階梯板蘭姆波散射特征模式展開法研究

鳳飛龍，陳文生

(1.無損檢測技術教育部重點實驗室(南昌航空大學)，南昌330063;2.西安工程大學，西安710048)

0 引言

蘭姆波作為導波的一種，是一種經濟有效的薄板掃查檢測方式。經常被應用于金屬板材、復合材料的質量檢驗與在役檢測［1］?？紤]到板材內部可能具有不同的缺陷以及在使用環境中不同的腐蝕缺損狀況，在實際檢測時往往需要對被檢測缺陷或者缺損作出特定判斷。比如對于金屬板材的腐蝕，往往需要設定缺陷模型為階梯板［2］。雖然不能準確估計缺陷的尺寸，但可以根據回波幅度得到當量尺寸。在現代幾種大型商業檢測系統［3］尚未普及之前，蘭姆波檢測的準確性往往基于經驗判斷。比如，在低頻端，蘭姆波最低階對稱模式s0模的反射或者透射回波和階梯板的板厚損失成線性比例。這一設定無疑滿足板材檢測中的定位與粗略定量要求;但是考慮到蘭姆波多模式及頻散特性，這些基于部分散射特征的缺陷判斷基準使蘭姆波的檢測在應用范圍上受到限制，即要求低頻率板厚積(頻厚積)。因為在高頻厚積應用場合，階梯板的散射特征更為復雜，缺陷定量難度相應增加;為此，與數值模擬軟件相結合的檢測分析學習或者對比系統成為目前一些商業檢測系統的重要特征。

到目前為止，國內外學者對于階梯板的蘭姆波散射分析基本上基于數值計算方法［4-6］。即有限元、邊界元、以及相關的混合有限元或者邊界元;但這些方法只能針對十分具體的結構建模分析，比如需要構建某個具體模式在某頻率下在某具體厚度的板中傳播，相對于確定尺寸缺陷發生散射，然后對散射特征進行分析。如果尺寸、頻率改變則需要重新建模，總體上講，對于分析某一類散射體散射特征而言，需要大量的建模時間;因此，許多學者致力于求解散射場的解析求解方法，用統一的解析公式分析散射體對蘭姆波的散射特征。由于求解難度，目前的研究往往只局限于幾種，包括板端［7］，板中裂紋［8-9］，板中圓柱［10］，板中材質不均［11］，板厚緩變起伏［12］等等。筆者基于文獻［13］的工作，給出階梯板散射的模式展開法求解公式，分析階梯結構不同尺寸參數對散射的影響規律，擬發現一些新的散射特征。

1 模式分解方法

考慮無限大材料均一等厚板在xoy平面上的截面如圖1a所示。對穩態聲場，可以將位移與應力場分解成2 個向量［11］:X=(u，t)T和 Y=( －x，v)T。其中u，v是y方向和x方向的位移分量，s= σxx，t= σxy，σ是應力張量。這2個場向量又可以按照下式用蘭姆波模式分解:

圖1 等厚板、階梯板的結構示意圖Fig.1 Schematic graph of equal-thickness plate and step plate

其中:Xn=(Un，Tn)TYn=( － Sn，Vn)T;Un、Vn、Sn、Tn是蘭姆波模式的波結構函數，分別對應u、v、s、t。式中的分解系數an和 bn可以用Fraser雙正交性關系分解［11］

其中，An(x)和Bn(x)分別是左行和右行蘭姆波模式的幅度。所有模式的幅度可以用向量A(x)和B(x)表示。模式分解法的基本思想是利用散射體的邊界條件，分解出特定模式入射時各散射模式的幅度信息。這通常用散射矩陣來描述。對圖1b所示的階梯板，根據x1處板的位移和應力連續條件，可以得到

由式(1)～式(3)可以進行模式分解得到的散射矩陣如下

其中各分塊矩陣都可以得到解析計算公式，具體形式如下，推導過程參見文獻［13］。

采用以上公式編寫程序，只需給定蘭姆波頻率和階梯尺寸，就可以求解任意傳播模入射時的散射系數;因而，計算效率較數值方法高很多。

2 階梯板的散射特征分析

2.1 上下對稱階梯板厚度比對散射的影響

參照圖1b，設階梯結構沿板中性面對稱，并且板①與板③厚度分別為2h1=4 mm，2h3=0～4 mm。那么板面上左右兩端入射的首階對稱和反對稱模式自身的反射和透射系數如圖2所示。由于結構對稱性，對稱模式與反對稱模式之間沒有模式轉換發生。此外，從中可以發現:

