基于CVaR風(fēng)險(xiǎn)控制下的多階段投資組合優(yōu)化模型

賀月月，高岳林，李 維

（1.北方民族大學(xué)信息與系統(tǒng)科學(xué)研究所，銀川 750021；2.陜西凌云電器集團(tuán)公司，陜西寶雞 721006）

0 引言

投資組合優(yōu)化是現(xiàn)代金融理論研究的起源和動(dòng)力之一，其思想簡(jiǎn)言之，就是把財(cái)富分配到不同的資產(chǎn)中，以達(dá)到分散風(fēng)險(xiǎn)、確保收益的目的。1952年，Markowitz提出的均值-方差模型［1］，是現(xiàn)代投資理論的基礎(chǔ)。該理論以靜態(tài)的觀點(diǎn)研究和論述投資組合的理論和方法。但實(shí)際的投資組合問題具有動(dòng)態(tài)特征，由于在不同時(shí)期，資產(chǎn)的收益率不同，以及投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和收益的偏好會(huì)發(fā)生改變，投資者將考慮以最大化終端財(cái)富建立多階段投資組合策略，周期性地平衡資產(chǎn)投資比例。MC Chan等［2］結(jié)合各種特定情況的隨機(jī)性分析，用某一種特定情況描述整個(gè)多階段投資周期的某一單一路徑，建立了多階段投資組合模型。

1993年，國(guó)際清算銀行提出的一種針對(duì)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的資本金要求的風(fēng)險(xiǎn)度量方法—VaR，盡管它是目前一種應(yīng)用比較廣泛的風(fēng)險(xiǎn)度量，但是VaR作為投資組合x的函數(shù)，存在一些缺點(diǎn)，尤其體現(xiàn)在資產(chǎn)分布存在尖峰厚尾性，同時(shí)VaR還不滿足次可加性，而次可加性是一致性風(fēng)險(xiǎn)的重要性質(zhì)?；赩aR的這些缺陷，一種新的風(fēng)險(xiǎn)度量——條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(conditional value at risk，CVaR)被提出來，CVaR也被成為尾部VaR、額外損失的均值或平均損失[3][4]。因?yàn)镃VaR具有次可加性和凸性，在數(shù)學(xué)上容易處理，從而CVaR的研究成為國(guó)內(nèi)外的熱點(diǎn)。

本文擬將條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR約束引入到文獻(xiàn)[2]的模型中，運(yùn)用帶有罰函數(shù)處理機(jī)制的差分進(jìn)化算法[5]求解新的多階段投資組合模型，并對(duì)新模型進(jìn)行實(shí)證分析，驗(yàn)證其有效性。

1 多階段投資組合優(yōu)化模型

假設(shè)資產(chǎn)市場(chǎng)上存在n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，1種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(用1號(hào)表示現(xiàn)金)，投資者在初始0時(shí)刻進(jìn)入市場(chǎng)，開始為期T個(gè)階段(t=1,2,…,T)的投資活動(dòng)。模型結(jié)合各種特定情況的隨機(jī)性分析，用某一種特定情況描述整個(gè)多階段投資周期的某一單一路徑[6]，某一特定情況由市場(chǎng)指數(shù)的變化定義，為了簡(jiǎn)潔設(shè)置兩種特定情況為市場(chǎng)指數(shù)下降和市場(chǎng)指數(shù)上升，如圖1所示。投資組合模型的描述如下[7]：

（1）參數(shù)

表示路徑s下第t階段資產(chǎn)i的收益率；

②πs表示從整個(gè)周期開始到周期結(jié)束路徑s發(fā)生的概

③W0表示投資開始時(shí)的財(cái)富總量；

④表示路徑s下第t階段結(jié)束時(shí)的所有財(cái)富總量；

⑤表示路徑s下第t階段開始時(shí)重新平衡資產(chǎn)分配之前資產(chǎn)i的財(cái)富總量；

⑥T是階段總數(shù)；

（2）決策變量

①表示路徑s下第t階段開始時(shí)重新平衡資產(chǎn)分配之后資產(chǎn)i的財(cái)富總量；

圖1 擁有兩種特定情況和三個(gè)階段的情景樹

②表示路徑s下第t階段開始時(shí)為了重新平衡資產(chǎn)而需買入資產(chǎn)i的總量；

③表示路徑s下第t階段開始時(shí)為了重新平衡資產(chǎn)而需賣出資產(chǎn)i的總量；

（3）多階段投資組合優(yōu)化模型

其中，i=1,2,…,n+1；s=1,2,…,S;t=1,2,…,T。MeasureTs是路徑s下第T階段所用效用函數(shù)。γ是投資者根據(jù)自己對(duì)投資風(fēng)險(xiǎn)的容忍程度設(shè)定的參數(shù)：γ值越小，表示投資者對(duì)投資風(fēng)險(xiǎn)敏感，γ=1是效用函數(shù)值是階段結(jié)束時(shí)不考慮投資風(fēng)險(xiǎn)的財(cái)富量。

在模型(1)中，第一、二個(gè)約束條件表示初始化時(shí)的總財(cái)富量；第三個(gè)約束條件表示路徑s下每個(gè)階段t開始時(shí)的總財(cái)富量；第四個(gè)約束條件表示路徑s下資產(chǎn)i平衡前財(cái)富量與前一階段積聚的財(cái)富量的關(guān)系；第五、六個(gè)約束條件表示現(xiàn)金和其它種類資產(chǎn)在特定情況s下平衡后的財(cái)富量；第七個(gè)約束條件表示任何階段平衡前每一種資產(chǎn)在所有路徑下的價(jià)值相等。

2 基于CVaR風(fēng)險(xiǎn)控制下的多階段投資組合優(yōu)化模型

2.1 條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(CVaR)[8]

