巧用能量圖解題

李進軍

（唐山市灤南縣第一中學，河北 唐山 063500）

1 什么是能量圖

力學中的能量圖就是物體的動能、勢能或機械能隨空間坐標變化的圖像.若分別以Ek、Ep、E表示物體的動能、勢能和機械能，以x表示物體直線運動的位置坐標，則能量圖即為Ek－x圖、Ep－x圖和E－x圖.若x與時間t有函數關系，則可分別有Ek－t圖、Ep－t圖和E－t圖.本文中只涉及直線運動中能量隨坐標變化的情況.

例如以初速v0將一質量為m的物體豎直上拋.以拋出點O為x軸原點，取向上為x軸的正方向，并以其O點為零勢能點.在不計空氣阻力的情況下，其動能Ek隨坐標x變化的函數關系為其重力勢能隨坐標x變化的函數關系為Ep＝mgx.機械能為因為只有重力對物體做功，機械能是守恒的.依照以上3種能量與坐標的函數關系式，畫出能量圖如圖1所示，圖中對應于Ek＝0的坐標xm為物體豎直上拋的最高點.由功能關系知，Ek－x圖的斜率大小為物體所受合外力大小，斜率為負表示隨x的增大（或減?。﹦幽芟鄳獪p小（或增大）.Ep－x圖的斜率大小表示引起勢能的那個力（即重力）的大小，斜率為正表示隨x的增大（或減?。瑒菽芤苍龃螅ɑ驕p?。?E－x 圖的斜率大 小表示除引起勢能以外的力的合力大小.本例中，因除重力外，再無其他力作用于物體，則E－x圖的斜率為0.有些過程中，能量圖可能是曲線，在這些曲線的斜率為0處，表示做功用來改變相應能量的那個力在此處變為0.

2 利用能量圖解題

與那些物理量隨時間變化的圖像相比，學生剛接受能量圖可能會感到抽象.一是因為能量圖一般不反映過程發生的時間先后，只反映過程被限定的空間范圍.一幅能量圖可能表示多個物理過程，尤其是在機械能守恒的過程中，無論物理過程是朝向x增大還是x減小的方向進行，能量圖都是相同的.二是因為勢能Ep是個只具相對意義的標量，其大小與零勢能位置的選擇有關，其正負表示的是相對零勢位置的高低.

能量圖把物理量間的關系幾何化了，這樣就便于運用幾何知識處理物體運動的空間邊界值問題.在解題實踐中，注重經常性地做有關能量圖的看圖、畫圖和用圖練習，其簡明性、直觀性會激起大家的興趣.

圖1

例1.滑塊以速度v1靠慣性沿固定斜面由斜面底端向上運動，當它回到出發點時速度變為v2，且v2＜v1.若滑塊向上運動的位移中點為A，取斜面底端重力勢能為0.則

（A）上升時機械能減少，下降時機械能增加.

（B）上升時機械能減少，下降時機械能也減少.

（C）上升過程中動能和勢能相等的位置在A點上方.

（D）上升過程中動能和勢能相等的位置在A點下方.

圖2

圖3

解析：設斜面傾角為θ，斜面對滑塊的摩擦力的大小為Ff，沿斜面向上建立直線坐標系，如圖2所示.則滑塊沿斜面上滑過程中，機械能的表達式為重力勢能的表達式為Ep＝mgxsinθ.在圖3所示的坐標系中做出E－x和Ep－x兩條直線，則兩圖交點C的橫坐標表示物體在斜面上能達到的最大位移，兩線實線部分之間的豎直實線的長度表示該坐標下滑塊的動能，A表示最大位移的中點.現在的問題是：在A處，EkA對應于豎直線的長度，EpA對應于豎直線的長度.二者并不相等.顯然，Ek＝Ep的點應在A點的右側.即上升過程中動能和勢能相等的位置應在A點上方.（C）選項正確.

例2.一物體從固定斜面底端以初動能Ek0沿斜面上滑，達最高點后又返回斜面底端，此時物體的動能是若此物體在斜面底端的初動能改為2Ek0，求物體返回斜面底端時的動能將變為多少？

解析：取斜面底端為x軸原點，同時也是重力勢能零點，x軸方向沿斜面向上.設物體的質量為m，物體在斜面上受摩擦力大小為Ff，斜面的傾角為θ.