1)在頻率低于800 kHz時，a0和s0模式透射系數(Ta0(1)a0(3)，Ts0(1)s0(3)，Ta0(3)a0(1)，Ts0(3)s0(1)，其中“T”表示透射。Ta0(1)s0(3)表示板①中的a0模式入射時向板③中的s0模式的透射系數。其他依次類推)隨階梯厚度差減小而增大;反射系數(Ra0(1)a0(1)，Rs0(1)s0(1)，Ra0(3)a0(3)，Rs0(3)s0(3)，其中“R”表示反射。Ra0(1)a0(1)表示板①內a0模自身的反射系數，其他依次類推。)隨階梯厚度差減小而減少。這種單調線性關系存在于厚端a1模截止頻率(對于本例中的鋼板，略高于400 kHz)以下;因此，在這個頻率以下可以采用自發自收或者一發一收的探頭布置，激勵并提取a0或者s0模的幅度信息，判斷階梯板厚度差大小。

2)對比100 kHz和400 kHz時的a0模式的散射系數(Ta0a0，Ra0a0)變化曲線，可以發現:板③厚度和板①厚度相差1 mm的范圍內，散射系數對于板厚變化不是很敏感;也就是說在400 kHz以下，這個范圍內的板厚變化不能有效反映到a0模的透射信號或者反射信號幅度上。板③厚度在1～3 mm之間，高頻(400 kHz相對于100 kHz)a0模的反射或者透射信號幅度變化可以有效地對應板厚變化。與之相比，s0模式的透射和反射系數在100 kHz和400 kHz時并無顯著變化，高頻的散射系數甚至沒有低頻的散射系數對于板厚變化敏感。說明在低頻(低于a1模截止頻率)檢測對稱階梯板時用較高頻率的a0模式可以略微提高對于微小板厚變化的檢出率，而用s0模式時，提高頻率對于提高微小板厚變化檢出率并沒有多少改善。

3)在計算頻率范圍內，階梯兩邊的模式之間，對換入射方向，透射系數相等。如Ta0(1)a0(3)與Ta0(3)a0(1)以及 Ts0(1)s0(3)與 Ts0(3)s0(1)。也就是說一發一收提取某模式幅度信息檢查厚度變化時，如果只考慮聲場能量轉化關系，兩側探頭可以收發互換。這種現象是蘭姆波聲場互易性的一種體現。在a1模截止頻率以下，兩邊s0或者a0模式自身的反射系數，如Ra0(1)a0(1)與Ra0(3)a0(3)以及Rs0(1)s0(1)與Rs0(3)s0(3)也相等。這意味著在低于a1模截止頻率時從板的兩側收發a0得到的反射信號幅度相同，收發s0模式得到的反射信號也相同。

2.2 階梯板共底面時厚度比對散射的影響

參照圖1b，如果其中2h4=0，那么階梯兩端共底面。板厚為2h1=4 mm，2h3=0～4 mm。a0模式和s0模式在低頻時(低于a1模截止頻率)散射規律如圖3。由于結構不對稱，所以對稱模式s0與反對稱模式a0之間有了模式轉換。例如Ta0(1)s0(3)和Ra0(1)s0(1)，前者表示從板①入射的a0模透射到板③中轉換為s0模的能量比例或者能量散射系數，后者表示板①內入射到階梯上的a0模式向板①內s0模式的能量散射系數。此外，還可以發現:

1)透射系數 Ts0(3)s0(1)、Ta0(1)a0(3)、Ta0(3)a0(1)越大，反射系數Ra0(1)a0(1)、Ra0(3)a0(3)、Rs0(3)s0(3)、Rs0(1)s0(1)越小。這與對稱階梯板的散射規律相似;而透射和反射中的對稱與反對稱模式轉換系數隨階梯差變化具有拋物線特征。

2)無論s0模式還是a0模式，頻率越高，越接近a1模截止頻率，散射系數 Rs0(1)s0(1)、Ts0(1)s0(3)、Ra0(1)a0(1)、Ta0(1)a0(3)、Ra0(3)a0(3)、Rs0(3)s0(3)對于階梯板厚差的細微變化越敏感，尤其是在接近a1模截止頻率時最顯著。這與對稱階梯板的情形不同。另外頻率越高，對稱反對稱模式轉換現象越顯著。

3)與對稱階梯板相似，階梯兩端任意兩個模式之間的能量透射系數相等，或者說呈現一種互易性。如Ts0(3)a0(1)(板③中s0模入射時對板①中a0模的透射系數，其它依次類推)與Ta0(1)s0(3)，Ts0(1)s0(3)與Ts0(3)s0(1)等等。但是階梯兩邊的a0與s0模式自身的反射系數卻不相同，即Ra0(1)a0(1)與 Ra0(3)Ra0(3)不等，Rs0(1)s0(1)與Rs0(3)s0(3)不等。這意味著從兩側檢測板厚變化時，遵循的回波信號幅度與板厚變化多少的對應關系不同。這與對稱階梯板不同。