是投資組合x的益損函數(shù)，向量y表示影

響益損的不確定性，如市場(chǎng)價(jià)格或收益率，對(duì)任意x，由y

是服從某一分布的隨機(jī)變量。為方便

起見，假設(shè)y的密度函數(shù)為

不超過某一閾

值的概率為

固定x時(shí)，作為ξ的函數(shù)φ(x,ξ)是同x相關(guān)的益損的累積分布函數(shù)，在給定置信水平α下的VaR與CVaR值分別為

VaRα(x)是包含值ξ的非空區(qū)間的左端點(diǎn)，因此，則的概率為1-α。因此CVaRα(x)是益損f(x,y)大于等于VaRα(x)的條件期望。

假設(shè)資產(chǎn)的收益率服從正態(tài)分布的情況，由CVaR的定義，得益損f(x,y)在置信水平下的CVaR為

其中，R(x)為投資組合的期望收益，σ(x)為R(x)的標(biāo)準(zhǔn)差，?為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)，?-1(α)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的α-下側(cè)分位數(shù)，ψ()?為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)。

表1 選取的美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)100的9只成分股

2.2 模型的建立

考慮到投資者在追求高收益的同時(shí)，希望風(fēng)險(xiǎn)盡可能小，或者將風(fēng)險(xiǎn)控制在一定水平下，期望收益盡可能大。從而，在不允許賣空的情況下，引入條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR約束，則新模型如下

表2 三個(gè)階段各條路徑發(fā)生的概率

表3 特定路徑下各階段的最優(yōu)投資策略

表4 特定路徑下各階段的最優(yōu)投資策略

表5 特定路徑下各階段的最優(yōu)投資策略

表6 風(fēng)險(xiǎn)閾值ω=0.5時(shí)，不同置信水平下的條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值

其中，i=1,2,…,n+1；s=1,2,…,S；t=1,2,…,T。Rst為路徑s下第t階段資產(chǎn)組合的期望收益，σst為Rst的標(biāo)準(zhǔn)差，?為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)，?-1(α)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的α-下側(cè)分位數(shù)，ψ(?)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù).第一個(gè)約束條件表示在給定的置信水平α下，將路徑s中每個(gè)階段的條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR都控制在閾值ω范圍內(nèi)。

利用罰函數(shù)方法[9]將模型(2)轉(zhuǎn)化成如下形式

其中，i=1,2,…,n+1；s=1,2,…,S；t=1,2,…,T;δ為懲罰因子，一般選取105～108。

3 實(shí)證分析

表7 不同置信水平與風(fēng)險(xiǎn)閾值下的期望收益

本文借鑒文獻(xiàn)[7]的數(shù)據(jù)，如表1和表2所示。路徑用0-1二進(jìn)制代碼表示，1表示市場(chǎng)指數(shù)上升，0表示市場(chǎng)指數(shù)下降(如010表示第1、3階段市場(chǎng)指數(shù)下降，第2階段市場(chǎng)指數(shù)上升)。

現(xiàn)將9只股票和銀行存款作為一項(xiàng)投資，投資階段數(shù)T=3，假設(shè)模型(3)中的懲罰因子δ=106。在MATLAB中運(yùn)用差分進(jìn)化算法來實(shí)現(xiàn)，參數(shù)分別設(shè)置為：種群規(guī)模NP=100,最大迭代次數(shù)Tmax=500，縮放因子F=0.3，變異概率由CRmax=0.9到CRmin=0.5逐步遞減。置信水平α分別取90%、95%、99%，程序均獨(dú)立運(yùn)行30次。

(1)當(dāng)α=90%時(shí)，期望收益為1.0042，得到最優(yōu)投資策略如表3所示。

(2)當(dāng)α=95%時(shí)，期望收益為1.0044，得到最優(yōu)投資策略如表4所示。

(3)當(dāng)α=99%時(shí)，期望收益為1.0045，得到最優(yōu)投資策略如表5所示。

表3～5分別給出了置信水平α=90%、α=95%、α=99%下，資產(chǎn)組合路徑(1,1,1)和路徑(1,1,0)各階段的最優(yōu)投資策略。同樣的，可以得到其他六條路徑各階段對(duì)應(yīng)的最優(yōu)投資策略。

由表6可知，在給定投資組合的風(fēng)險(xiǎn)閾值ω時(shí)，隨著置信水平α的不斷增大，CVaR值也不斷增大，說明投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的程度逐步增強(qiáng)，從而可根據(jù)自己的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度選擇和制定投資方案。

在相同置信水平α下，將風(fēng)險(xiǎn)閾值ω由0.3逐步增加到0.9，如表7所示，期望收益不斷增大；同一風(fēng)險(xiǎn)閾值ω下，隨著置信水平α由90%逐步增加到99%，期望收益也不斷提高。結(jié)合表6的結(jié)論可知，當(dāng)置信水平越大時(shí)，條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值越大，期望收益也越高，即高風(fēng)險(xiǎn)高收益。這也符合理論研究結(jié)果。

4 結(jié)束語

本文在不允許賣空的情況下，通過對(duì)資產(chǎn)組合的每一個(gè)階段施加CVaR約束，即利用條件信息不斷地對(duì)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行重新評(píng)估,從而對(duì)投資決策連續(xù)地施加影響，使投資者在投資過程中盡可能避免遭受非正常損失，并運(yùn)用差分進(jìn)化算法，分階段地逐步調(diào)整投資比例，實(shí)現(xiàn)對(duì)資產(chǎn)組合收益的優(yōu)化。該思想更符合實(shí)際投資情況，使投資者能選擇適合自己風(fēng)險(xiǎn)偏好的投資組合策略。

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