牲局部，保護全局，減少洪災損失。根據洪水預報，可以事先組織群眾進行防洪搶險，加高加固堤防，組織分洪區群眾轉移，保障人民生命財產的安全。一般的洪水分析模型往往注重現有的水文數據，對以往的水文統計資料利用得不夠充分。運用貝葉斯分析方法不但可以充分利用現有數據信息，同時能有效應用以往的水文數據和結論，對洪水的變化規律作出更實時有效的預測預報。

1 基于帕累托分布的洪水貝葉斯分析

構建預報模型是洪水預報系統的核心，預報系統各模塊均是圍繞預報模型而開發的。因此根據不同情況研究各種洪水的預報模型，建立預報模型庫，是進行洪水預報的最關鍵部分。目前在實時洪水預報方面，比較實用的是確定性概念模型。按照模擬的對象不同可分為河道匯流模型、流域產流模型、流域匯流模型、經驗模型等。構建洪水預報模型的基本出發點是致力于提高洪水預報的精度，增長洪水預報的有效預見期，擴大預報范圍，提高預報作業速度，為各級防汛抗旱部門提供預報精度和預見期均滿足防洪調度決策要求的洪水預報成果。根據對我國重點防洪流域——珠江流域西江干流梧州水文站1949～2010年歷次洪水洪峰水位數據的分析表明（如圖1，其中18米為梧州水文站的洪水警戒水位，超過這個水位就會就成洪災），洪水洪峰水位的分布可以看作是近似于右傾斜的分布，適合于用帕累托（Pareto）分布進行描述。帕累托分布最早是作為研究超過某一已知值λ的收入分布問題引進的，后來在研究城市人口分布，股票價格的起伏等問題中得到廣泛應用。

圖1 1949～2010年西江干流梧州文化站歷次洪水水位排列

在防洪研究中，假設有n個獨立的洪水洪峰水位觀測值x=(x1,x2,…,xn)，他們來自帕累托分布

其中λ為尺度參數，θ為形狀參數。在這里λ為成災洪水水位值（超過這個值才會造成災害，稱為災害洪水），θ為未知參數，研究洪水水位大于λ的問題。假定我們開始時對參數θ的信息是分散的或不明確的，采用Jeffrey先驗分布來表示這種狀況的先驗信息，即

似然函數為：

對后驗分布密度正則化

從而得到參數θ的后驗密度為

這個基于樣本觀測值x1,x2,…,xn和Jeffrey先驗分布的θ的后驗分布代表了對有關θ的認識，我們可以計算c1＜θ＜c2的后驗概率

特別地

可以用這個作為參數θ的最優估計點。而洪水水位x落入某區間λ＜a＜x＜b的概率為

如果我們另有m個獨立觀測值的新樣本x*=(x*1,x*2,…,x*m)，它們也都來自帕累托分布

其中A*為m個新觀測值的幾何平均。利用貝葉斯定理將上面的先驗分布和似然函數合并，基于兩組數據的后驗分布為

這同樣是Γ分布的形式。依次類推，這樣不斷地根據最新的觀測數據利用貝葉斯定理對歷史數據進行修正，從而得到實時的預測結果。

2 實際問題中的處理

在實際研究中，利用帕累托分布進行分析時,一般不是直接利用個別的觀測值x1,x2,…,xn,更多的是利用頻率n0,n1,…nt,nt+1,…,nT，如歷年洪水水位落入特定區間xt到xt+1的頻數nt，這里x0=λ;t=0, 1, …,T。洪水水位x落入某區間xt＜x＜xt+1的概率為

給定θ的先驗分布f(θ)，利用貝葉斯定理與似然函數合并得后驗密度

如果沒有太多的信息可用，先驗分布f(θ)同樣可采用Jeffrey先驗分布的形式，即

這時θ的后驗密度為

其中，k為正則化常數；

如果有足夠多的先驗信息可用，f(θ)就采用可代表它的形式，同樣對后驗密度正則化即可計算出有關參數和進行需要的計算。

表1、表2給出了我國主要的防洪區域之一西江流域梧州水文站1949～2010年的汛期（6～8月）水文數據進行分析，這里共收集了122次洪水的數據，即有122次洪水的水位大于成災水位λ=18米。

表1 1949～2010年西江干流梧州水文站歷次洪水水位頻率分布

表2 洪水排序表

3 結論與對策

雖然洪水預報在防洪減災中發揮著重要作用，但現有的預報模型距離防洪減災的高要求仍有差距，主要表現在預見期較短、部分項目精度不高、預報范圍較少等方面。

一是洪水預報預見期較短。較長的洪水預見期是做好防洪調度決策、生命財產安全轉移的前提。目前，我國大部分洪水預報預見期小于2天，有的甚至只有幾個小時，致使防洪調度決策倉促，生命財產轉移不及時。如長江荊江分洪區的運用需要24小時的決策、轉移時間，而目前做出其調度依據沙市站的洪水預報預見期只有9個小時左右，遠遠滿足不了分洪調度要求。

二是有些預報項目精度有待提高。預報精度是做好防洪調度決策的另一重要因素，而尤以水位預報精度最為重要。特別是防洪重點地區的大江大河中下游水位預報精度，表現在流量精度較高，而通過水位流量轉換后的水位預報卻滿足不了要求。如2003年淮河洪水期間，王家壩閘是否分洪需要高精度的洪水預報，為使蓄滯洪區人員和財產安全轉移需要更長時間的預見期；在1998年長江、松花江、嫩江大洪水期間，各級領導和防汛部門需要高精度的干流水位預報來組織抗洪搶險，甚至要求誤差在0.05m范圍內，大大高于水文情報預報規范的要求。

三是預報范圍滿足不了防汛抗旱的要求。目前，開展的預報范圍較少，一般只注重大江大河、重要防洪地區的洪水預報，而隨著國民經濟的發展，防汛抗旱工作的拓展，大江大河的支流、非重點防洪地區的防洪任務日益繁重，迫切需要開展洪水預報工作；同時開展的預報項目較少，注重洪水預報，而對徑流、旱情、山洪、水環境預報關注不夠。

在洪水預報的實踐中，由于預報對象所處的河段、流域和洪水千差萬別，根據站點類別、信息種類不同，造成預報模型因預報對象不同而不同，因此根據具體情況構建不同的預報模型并建立足夠的模型庫是解決問題的關鍵。如美國天氣局河流預報系統（NWSRFS）具有包含28個常用的預報模型的預報模型庫，用戶可任意選擇所需模型用于構建預報方案。

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