淺談動能定理對彈簧模型的佯不適用性

王 森 高櫻娜 羅琬華

（西南大學物理科學與技術學院，重慶 北碚 400715）

1 動能定理對彈簧模型的佯不適用性現象

圖1

1.1 彈簧的佯不適用性現象

取 人 教 版 （2006）《物理》必修2教材“探究彈性勢能的表達式”一節中圖7.5－3（本文圖1）所示為研究情景：彈簧一端固定在墻上，處于原長，現在另一端施加外力F使彈簧緩慢拉伸.［1］以彈簧為研究對象，設W1表示拉力F對彈簧做的功，W2表示墻壁對彈簧做的功，x表示手與彈簧的接觸點的位移，根據文獻［2］的結論：求功公式中位移最準確的理解應為受力點即將受力部位看做質點時該質點的位移.有可推知又由于彈簧動能的改變量ΔEk＝0，易知W總≠ΔEk，故彈簧不滿足動能定理.

1.2 彈簧系統的佯不適用性現象

彈簧系統，此處界定為含有彈簧的系統，包括不受外力和受外力兩種情況.

（1）彈簧系統不受外力.

以圖2所示情景分析，在光滑的水平地面上，壓縮的彈簧兩端分別固定著兩個完全相同的物體，放開手后，兩物體將在彈簧彈力的作用下做先加速后減速的往復運動.以彈簧和兩物體組成的系統為研究對象，因彈簧對物體的力與物體對彈簧的力始終大小相等，方向相反，且彈簧與物體的受力點為同一點，位移相等，故系統內力做功之和為0，考慮到無外力做功，因此系統內、外力做功之和始終為0，這要求系統的動能始終不發生改變.而事實上，系統的動能卻在不斷變化，這與動能定理相違背，故不受外力的彈簧系統不滿足動能定理.

（2）彈簧系統受外力.

圖2

以圖3所示情景分析，在光滑的水平地面上，彈簧一端固定在墻上，另一端與一物體連接，現壓縮彈簧至一定限度后無初速度放開，假設整個過程中無能量損失，彈簧將在水平方向上做先加速后減速的往復運動.以彈簧和物體組成的系統為研究對象，同前文，此處內力做功為0，且彈簧受墻作用力部位始終沒有發生位移，因此墻壁對系統做功即外力做功為0，故系統內、外力做功之和始終為0，而系統的動能卻在不斷地變化著，故受外力的彈簧系統也不滿足動能定理.

圖3

2 動能定理適用范圍之理論推導

按研究對象的不同，動能定理分為質點的動能定理與質點系的動能定理；按照質點間距離是否發生改變，質點系又分為不變質點系（即剛體模型）與變化質點系（即形變物體）.一般就動能定理是否適用于質點與不變質點系沒有疑問，但對變化質點系（即形變物體）是否適用則意見不一，前文所述彈簧模型對動能定理的佯不適用性現象便是明證.下面重點闡述動能定理對變化質點系的適用性推導.

根據文獻［3］，從質點動能定理出發可推導出質點系動能定理［3］，此不贅述.已知質點系動能定理

式中∑A外表示質點系外力做功之和，∑A內表示質點系內力做功之和，∑Ek表示質點系的末動能，∑Ek0表示質點系的初動能.其中

式中∑A內非表示質點系內非保守力作功之和，∑A外非表示質點系外非保守力作功之和，∑A外保表示質點系外保守力作功之和，∑A內保表示質點系內保守力作功之和，∑A保表示質點系內外保守力作功之和.

根據勢能定義有

式中∑Ep表示質點系末勢能，∑Ep0表示質點系初勢能.

聯立（1）～（3）式得

（4）式表明：質點系總機械能的增量等于一切內非保守力和外非保守力所做功的代數和，此即質點系的功能原理.若∑A內非＋∑A外非＝0，即只有保守力做功，則物體的機械能守恒，故機械能守恒定律是質點系功能原理的推論.

上面我們從質點系動能定理到質點系功能原理是以（2）、（3）兩式同時成立為前提的，換句話說，質點系功能原理只有在（2）、（3）、質點系動能定理同時成立的條件下才可成立.故易知質點系功能原理的適用范圍≤質點系動能定理的適用范圍.

3 佯不適用性成因分析

動能定理適用于任何情況，毋庸置疑，但為何會出現動能定理對于彈簧模型的佯不適用性呢？關鍵在于前文在考慮彈簧時犯下了兩個錯誤：（1）錯誤地將彈簧看做質點：因彈簧的形變明顯，不可忽略其形狀大小，故不可看做質點；（2）將彈簧看做質點系時，又定勢地認為質點系內力做功之和為0，事實上，彈簧內部質點之間的距離發生了改變即質點間發生了相對位移，根據文獻［3］中所證：質點系內力的功等于力與質點間的相對位移的乘積［3］，故知彈簧的內力做功之和必不為0，同樣彈簧系統的內力做功之和也不為0.下面我們對圖1中所示情景再做分析，以定量計算出此情景下彈簧內力做功之和.

分析.設彈簧外力做功之和為W1，內力做功之和為W2，由動能定理可得

由（6）式知用手緩慢拉伸、壓縮一端固定在墻上的彈簧時，彈簧內力做功之和等于外力做功之和的負值，也等于彈性勢能的改變量，這也正是教材使用拉力做的功得出彈性勢能的表達式的理論依據所在.

4 總結

（1）動能定理適用于任何情況；

（2）功能原理是動能定理在一定條件下的一種變形公式；

（3）彈簧不可看做質點，只能看做質點系，且該質點系內力做功之和必不為0；

（4）用手緩慢拉伸、壓縮一端固定在墻上的彈簧時，彈簧內力做功之和等于外力做功之和的負值，也等于彈性勢能的改變量，墻壁對彈簧不做功.

1 課程教材研究所.普通高中課程標準實驗教科書.物理（必修2）.北京：人民教育出版社，2006.

2 楊鳳梅.作用點不固定的力作功的“佯謬”問題.安徽師范大學學報（自然科學版），2001（8）.

3 漆安慎，杜嬋英.普通物理學教程 力學（第2版）.北京：高等教育出版社，2005.