初動能為Ek0時，物體沿斜面上滑過程中機械能與x的關系式為E＝Ek0－Ffx.初動能為2Ek0時，物體沿斜面上滑過程中機械能與x的關系式為E′＝2Ek0－Ffx.兩式的斜率相同，圖像為平行直線，只是截距不同.兩種情況下物體滑回原點過程中機械能隨x變化的斜率大小均不變.且無論初動能大小如何，也不論物體沿斜面是上滑還是下滑，重力勢能與x的關系式均為Ep＝mgxsinθ.

圖4

首先畫出共同的Ep－x圖像.由于初動能為Ek0時，物體返回x＝0處的動能為且上滑和下滑兩過程中的E－x圖像的斜率大小相等.很容易畫出上滑和返回過程的E－x圖，即C—D—F線.當初動能改為2Ek0時，上滑過程中的E－x圖像與CD平行，即圖中的AB線.現在我們要回答的問題是：返回過程中的E－x圖應該由B點回到縱軸上的哪點呢？現假設要回到G點（圖中未畫出）.由幾何關系知，△ABO∽△CDO，相似比為2∶1，則AB∶CD＝2∶1，并且△ABG∽△CDF，相似比也等于2∶1.可知AG∶CF＝2∶1.因必有AG＝Ek0.可見，G點其實就應該是C點.G點對應的機械能全部為動能.所以本題答案是：物體返回斜面底端時的動能將變為Ek0.

例3.甲分子固定在坐標原點O，乙分子位于x軸上，兩分子系統的分子勢能曲線如圖5所示，a、b、c、d為x軸上4個特定位置，現把乙分子從a處由靜止釋放，則

（A）乙分子能由a運動到b點，且一直做加速運動.

（B）乙分子能由a運動到c點，且一直做加速運動.

（C）乙分子能由a運動到c點，且先做加速運動，后做減速運動.

（D）乙分子能由a運動到d點，且先做加速運動，后做減速運動.

解析：將乙分子從a點由靜止釋放時，系統有負的分子勢能，動能為0.動能和分子勢能的總和（以下稱總能量）就等于此時的分子勢能Epa.在乙分子向左運動的過程中，由于總能量守恒，有E＝Epa.所以E－x圖是平行x軸的直線，如圖6所示.E－x圖與Ep－x圖的兩個交點e、f代表乙分子運動范圍的兩個邊界點.假如超出e、f之間的范圍，動能Ek＝E－Ep＝Epa－Ep＜0，這是不可能的.所以只有（A）選項正確.

圖5

圖6

例4.圖7表示一物體從x＝x1開始，在x軸上運動的總能量E－x圖和勢能Ep－x圖，其中E1和E2表示小大不同的兩個守恒的總能量.Ep－x圖以x軸為漸近線，試分別指出總能量各為E1和E2時，物體運動的情形.

圖7

解析：由Ep－x圖可知，勢能Ep隨x的增大逐漸增大到0，由于變化率隨x的增大先增大后減小，所以僅有的、對物體做功的力隨x的增大先增大后減小.當總能量為E1時，由E1－x圖和Ep－x圖之間的豎直線代表的動能可知，在x＝x1處物體的初動能不為0，但初速度方向可能沿＋x方向，也可能沿－x方向.如果沿＋x方向，則物體做變減速直線運動，在x＝x2時速度減為0，然后沿－x方向做變加速直線運動.如果沿－x方向，則物體做變加速直線運動.

當總能量為E2時，物體從x＝x1處開始運動的初動能比第一種情況大很多.初速度方向也有＋x方向和－x方向兩種可能.不同的是E2－x圖與Ep－x圖沒有交點.即初速度沿＋x方向時，物體的速度永遠不能減為0，物體將先做變減速直線運動，最終做勻速直線運動.如果初速度方向沿－x方向，則物體做變加速直線運動.

3 小結

（1）利用能量圖解題時，要特別注意找出圖像對應的函數關系式.并弄清其截距、斜率、正負所表示的物理意義，這是正確解題的基礎.

（2）在作能量圖時，只需畫出E－x圖和Ep－x圖，而動能Ek＝E－Ep，則由E－x圖和Ep－x圖之間的豎直線的長短來體現.

（3）若E－x圖和Ep－x圖有交點，則表示物體運動空間有邊界.

（4）無論動能和勢能的總和是否守恒，Ek＝E－Ep總是成立的.但應注意動能不能為負值.

（5）能量圖不表示過程發生的時間順序.如題意沒有明確初態，則應把同一組能量圖對應的多種物理情景分別加以討論.

利用能量圖解題的方法和步驟，用文字敘述起來似乎也并不那么簡潔，但實際操作起來，寥寥數筆就能解決問題，值得一試.