圓環滾動時摩擦力的分析

王嘉航

(蘇州科技學院土木工程學院，江蘇 蘇州 215011)

0 引言

在第七屆全國周培源大學生力學競賽試題中有一道“雜耍圓環”的題目:演員用細鐵棍推動勻質圓環在水平地面上勻速純滾動，假設圓環保持在鉛垂平面內滾動，又知鐵棍與圓環之間的靜摩擦因數為f s，圓環與地面間的滾動摩阻系數為δ。試求為使鐵棍的推力(鐵棍對圓環的作用力)最小，圓環上與鐵棍的接觸點的位置。

研究圓環在地面上滾動的動力學問題時，需要判定摩擦力的性質和方向，很多學生通常不知如何判定，原因在于摩擦力不僅與受力性質和位置有關，還與圓環的幾何特性等其他因素有關，通常的教材中對此沒有給出詳細的介紹。本文從剛體和變形體兩種力學模型分析摩擦力。

1 圓環為剛體時的滾動分析

剛體指物體在力的作用下，其內部任意兩點之間的距離始終保持不變，是一種理想化的力學模型，實際生活并不存在。但實際中在一定條件下可簡化為此模型分析。

1.1 圓環非純滾動

非純滾動也就是圓環在地面上既滾動又滑動，此時摩擦屬于滑動摩擦，摩擦力的方向與相對運動方向相反，其大小根據動摩擦力的計算公式Fd=fdFN，滑動摩擦對圓環的平移是約束力，對其轉動在不同的情況下，可以是主動力矩也可以是約束力矩。

1.2 圓環純滾動

純滾動是指圓環在地面上只滾動不滑動，摩擦屬于靜摩擦，理論上靜摩擦力的方向與相對運動趨勢相反，但實際上有些情況下相對運動趨勢很難判斷，故摩擦力的方向學生容易出錯。純滾動是剛體平面運動中的一種特殊情況，摩擦力可用動力學的運動微分方程分析。

圖1所示一均質圓環質量為m，半徑為R，相對質心C的慣性半徑為ρ，受到水平力F和力偶M同時作用在水平面上純滾動，與地面接觸點P點為其速度瞬心。圓環的受力分析如圖2所示，假設靜摩擦力FS的方向與力F方向相同，設力F作用線到質心C的距離為x。純滾動是平面運動中最常見的一種，其運動微分方程為:

圖1 剛性圓環的純滾動

圖2 圓環的受力分析

從式(4)知，顯然當(M+Fx)R ＞Fρ2時，FS的實際方向與假定方向相同;反之，當(M+Fx)R＜Fρ2時，FS的實際方向與假定方向相反;當(M+Fx)R=Fρ2時，FS=0，無靜摩擦力。由以上分析可知，圓環純滾動時與地面間的靜摩擦力取決于多個因素。下面討論兩種特殊的情況:

2 圓環為變形體時的滾動分析

實際的滾動都是非剛性的，滾動的物體和接觸面之間都會有一定的變形存在，當圓環靜止不動時，物體的重力和地面約束力形成平衡力系，如圖3所示。當圓環在外荷載作用下滾動時，圓環與地面接觸部分發生變形，其接觸面為偏右側的某一區域，在接觸面上圓環受到一個平面任意力系的作用(圖4)，力系向A點簡化可得到其合力FR，如圖5所示。一般情況下把合力FR向水平和豎直方向分解為分力Fx和Fy，如圖6所示。其中Fy和重力大小相等，方向相反，形成力偶，該力偶矩轉向與圓環轉動方向相反，阻礙圓環的運動，力偶矩的大小為My=δG，δ為Fy與C點的垂直距離。Fx對質心C的力矩為Mx=γG，γ為Fx與C點的垂直距離，這一力矩與圓環轉動方向一致，推動圓環的轉動。因此滾動時的阻力矩為M=My－Mx=δG－γG，一般情況下Fx極小，故力矩Mx也很小，可忽略不計，因此把My=δG稱之為滾動摩阻力偶。實際中當汽車輪胎氣不足或路面較軟時，接觸地面的區域越大，滾動摩阻力偶就越大，車輪行駛就比較費力。

圖3 圓環靜止于水平面時的形態

圖4 圓環在水平面滾動時的形態

圖5 圓環的受力分析

圖6 力的分解

3 結論

由以上討論可知，當一個物體在另一個物體表面滾動時，摩擦的性質是比較復雜的，需要根據不同的情況來討論。對于純滾動而言，無論受力情況如何，其靜摩擦力對物體的平移和轉動的作用總是相對的，對平移起促進作用，則阻礙其轉動，反之，阻礙物體平移一定提供轉動的力矩。上述方法同樣適用于在斜面滾動的圓環摩擦力的判定。

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