圖2 軸對稱階梯鋼板散射規律，板厚:2h1=4 mm，2h3=0～4 mm，藍綠紅淺藍分別對應100 kHz，400 kHz，800 kHz，1.2 MHzFig.2 Scattering characteristics of Lamb wave at symmetric step-like thickness variation:2h1=4 mm，2h3=0 ～4 mm Harmonic frequency:100 kHz(blue)，400 kHz(green)，800 kHz(red)，1.2 MHz(cyan)

2.3 確定厚度比時階梯相對位置對散射的影響

參照圖1b如果2h3=2 mm，2h1=4 mm，改變2h2=0～2 mm，2h4=2～0 mm，那么 a0模與 s0模的散射系數變化曲線如圖4所示。從圖中可以評判不同模式散射系數對于板厚改變對稱性(板①與板③的厚度差一定的情況下，兩者中性面接近的程度，2h2=1 mm時兩者共中性面，意味著板厚對稱改變)的敏感程度:

1)能量散射系數曲線全部以2h2=1 mm為中心，對稱分布。僅從能量散射系數不能判定板兩側哪一側厚度損失或者增加更多。

2)沿入射方向，如果板厚增厚，即入射方向是從板③到板①。隨著板厚變化對稱程度增加，除了a0模式反射系數Ra0(3)a0(3)減少外，s0模與a0模的反射和透射系數(Ta0(3)a0(1)，Rs0(3)s0(3)，Ts0(3)s0(1))都增加。沿入射方向，如果板厚減薄，隨著板厚變化對稱性增加，除了s0模式的反射系數(Rs0(1)s0(1))減少外，s0模與a0模的反射和透射系數(Ta0(1)a0(3)，Ra0(1)a0(1)，Ts0(1)s0(3))都增加。

圖3 共面階梯鋼板散射規律，板厚:2h1=4 mm，2h3=0～4 mm藍紅淺藍分別對應100 kHz，400 kHz，800 kHzFig.3 Scattering characteristics of Lamb wave at step-like thickness variation on one surface:2h1=4 mm，2h3=0 ～4 mm Harmonic frequency:100 kHz(blue)，300 kHz(red)，400 kHz(cyan)

圖4 對稱性對階梯板散射的影響，板厚:2h1=4 mm，2h3=2 mm，2h2=0～2 mm，藍紅淺藍分別對應100、400、800 kHzFig.4 Effect of structure symmetry on scattering coefficients，where 2h1=4 mm，2h3=2 mm and 2h2=0 ～2 mm Harmonic frequency:100 kHz(blue)，300 kHz(red)，400 kHz(cyan)

3)無論沿哪個方向入射，對稱模式與反對稱模式之間的模式轉換系數，反射(Rs0a0，Ra0s0)系數和透射(Ta0s0，Ts0a0)系數均減小。

4)頻率增加，以上現象對于階梯厚度變化對稱性的敏感程度增加。

5)兩個入射方向上透射系數具有互易性，即從散射區左側模式A入射到散射區右側模式B的能量比例，或者從散射區右側模式B入射到散射區左側模式A的能量比例，兩者相同。A與B可以是相同模式。

3 結論

以上計算驗證了一些已有的階梯板散射規律:板內s0模式或者a0模式入射波遇到不對稱厚度改變時，有模式轉換現象;s0模式與a0模式的反射系數并不總是隨厚度差增加而單調增加，只有頻厚積較小時才呈現這樣的規律。

此外，通過計算發現:

1)以往認為頻率增加，蘭姆波對于小尺寸厚度變化的檢測能力增加。在不對稱厚度變化的情況下，該假定成立;如果板厚度變化對稱，而入射模式為s0模式，該假定并不成立。

2)階梯板任意兩側傳播模式之間的透射系數具有能量上的互易性。如果階梯板對稱，在低頻時(低于a1模截止頻率)，a0、s0模在散射區兩側的反射系數相等。

3)在低頻下，若板厚變化趨近于對稱，a0、s0模式自身的透射系數都增加，相互之間的模式轉換減少。

根據這些結果，可以認為，檢測板厚變化時，a0模比s0模具有更好的適用性;在a1模截止頻率以下提高a0模的檢測頻率能提高對于小厚度變化的檢出率;一發一收法檢測時，收發互換，若兩探頭輸入輸出阻抗性能一致，接收到的信號幅度相同;除非階梯板對稱，單發單收法檢測時探頭置于散射區兩側回波幅度不同;低頻時模式轉換能量減少意味著入射模式透射能量增加。

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